2022年常微分方程期末考试练习题及答案..docx

一，常微分方程的基本概念常微分方程：，.n含一个自变量 x，未知数 y 及假设干阶导数的方程式；一般形式为： Fx， y， yy=0 n 0.31. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶；如： fx+3fx+x=fx为 3 阶方程；2. 假设 f x使常微分方程两端恒等，就f x称为常微分方程的解；3. 含有独立的任意个常数 个数等于方程的阶数 的方程的解称为常 3微分方程的通解； 如常系数三阶微分方程Ft ，x=0 的通解的形式为： xt =c1xt +c2xt +c3xt ；4. 满意初值条件的解称为它的特解特解不唯独，亦可能不存在 ；2， .n5. 常微分方程之线性及非线性：对于 Fx， y，y，. yn =0 而言，假如方程之左端是 y，y y 的一次有理式，就次方程为 n 阶线性微分方程；方程线性与否与自变量无关 ；如：xy -5y +3xy=sinx 2为 2 阶线性微分方程； y+siny=0 为非线性微分方程；注：a. 这里主要介绍几个主要的， 常用的常微分方程的基本概念；余者如常微分方程之显隐式解， 初值条件， 初值问题等概念这里予以略去；另外，有爱好的同学不妨看一下教材23 页的雅可比矩阵；b. 教材 28 页第八题不妨做做；A. 变量别离方程学习文档 仅供参考1. 定义：形如dy =f x y 的方程，称为别离变量方程；这里fdxx， x分别是 x， y 的连续函数；2. 解法：别离变量法dy yf xdxc .* 说明： a 由于* 是建立在 y 0 的基础上，故而可能漏解；需视情形补上 y=0 的特解；有时候特解也可以和通解统一于一式中b. 不需考虑因自变量引起的分母为零的情形；例 1.ydx x24 xdy0解：由题意别离变量得：dxdy0x24y即： 1 14x41 dxdy0 xy积分之，得：1 ln x44ln x ln yc故原方程通解为： x4 y 4cxc 为任意常数，特 解 y=0包含在通解中即两者统一于一式中 ；* 例 2. 假设连续函数 f x满意f x2 x f t02dtln 2，就 f x是？解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得：f ' x2 f x变上限求积分求导别离变量，解之得：f xCe2 x由原方程知： f 0=ln2 ， 代入上解析式得：C=ln2，B. 可化为别离变量方程的类型；解决数学题目有一个显而易见的思想： 即把遇到的新问题， 结合已知条件，设法将其转化为已经解决的问题来解决； 故可把一些常微分方程方程，通过适当变形，转化为大家熟识的变量别离方程，进而解决之；类型 1.1. 形式： 形如 dydxg y x2.2 的方程，此类方程称为齐次微分方程，这里 gu是 u 的连续函数；1. 解法：作变量变换 u=y ，2.3 x即 y=ux，从而：dyx duu dxdx2.4 将 2.3 2.4 代入 2.2 ，就原方程变为：duguu dxx这是一个变量别离方程，可根据A 中的方法求解；例 3. 求解方程： dydx xy2解：令 u=x+y ，就 y=u-x ，于是： dydxdu1 dx于是，原方程可化为：du1u 2dx别离变量得：dudx u 21积分之，得： arctanu=x+c变量回代，既得方程之通解：arctanx+y=x+c例 4 求解方程xln xln ydyydx0 .解：由题意可得：ln x dy yy dx0 ， xxln即： dxydyyx2.5 令 xu ，就 xyuy ，于是： dxdydu yu ， dy代入 2.5 得：du yuln u ，dyu 1别离变量，并整理得：dudyu ln u1y两边积分得：dudy ，令 u= etu ln u1y就有：1 dtdy ， 从而有：ln t1ln yln ct1yc>0.即： t1cy ，变量回代得：ln x yc1 y+1 c1c 类型二： 形式： dydxf a1xa 2 xb1y b2c1 c21=c2=0 时，dya1xb1yya1b1xyf dxa2 xb2 yf y a2b2xg x转化为齐次方程；a1b1时，a2b2dyf a2 xdxa2xb2 y b2yc1 c2g a2xb2 yduab dyab f c1 a2xb2 yu,就22dxdx22uc2从而可转化为变量别离方程；a1b1a2b2且c1, c2不全为零时，解方程组a1x a2xb1yc1b2yc200 ，求交点 , ,令 x=X+， yY，就原方程化为： dXdY Y X这是齐次方程；dy2xy1 .dxx2 y1x12 xy103解：x2 y10xX得交点 1，y31令3 代入原方程有： dY yY1dX32 XYX2Y令 Yu ，就YXuX ，于是： dYdXdu Xu ， dX从而有：du Xu dX2u ，1 2u整理得：1u 22udu u12 dX ，Xdu 2u1dX两边积分之，得：u 2u12X，即： lnu2即 ： u 2u1u12 ln Xc1，X 2ln c1c1>0变 量 回 代 ， 并 整 理 得 ： x2y 2xyxycc 1-1 =c3例 6.求解方程 dydxxy5 .xy2解：令 uxy ，就 y=xu ，从而： dy1dxdu ， dx代入原方程，得： 1dudxu5 ，u2整理得： 72udu ，dx别离变量得： 2u du7 dx ，两边积分之：2u1 u 227 x1 c2，变量回代，并整理得：x2y210 x4 y2 xycc 是任意常数C. 线性微分方程和常数变易法1. 形式：形如 dydxp x yQx 的一阶方程称为一阶线性方Qx0 时，称之为齐次的，否就称之为非齐次的.2. 解法：利用常数变易法求解；其解为：p x dxyeQ xep x dxdxc . 下面用具体的题目表达这一思想 .留意：在用公式求解一阶线性方程时，肯定要化为标注标准式dy 的系数为 1，否就易出错 .dx例 7求方程 dy dxysinx 的通解.解：第一求线性齐次方程dydxy 的通解，别离变量得： dyydx ，两边同时积分，得： ycex ，因而可设原方程的通解为：yc xex ，就 dydxdc x ex dxexc x ，将之入原方程，得：dc x ex dxexcxc xexsinx ，即：dc x dxsin xe x ，两边积分得：cxsin xexdx ，而sin xexdxsinxd e x =sin xe xe xd sin x=sin xe xe x cos xdx=sin xe xcos xde x =sin xe xcos xe xe x d cos xe x sin xcos xe x sinxdx从而：c x1 e x sin x 2cos x这里没加常数 ，从而通解为： y1 sin x2cos x .D. 伯努利方程及其解法1. 形式：形如 dydxp x yQx yn n0,1 的方程称为伯努利方 程.2. 解法：在方程两边同时成乘以y n , 做代换 zy1 n ，就伯努利方程转化为新的未知函数 z 的线性方程 dzdxC中方法解决之 .留意： n>0 时，方程仍有解 y=0.1n pxz1nQ x，从而可用dy6 ydxxxy 2的通解.2 dyy6 y y 2x解：方程两边同乘y 2 ，得：dxx，即： y2 dydx6 1x xy2.12 令 zy1 ， 就 dzdxy 2 dydx，将之代入 2.12 得： dz6 zx.2.13 dxxdz6 dxz zxc1 ,记2.13 之通解为： z x6c1 x ，x6于是： dzdxdc1 x x 6dx6c1x x7 ，将以上两式代入 2.13 得： dcx x 66 c x x 76 c xx 6xdc1 xx7 ，1dx1x8zxdxx2cc1xc81x2c8x6，变量回代得原方程之通解为：6 ，此外，方程仍有解 y=0.dyxy dxx3 y3 .y8x解：这是 n=3 时的伯努利方程，令 z= y1 3y 2 ，就方程可化为： dzdx2 xz2 x3 ，这是一阶线性方程，应用公式得： z2xdxe2x3e2 xdxdxc=cex2x21这样，方程之通解为： 1y2cex 2x21 ，另外，方程有解： y=0.E. 恰当微分方程与积分因子1. 形式： 对于一阶方程M x, ydxN x, ydy02.14 如 果 其 左 端 是 某 一 函 数u x, y的 全 微 分 ， 即du x, yM x, ydxN x, ydy ，就称此方程为恰当微分方程 .2. 条件：假设 2.14 中的 M x, y, N x, y 在某一单连通区域 D有一阶连续的 偏导 数，就 2.14 为恰当 微风 方程 的充要 条件 为：MN ， x, yD .yx3. 解的形式： uc.4. 解法： a. 朴实化简法：由uM ，得u x, y xM x, ydx y ，再由 u yN ，得 yy4 N x, yM x,yy dx, y由上式解得, y ，在积分之既得 y .当然这种解法具有对称性 b. 分项组合法：通过例题予以说明. 宜熟记课本54 页2.55 c. 利用原函数之积分仅与起始点有关，而与道路无关求解. 旨在提示有此法，一般不用3x26 xy2 dx6x2 y4y 3 dy0 的通解.解：这里 M3x26xy2 , N6x2 y4 y3 ，此时： MyN12xy,y12xy因此为恰当微分方程 .a. 朴实化简法 .u3x26 xy2令 x2.15 u6x2 y y4 y32.16 对 2.15 关于 x 积分，得 ux33x2 y 2 y2.17 对 2.17 两边关于 y 求导，并对比 2.16 ，得：u6 x 2 y yd y dy6 x2 y4 y3 ，于是d y4 y3dy积分之，得： yy 4 ，将 yy 4 代入 2.17 ，得：ux33x2 y2y4 ，从而通解为：x33x2 y2y4cb. 分项组合法 .将上面方程重新组合得：3x2dx4 y3dy6 xy2dx6x 2ydy0 ，即：dx3 d y4 d3x2 y2 0 ，亦即：dx3y43x2 y2 0 ，从而通解为 : x3y43x2 y2c . 此种方法需要多观看例 11 求解方程y2xy21 dx x1yxx2y2dy0 .y211x22xy解：由于：y xy2xxyxy2 xy3 ，故此方程为恰当微分方程 . 分项组合得：1 dy1 dxy 2dx2x2 dy20 ，即d ln yln xxy0 ，yxxy xyxy从而方程之通解为：ln y xxyc .xy5. 定义：能使非恰当微分方程M x, ydxN x,ydy0 变成恰当微分方程的连续可微函数ux，y ux, y0 ux, yM uMyx,uN xydx.ux, y N x, y dy0 ，满意5. 积分因子 只与 x，y 有关 的求解：MNyx x 得： u N x dx，eMNyx y 得： u M x dx.eex3y 2dx2xydy0 的通解.x2解：由于e3y y6 y2y2xy ，故此方程不是恰当微x当微分方程；又 6 y2 y2 ，故方程有只与 x 有关的2 xyx2dxu xe xx2 . 这样，在原方程两边同乘x2 得： x2ex3x2 y 2 dx2x3 ydy0 ，分项组合得：x2ex dx3x2 y2dx2x3 ydy0，即：d ex x22x2x3 y20 ，故通解为：ex x22x2x3 y2c ， cR ydxxy3dy0 .解：由于 y1y1x xy3，故此方程不是恰当微分方11y2 ，故方程有积分因子：y2 dy11u yey，方程两边同乘y22 ，得：y1 dx xyy2ydy0 ，分项组合得： 1 dx yx dy y2ydy0 ，即： d xyy 0，22x y2y 2c, cR .F. 一阶隐式微分方程与参数表示 .本节虽然考试会涉及到一些， 但重量相对较小 . 大家可以少花些时间做好， 做懂课后习题即可 . 在这里，此稿也就不说及其形式与解法了 .1. 利普希茨条件：对于f x,y ，假如存在常数 L>0，使之在 RR： xx0a, yy0b 上满意不等式f x, y1f x, y2 L y1y2 ，就其关于 y 满意利普希茨条件；2. 假如 f x, y 在矩形域 R上连续且关于 y 满意利普希茨条件，就 dydxf x, y3.1 存在唯独解 yx ，定义域区间hxx0mina,h 上，b连 续 且 满 足 初 值 条 件 y0 x0， 这 里 ：M，Mmax fx, y , x, yR.3. 满意初值条件的皮卡的靠近函数序列：0 xy0,xn x一样收敛，且n xy0f ,x0n 1d, x0xx0h为3.1 的第 n 次近似解MLn4. 误差估量：n x xhn 1n1.5. 查找解的存在唯独性定理的条件所满意的区域，就是查找 fx，y连续和满意利普希茨条件的区域，困难在于利普希茨条件的验证. 除用定义外，仍常用下面的结论：在 D 上满意利普希茨条件；假设f 在 D上存在且有界，就 f x， yyf 在 D 上存在且无界，就不满意李y普希茨条件 .dyx2y2 定义在区域 R： 1 dxx1, 1y1 上，是利用存在唯独性定理确定过点 0,0 的解的存在区间，并据此查找误差不超过0.05的近似解的表达式 .解：由于f2 y Mymaxf x, y2, hmin a, b M1min 1, 21 ，从而解2的存在区间为 x1 , 1，由 f2 y2 ，故取 L=2，22yn1就据题意有：n x xMLhn 1M Lh =10.5 ，n1n1.Ln1.n1.由于当 n=3 时，11 n1.4.1124200.05 ，故可得出如下近似表达式：0 x0,1 x02 x0x 20x 2020 d21 dx33x3x7363 ，x23 x022 dx62 10142d=0091893969x3x73632 x112079x15 59535另外，教材 88 页第 3 题可以做一做 .大家可以对比课本把握 * 或明白以下概念 .1.n 阶非齐次线性微分方程， n 阶其次线性微分方程 P121，2. 解的存在性唯独定理 P121 ，3. 函数线性相无关性，函数的朗斯基行列式P122 ，1， P121. 解的叠加原理； 2， p123-124 定理三四； 3， p125 定理5,6 ；p126 推论*5. 非齐次线性微分方程的基本性质.p127，性质 1,2 ，定理 7. 至于常数变易法用具体题目表达*6 常系数齐次线性微分方程的特点方程 p1377 欧拉方程 p142，*8 类型 1，类型 2 的解法 p145x 2xcost. 其基本解组为： x1et , xe t .2解： 1，常数变易法：依题意原方程的通解为：xc1tetc2 tet ，1,x,t,t1就2c1 tec2 tett令c , tetc , t e t02,tc1t ec2 te就 x,c tetc2e，于是x 2c ,tetc2 t c t etc2t et 3111将1，3代入原方程有：c , t etc , te tcost41,2c 1 t etc, 2 t e t0联立 24 t,c1 t e,，tc2 t e0,解的：c1 t 1 e t cost, 2，积分之，得 ; c1t1 e t sin t 4costc15c, 2t1 et2costc2t1 sin t4cost c21将5代入 1得方程的通解为： x2.公式法.c etc2e1 costt2t方程之特点方程为：21011,21 ，故其对应的齐次线性方1程的通解为： xc etc2e.依题意，方程有一特解： xAcostB sint ，代入原方程有：2 A cost2B sin tcost ，2 A1x，2B01 cost ，21故原方程的通解为： xc etc2e1t.cost2x4 5 x2 4 x0 .解：方程之特点方程为：45 240 ，解之得：2 t12, 22, 31, 41.故方程之通解为：xtc e2 tc2ec etc4et ,cR, i1,2,3,413i例 17：求解方程：x 54x3 0 .解：由题意：54 30 ，解之得： 1230, 42, 52.因此，方程之通解为：xt c1c2tc t 22tc5e2t .3ec4例 18：求解方程：x 2x,x0.解：特点方程为： 210 . 解之得： 113i,2213i2.故方程之通解为：xt c1e1t32 cost 2c2e1t2 sin3 t .2例 19：求解方程x34 x 25 x,2 x0 .132解：特点方程为：34 2520. 解之得： 121,32.故其齐次方程之通解为：xt c etc tetc e2t .知方程有特解形式：X tAtB 将之代入原方程有：5 A2 AtB2t3A1, B4. X t t4 .得通解为：xt c etc tetc e2tt4.1312例 20：求解方程解：特点方程为： 3x3x10cost.11,2 ,313i .2故其齐次方程之通解为：xt c etc2e1t32 cost 2c3e1t2 sin3 t.2据题意知方程有特解形式：X t A costB sin t.将之代入方程有： AB sin tBA costcost .AB12X t1 cos t2sin t . 故原方程之通解为 ;1xt c et1 te 2 c2cos3 t2c3 sin3 t21 cos t2sin t大家留意 p182.T1 的高阶方程 .1. 线性方程组的一般理论：A. 非齐次线性微分方程组 p202；p203 定理 3；p204 定理 4,5 ； p205 定理 5，B. 基本解组 p206，基解矩阵 p208； p208 定理 1,2 ； p121 定理 7； p212 定理 8；C.P222 的结论， p227 定理 10； 2 题目P190 例 2； p201T1；p208 例 1； p213 例 2；p217T8,9； P244T4；p245T5,6.把握的学问点：P279 奇点； p2806.36 ；p287 关于 p，q 与 a， b，c，d的关系； p288 图6.10 题目： p293T1.致参考此稿的同学：1. 此稿前四章较详， 基本上是书上的题目， 不同的是我给出了较具体的解题过程；另外，本准备将我平常看到的好题目，我的摸索列出，但易致此稿过长，故未予列出 .2. 由于后两章考查较少 . 故此稿后两章较简 . 大家把书上的例题，课后的题目做好， 做懂即可；假设仍有余力，可在试卷上找关于这两章的题目做；3. 此稿旨在对大家有所裨益，即起参考作用，万不行依靠.4. 课后相关题目肯定要做好， 做懂！5. “急趋无善迹”，故愿大家平心静气，踏实做题. 假三周之时， 定有佳绩！