高二物理竞赛第六章能带理论课件.pptx
第六章第六章 能带理论能带理论v 电子在运动过程中并不像自由电子那样完全不受任电子在运动过程中并不像自由电子那样完全不受任 何力的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子势何力的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子势 场的作用。场的作用。能带论的基本出发点能带论的基本出发点:v 固体中的电子不再是完全被束缚在某个原子周围，固体中的电子不再是完全被束缚在某个原子周围， 而是可以在整个固体中运动，称为共有化电子。而是可以在整个固体中运动，称为共有化电子。一、成功方面一、成功方面v WiedemannFranz定律定律v 电子热容量电子热容量v Pauli顺磁顺磁v 热电子发射与接触电势热电子发射与接触电势二、局限性二、局限性v 自由电子论无法解释为什么有些金属的自由电子论无法解释为什么有些金属的Hall系数系数 会大于会大于0（如（如Al、In、Zn、Cd等）；等）；v 根据自由电子论，金属的电导率根据自由电子论，金属的电导率电子密度电子密度n， 但为什么电子密度较大的二价金属（如但为什么电子密度较大的二价金属（如Be、Mg、 Zn、 Cd等）和三价金属（如等）和三价金属（如Al、In等）的电导等）的电导 率反而低于一价金属（如率反而低于一价金属（如Cu、Ag、Au等）等）? v 不能解释为什么电子的平均自由程不能解释为什么电子的平均自由程 会比相邻原子会比相邻原子 间距大得多（如间距大得多（如Cu：300 K时，时，3 108 m； 而而4.2 K时，时， 3 103 m ）；）；v 自由电子论认为金属费米面的形状为球面，但是，自由电子论认为金属费米面的形状为球面，但是， 实验结果表明，在通常情况下，金属费米面的形实验结果表明，在通常情况下，金属费米面的形 状都不是球面。状都不是球面。v 自由电子论不能解释为什么固体材料会分成导体、自由电子论不能解释为什么固体材料会分成导体、 半导体和绝缘体；半导体和绝缘体；v BornOppenheimer绝热近似：所有原子核都周期性绝热近似：所有原子核都周期性 地静止排列在其格点位置上，因而忽略了电子与声子地静止排列在其格点位置上，因而忽略了电子与声子 的碰撞。的碰撞。 能带论是单电子近似的理论。用这种方法求出的电能带论是单电子近似的理论。用这种方法求出的电子能量状态将不再是分立的能级，而是由能量的允带和子能量状态将不再是分立的能级，而是由能量的允带和禁带相间组成的能带，所以这种理论称为能带论。禁带相间组成的能带，所以这种理论称为能带论。能带论的两个基本假设：能带论的两个基本假设：v HatreeFock平均场近似：忽略电子与电子间的相互平均场近似：忽略电子与电子间的相互 作用，用平均场代替电子与电子间的相互作用。作用，用平均场代替电子与电子间的相互作用。6.1 Bloch定理定理一、周期场模型一、周期场模型 考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外其他电子的平均势场和原子实的周期场中运动，这样的其他电子的平均势场和原子实的周期场中运动，这样的模型称为周期场模型。模型称为周期场模型。二、二、Bloch定理（定理（1928年）年）在周期场中，描述电子运动的在周期场中，描述电子运动的Schrdinger方程为方程为 222UEm rrr为周期性势场，为周期性势场， 为格矢为格矢 这里，这里，uk(r) = uk(r+Rl) 是以格矢是以格矢Rl为周期的周期函数。为周期的周期函数。 Bloch函数函数定义一个平移算符定义一个平移算符T ，使得对于任意函数，使得对于任意函数f(r)有有 T ffrra证明：证明： ieu kkkrrr方程的解为：方程的解为： UUrrR123123Raaa（ 1, 2, 3） ：晶格的三个基矢：晶格的三个基矢a T T fT ffrraraa fT T fraar因为因为f(r)是任意函数，所以，是任意函数，所以，T T T T =0，即即T 和和T 可对易。可对易。 222T HfTUfm rrrr222Ufm r arara 222UT fHT fm rrrr因为因为f(r)是任意函数，所以，是任意函数，所以，T 与与H也可对易。也可对易。 HET rrrr +ar 1, 2, 3设设N 是晶体沿基矢是晶体沿基矢a （ 1，2，3）方向的原胞数，）方向的原胞数，（设为非简并）（设为非简并）T 和和H有共同本征态有共同本征态设设 (r)为为T 和和H的共同本征态的共同本征态 ：平移算符：平移算符T 的本征值。的本征值。引入周期性边界条件：引入周期性边界条件：晶体的总原胞数：晶体的总原胞数：NN1N2N3周期性边界条件：周期性边界条件： Nrra NNNT rarrr2exphiN引入矢量引入矢量123123123hhhNNN kbbbie k a2ab21Nihe h 整数，整数， 1, 2, 3hZ123123rRraaa 312123T T Tr 123123exp i kaaar定义一个新函数：定义一个新函数： iue k rkkrriue k r RkkrRrR iiieee k Rk Rk rkr ieu k rkkrr ie k Rr + Rr 312123 r这表明这表明uk(r)是以格矢是以格矢Rl为周期的周期函数。为周期的周期函数。 ieu k rkkrr证毕证毕二、几点讨论二、几点讨论1. 关于布里渊区关于布里渊区 ieu k rkkrr 波矢量波矢量k是对应于平移算符本征值的量子数，其是对应于平移算符本征值的量子数，其物物理意义表示不同原胞间电子波函数的位相变化。理意义表示不同原胞间电子波函数的位相变化。 111ie k ararr 不同的波矢量不同的波矢量k表示原胞间的位相差不同，即描述表示原胞间的位相差不同，即描述晶体中电子不同的运动状态。晶体中电子不同的运动状态。 如果两个波矢量如果两个波矢量k和和k相差一个倒格矢相差一个倒格矢Gn，这两个，这两个波矢所对应的平移算符本征值相同。波矢所对应的平移算符本征值相同。niiiieeee k ak aGak a 1, 2, 3 与讨论晶格振动的情况相似，通常将与讨论晶格振动的情况相似，通常将k取在由取在由各个各个倒格矢的垂直平分面倒格矢的垂直平分面所围成的包含原点在内的最小封闭所围成的包含原点在内的最小封闭体积，即简约区或第一布里渊区中。体积，即简约区或第一布里渊区中。对于对于 ： ie k a k对于对于 ：n kkG 波矢量波矢量 和和 所描述的电子在晶体中的运所描述的电子在晶体中的运动状态相同。动状态相同。 kn kkGv 简约波矢：简约波矢：k限制在简约区中取值限制在简约区中取值123123123hhhNNN kbbb在在k空间中空间中，波矢，波矢k的分布密度：的分布密度： 3388abNvVN kaVNv123123111bNNNNbbb每一个量子态每一个量子态k在在k空间中空间中所占的空间大小所占的空间大小:v 广延波矢：广延波矢：k在整个在整个k空间中取值空间中取值38abv在简约区中，波矢在简约区中，波矢k的取值总数为的取值总数为 bN k晶晶体体的的原原胞胞数数2. Bloch函数的性质函数的性质Bloch函数函数: ieu k rkkrrv 周期函数周期函数 的作用则是对这个波的振幅进行的作用则是对这个波的振幅进行 调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振 荡，但这并不影响态函数具有行进波的特性。荡，但这并不影响态函数具有行进波的特性。 u krie k rv 行进波因子行进波因子 表明电子可以在整个晶体中运动表明电子可以在整个晶体中运动 的，称为共有化电子，它的运动具有类似行进平面的，称为共有化电子，它的运动具有类似行进平面 波的形式。波的形式。晶体中电子：晶体中电子： ieu k rkkrr自由电子：自由电子： iAe k rkr孤立原子：孤立原子： Currl 如果晶体中电子的运动完全自由，如果晶体中电子的运动完全自由， .uAconst kr 在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之间，是两者的组合。原子之间，是两者的组合。 ieu k rkr u kr 由于晶体中的电子既不是完全自由的，也不是完全被由于晶体中的电子既不是完全自由的，也不是完全被束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有 的形式。周期函数的形式。周期函数 反映了电子与晶格相互作用的反映了电子与晶格相互作用的强弱。强弱。.ieCconst k rl 若电子完全被束缚在某个原子周围，若电子完全被束缚在某个原子周围，.Aconst.Cconst Bloch函数中，行进波因子函数中，行进波因子 描述晶体中电子描述晶体中电子的共有化运动的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动；而周期，即电子可以在整个晶体中运动；而周期函数因子函数因子 则则描述电子的原子内运动描述电子的原子内运动，取决于原，取决于原子内电子的势场。子内电子的势场。 ie k r u krv 如果电子只有原子内运动（孤立原子情况），电子如果电子只有原子内运动（孤立原子情况），电子 的能量取分立的能级；的能量取分立的能级；v 晶体中的电子既有共有化运动也有原子内运动，因晶体中的电子既有共有化运动也有原子内运动，因 此，电子的能量取值就表现为由能量的允带和禁带此，电子的能量取值就表现为由能量的允带和禁带 相间组成的能带结构。相间组成的能带结构。v 若电子只有共有化运动（自由电子情况），电子的若电子只有共有化运动（自由电子情况），电子的 能量连续取值（严格讲电子能量应是准连续的）。能量连续取值（严格讲电子能量应是准连续的）。 电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成能带的必要条件。对称性并不是形成能带的必要条件。 需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的。但是，势场中推导出来的。但是，周期性势场并不是电子具有周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件能带结构的必要条件，在非晶固体中，电子同样有能带，在非晶固体中，电子同样有能带结构。结构。
