2022年平面向量总结2.docx

精品word学习资料可编辑资料- - - - - - - - - - - - - - - - - -细心整理 - - - 欢迎下载 - - -第 8 页,共 8 页一向量有关概念 ：平面对量概念、方法、题型总结1. 向量的概念 ：既有大小又有方向的量,留意向量和数量的区分；向量常用有向线段来表示,留意 不能说向量就是有向线段 ,为什么？（向量可以平移） ；如：uuurr已知 A（1,2 ）,B（4,2 ）,就把向量 AB 按向量 a （ 1,3 ）平移后得到的向量是 （答：（ 3,0 ）2. 零向量：长度为 0 的向量叫零向量,记作： 0 ,留意零向量的方向是任意的 ；uuurABuuur3. 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与 AB平行的单位向量是uuur ；| AB |4. 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性；5. 平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 a 、b 叫做平行向量, 记作： a b ,规定零向量和任何向量平行 ；提示：相等向量肯定是共线向量,但共线向量不肯定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；r平行向量无传递性 ！（由于有 0 ；uuuruuur三点 A、B、C 共线AB、AC 共线；6. 负向量：长度相等方向相反的向量叫做负向量；a 的负向量是 a ；如rr以下命题：（ 1）如 abrr,就 ab ；（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相uuuruuur同,终点相同；（ 3）如 ABDC,就 ABCD 是平行四边形；（4）如 ABCD 是平行四边形,uuuruuurrr rrrrrr rrrr就 ABDC；（5）如ab, bc ,就 ac；（6）如 a / b,b / c ,就 a / c ；其中正确选项 （答：（4）（5）二向量的表示方法 ：1. 几何表示法：用带箭头的有向线段表示,如AB ,留意起点在前,终点在后；2. 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示,如a , b , c 等；3. 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系,以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i ,rrrj 为基底,就平面内的任一向量 a 可表示为 axiy jx, y ,称 x, y 为向量 a 的坐标, a x, y 叫做向量 a 的坐标表示； 假如向量的起点在原点 ,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同,此向量称作位置向量；uruur三平面对量的分解定理 ：假如 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数1 、 2 ,使 a = 1ure1 2uure2 ；如rrrrr（ 1） 如a1,1,b1, 1, c 1,2 ,就 c （用 a , b 表示）（答： 1 r3 r ）；ab22（2） ） 以下向量组中,能作为平面内全部向量基底的是uruururuurA.e10,0, e21, 2B.e1 1,2, e25,7uruurC.uruur13e13,5, e26,10D.e12,3, e2,24（答： B）；（3） ） 已知r ruuur uuurAD, BE 分别是 ABC 的边BC, AC 上的中线 , 且uuur r uuur r ADa, BEbuuur, 就BC 可用向量 a, b 表示为 （答： 2 r4 r ）；（4） ）已知 ABC 中,点 D 在 BC 边上,且值是 CD2 DB, CDr ABs ACab33,就rs 的（答： 0）四实数与向量的积 ：实数 与向量 a 的积是一个向量,记作a ,它的长度和方向规定rr如下： 1aa , 2 当 >0 时,a 的方向与 a 的方向相同,当<0 时,a 的rr方向与 a 的方向相反,当0 时, a五平面对量的数量积 ：0 ,留意： a 0；uuurr uuurr1. 两个向量的夹角 ：对于非零向量 a , b ,作 OAa,OBb , AOB0称为向量 a , b 的夹角,当 0 时, a , b 同向,当 时, a , b 反向,当 时, a , b 垂直；22. 平面对量的数量积 ：假如两个非零向量 a , b ,它们的夹角为,我们把数量rr| a | b | cos叫做 a 与b 的数量积（或内积或点积） ,记作： a . b ,即 a . b rra b cos；规定：零向量与任一向量的数量积是0,留意数量积是一个实数,不再是一个向量；如（1）ABC中, | AB |3 , | AC |4 , | BC |5,就 ABBC （答： 9）；r1r1rrr urrrrur（2） 已知 a1, , b0, cakb , dab , c 与d 的夹角为,就 k 等于 224（答： 1）；rrr rrr（3） 已知 a2, b5,agb3 ,就 ab等于 （答： 23 ）；r rrrrrrrr（4） 已知a, b 是两个非零向量,且ababr,就 a与ab 的夹角为 （答： 30o ）3. b 在a 上的投影 为|b | cos,它是一个实数,但不肯定大于0；如已知| a |3 , | b |5 ,且 a b12 ,就向量 a 在向量 b 上的投影为 （答：12 ）5r4. a . b 的几何意义 ：数量积 a . b 等于 a 的模 | a |与b 在 a 上的投影的积；5. 向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a , b ,其夹角为,就：rrrr aba .b0 ；rrr 2rrr 2rr 2当a , b 同向时, a . b a brr,特殊地,aa . aarr, aarr；当 a 与b 反向时, a . b a b；当 为锐角时, a . b 0,且 a、b 不同向, a b0 是 为锐角的必rrrr要非充分条件 ；当 为钝角时, a . b 0,且 a、b 不反向, a b0 是为钝角的必要非充分条件 ；rrrr非零向量 a , b 夹角的运算公式： cosa . ba brrrr； | a . b | | a | b | ；如（1） 已知 a,2 , b3 ,2,假如 a 与 b 的夹角为锐角,就的取值范畴是（答：4 或0 且1 ）；33（2） 已知 OFQ 的面积为 S ,且 OFFQ取值范畴是 1,如 1S23 ,就2OF , FQ夹角 的（答： , 4 ）；3rrrr（ 3） 已 知acos x,sin x, bcos y,sin y,a与b之 间 有 关 系 式rrrrrrrrrrkab3 akb的大小,其中k0 ,用 k 表示 a b ；求 a b 的最小值,并求此时 a 与b 的夹角rr（答： a bk 21 k4k0) ；最小值为1 ,60o ）2六向量的运算 ：1. 几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法就”进行,但“平行四边形法就”只适用于不共uuurr uuurruuur线的向量,如此之外,向量加法仍可利用“三角形法就”：设 ABa, BCb ,那么向量 ACr叫做 arrruuuruuuruuur与b 的和,即 abABBCAC；uuurr uuurrrruuuruuuruuur向量的减法：用“三角形法就” ：设 ABa, ACb,那么abABACCA ,由减向量的终点指向被减向量的终点；留意：此处减向量与被减向量的起点相同；如uuuruuuruuur（ 1） 化 简： ABBCCD uuuruuuruuuruuur ABCD ACBD uuuruuuruuur； ABADDC ；uuurr uuuruuur（答： ADuuur； CBr； 0 ）；（2） 如正方形 ABCD 的边长为 1,r uuurr ABa, BCb, ACcrrr,就| abc | （答： 22 ）；uuuruuuruuuruuuruuur（3） 如 O是 VABC 所在平面内一点, 且满意外形为 OBOCOBOC2OA,就VABC 的（答：直角三角形）；（ 4 ） 如 D 为 ABC 的 边 BC 的 中 点 , ABC 所 在 平 面 内有 一 点 P , 满 足uuuruuuruuurruuur,设 | AP |PABPCP0uuur,就 的值为| PD |uuuruuuruuurr（答： 2）；（5）如点 O 是ABC 的外心,且rrOAOBCO0 ,就 ABC 的内角 C 为 （答： 120o）；2. 坐标运算 ：设 ax1, y1 ,b rr x2, y2 ,就：向量的加减法运算 ： abx1x2 , y1y2 ；如（1）已知点 A2,3, B5,4 , C 7,10 ,如uuuruuuruuurAPABACR ,就当 时,点P在第一、三象限的角平分线上（答： 1 ）；2（2） 已知A2,3, B1,4, 且 1 uuurAB2sin x,cos y , x, y, ,就 xy 22uuruuruur（答：或）；62uruuruuruur（3） 已知作用在点的终点坐标是A1,1的三个力 F13,4, F22,5, F33,1 ,就合力 FF1F2F3（答：（9,1 ）实数与向量的积 ：rax1 , y1 uuurx1,y1；如 A x1, y1, B x2, y2 ,就 ABx2x1, y2y1 ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；如uuur设 A2,3, B1,5 ,且1 uuur , uuuruuur ,就 C、D 的坐标分别是 ACAB 3AD3AB（答：111,7,9 ）；3rr平面对量数量积 ： a.bx1x2y1 y2 ；如已知向量 a （sinx ,cosx ）,b （sinx ,sinx ）,c （ 1,0）；（ 1）如 x ,3求向量 a 、c 的夹角；（2）如 x 3, ,函数84f xa b 的最大值为1 ,求 的值2（答：1150o;21 或21 ）；2r22r 2r 222向量的模 ： | a |rrxy , a| a |xy ；如uurr已知a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60o ,那么 | a3b | （答：13 ）；两点间的距离 ：如A x1, y1, B x2, y2,就 | AB |2x2x12y2y1；如七向量的运算律 ：rrrrrrrrrr1. 交换律： abba ,aa , a . bb . a ；rrrrrr rrrrrrrrrrrr2. 结合律：abcabc, abcabc , a . ba . ba .b ；rrrrrrrrrrrrrr3. 安排律：aaa,abab , ab . ca . cb . c ；如以下命题中：a bc a bac ；a b c a bc ； ab2| a |2rrrrrrr 2r 22 | a | | b | b |2 ； 如a brrr0 ,就 a0 或 b0 ；如 a bc b, 就ac ； aa ；22 a bbrrr 2r 2rrr 2rrr 2r 2r ；aaa bab ； aba2a bb；其中正确选项（答：）提示：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区分：对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除 相约 ；（ 2）向量的“乘法”不满意结合律 ,即ab .cr ra . bc ,为什么？八向量平行 共线 的充要条件 ： a,b 都是非零向量rrrrrrrr（1） a / baba b2| a | b |2x1 y2y1 x2 0；rrrrr（2） a / bab00ruruur ruruurrr（3） 如 ax1e1如y1e2, bx2 e1rry2 e2 ,就a / bx1 y2x2 y1rr(1) 如向量 ax,1,b4, x ,当 x 时a 与b 共线且方向相同（答： 2）；rrrrrrrrrr（2）已知 a1,1,b4, x , ua2b , v2ab ,且 u / v ,就 x （答： 4）；uuuruuuruuur（3）设PAk ,12, PB4,5, PC10,k ,就 k时, A,B,C 共线（答： 2 或 11）rrrrrrrr九向量垂直的充要条件： aba buuuruuuruuuruuurABACABAC0| ab | | ab |x1 x2y1 y20. 特殊地 uuuruuur uuuruuur ；如ABACABACuuuruuuruuuruuur1 已知 OA 1,2, OB3, m ,如 OAOB ,就 m（答： 3 ）；2（2） ） 以原点 O和 A4,2 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB, B标是 90 ,就点 B 的坐（答： 1,3 或（ 3, 1） ；rrurrurur（3） ） 已知 n a, b, 向量 nm ,且 n m ,就 m 的坐标是 （答： b,a) 或b, a ）十线段的定比分点 ：1. 定比分点的概念 ：设点 P是直线 P1 P2 上异于 P1 、P2 的任意一点,如存在一个实数,使uuuruuurP1PPP2 ,就 叫做点 P 分有向线段uuuur P1P2所成的比, P点叫做有向线段uuuur P1P2 的以定比为 的定比分点；2. 的符号与分点 P 的位置之间的关系 ：当 P点在线段 P 1 P2 上时>0；当 P 点在线段 P 1 P2 的延长线上时<1；当 P 点在线段 P2 P1 的延长线上时10 ；如点 P 分有向线段uuuur P1P2所成的比为,就点 P 分有向线段uuuurP2 P1 所成的比为1 ；如如点 Puuur分 AB 所成的比为3uuur,就 A分 BP 所成的比为4（答： 7 ）3. 线段的定比分点公式 ：设P1 x1, y1 、 P2 x2 , y2 , Px, y 分有向线段uuuur P1P23所成的比x为,就yx1x21y1y21,特殊地,当 1 时,就得到线段 P1 P2x的中点公式yx1x2 2y1y2 ；2在使用定比分点的坐标公式时,应明确 x, y , x1, y1 、 x2 , y2 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标；在详细运算时应依据题设条件,敏捷地确定起点,分点和终点,并依据这些点确定对应的定比；如（1）如 M（-3 ,-2 ）,N（6,-1 ）,且MP1 MN,就点 P的坐标为 3（答：6,7 ）；3（2） 已知Aa,0, B3,2a ,直线 y1 ax 与线段交于 M ,且uuuuruuur,就 a 等ABAM2于 2MB（答：或）十一、向量中一些常用的结论：（1） 一r个封闭r图形r首r尾连r 接而r成的向量和为零向量,要留意运用；rrrrrrr（2） | a | b | | ab | | a |b |,特殊地,当 a、b 同向或有 0| ab | | a | b |rrrrrrrrrrrrrrrrr| a | b | | ab | ；当 a、b 反向或有 0rrrrrr| ab | | a |b | a | b | | ab |；当 a、b 不共线| a | b | | ab | | a | b | 这些和实数比较类似 .（3） 在 ABC 中,如 A x , y, B x , y,C x, y,就其重心的坐标为Gx1x2x3 , y1y2y3；11223333如如ABC的三边的中点分别为（ 2,1）、（ -3 ,4）、（-1 ,-1 ）,就 ABC的重心的坐标为 （答： 2 , 4 ）；3 3uuuruuuruuuruuur1G 为 ABC 的重心,特殊地uuuruuuruuurrP 为PG3 PAPBPC PAPBPC0ABC 的重心；uuuruuuruuuruuuruuuruuur PA PBPB PCPCPAP 为 ABC 的垂心；uuuruuur向量uAuBuruAuCur 0 所在直线过 ABC 的内心 是 BAC 的角平分线所在直线 ；| AB | AC |uuuruuuruuuruuuruuuruuurr| AB | PC| BC | PA| CA | PB0PABC 的内心；uuuuruuuruuuuruuuur（4） 如 P 分有向线段P1P2所成的比为,点 M 为平面内的任一点, 就 MP uuuuruuuurMP11MP2 ,特殊地 P 为 P1P2 的中点uuurMPMP1MP2 ；2uuuruuuruuur（5） 向量 PA、PB、PC 中三终点 A、B、C且1 . 如u uruuuruuru共线存在实数 、 使得 PAPBPC平面 直角坐标 系中, O 为坐标原 点, 已知 两点A3,1 , B1,3, 如点 C 满意OC1OA2OB , 其中1 ,2R 且 121, 就点 C 的轨迹是 （答：直线 AB）