2022年平方根和立方根知识点总结及练习.docx
【基础学问巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（ 1）平方根的定义： 假如 一个数 x 的平方 等于 a,那么这个数 x 就叫做 a 的平方根 即：假如 x2a , 那么 x 叫做 a 的平方根（ 2）开平方的定义：求一个数的平方根 的运算 , 叫做开平方开平方 运算的 被开方数必需是 非负数 才有意义；（ 3）平方与 开平方互为逆运算 ：3 的平方等于 9, 9 的平方根是3（ 4） 一个正数 有两个平方根, 即正数 进行开平方 运算有 两个 结果； 一个负数没有平方根, 即负数不能 进行开平方 运算（ 5）符号： 正数 a 的正的平方根 可用a 表示,a 也是 a 的算术平方根；正数 a 的负的平方根 可用 -a 表示 （ 6） x 2a< >xaa 是 x 的平方x 的平方是 ax 是 a 的平方根a 的平方根是 x 2、算术平方根（1）算术平方根的定义 ： 一般地,假如 一个正数 x 的平方 等于 a,即 x2a ,那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根 a 的算术平方根记为a ,读作 “根号a”,a 叫做 被开方数规定： 0 的算术平方根是 0.也就是,在等式 x 2ax 0中 ,规定 xa ；（ 2） a 的结果有 两种情形： 当 a 是完全平方数 时, a 是一个 有限数；当 a 不是一个完全平方数 时,a 是一个 无限不循环小数；（ 3）当被开方数扩大 时,它的 算术平方根 也扩大； 当被开方数缩小 时与它的算术平方根也缩小 ；一般来说, 被开放数扩大 （或缩小） a 倍,算术平方根扩大 （或缩小）a 倍,例如=5,=50；（ 4）夹值法 及估量一个（无理）数的大小（ 5） x2a x 0< >xaa 是 x 的平方x 的平方是 ax 是 a 的算术平方根a 的算术平方根是x（ 6）正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零；a （ a0）a0a 2a；留意a 的双重非负性：- a （ a<0 ）a0（ 7） 平方根 和算术平方根 两者既有区分又有联系：区分在于 正数的平方根有两个 ,而它的 算术平方根只有一个 ；联系在于 正数 的正平方根 就是它的 算术平方根 ,而正数的负平方根是它的 算术平方根的相反数；3、立方根（1）立方根的定义：假如 一个数 x 的立方等于 a, 这个数叫做 a 的立方根 （也叫做 三次方根 ）,即假如 x3a , 那么 x 叫做 a 的立方根（ 2）一个数 a 的立方根, 记作 3 a , 读作： “三次根号 a ”,其中 a 叫被开方数, 3 叫根指数, 不能省略 ,如省略表示平方 ；（ 3） 一个 正数 有一个 正的立方根；0 有一个立方根,是它本身； 一个负数 有一个 负的立方根 ； 任何数 都有 唯独 的立方根 ；（ 4）利用 开立方 和立方互为逆运算 关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的肯定值的立方根,再取其相反数,即3a3 a a0 ；（ 5） x3a< >x3 aa 是 x 的立方x 的立方是 ax 是 a 的立方根a 的立方根是 x（ 6） 3a3 a ,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面；【典型例题分析】学问点一：有关概念的识别1、以下说法中正确选项（）A、的平方根是± 3B、1 的立方根是± 1C、=±1D、是 5 的平方根的相反数2、以下语句中,正确选项（）A 一个实数的平方根有两个,它们互为相反数B负数没有立方根 C一个实数的立方根不是正数就是负数D立方根是这个数本身的数共有三个3、 以下说法中：3 都是 27 的立方根,3 y3y ,64 的立方根是2 , 38 24 ；其中正确的有（ ）A、1 个B、 2 个C、3 个D、4 个4、0.72的平方根是（）A 0.7B 0.7C 0.7D 0.4935、以下各组数中,互为相反数的组是（）A 、 2 与2 2B、 2 和8C、1与 2D 、 2和 22学问点二：运算类题型1、25 的算术平方根是；平方根是. -27立方根是. , , .2、 4 2； 3 6 3； 196 2 =.38 =.3、2 +32 527 1-7 7 |32 | + |32 |- |21 |3 8 2 2144、（ 1 ） 3273 21（ 2）327013 0.12534163364（3）学问点三：利用平方根和立方根解方程1、（ 1）（ 2x-1 ） 2-169=0 ；（ 2） 4 x2121（ 3） x2 3125学问点四：关于有意义的题a 本身为非负数,有非负性,即a 0； a 有意义的条件是a 0；要使 1 有意义,必需满意a0.a1、如a 的算术平方根有意义,就a 的取值范畴是（）A 、一切数B 、正数C、非负数D、非零数2、要使2 x6 有意义, x 应满意的条件是3、当x时,式子x1x2 有意义；学问点五：有关平方根的解答题1、一个正数 a 的平方根是 3x4 与 2x,就 a 是多少？2、如 5a1 和 a 19 是数 m 的平方根,求m 的值；3、已知 x、y 都是实数,且 yx3 3x4 ,求y x 的平方根；2学问点六：非负性的应用1、已知实数 x, y 满意x2 +y+1=0,就 x-y 等于解答：依据题意得, x-2=0 , y+1=0, 解得 x=2, y=-1 ,2所以, x-y=2- （-1 ） =2+1=32、已知 a、b 满意2 a8b30 ,解关于 x 的方程 a2 xba1；3、如x13xy1 20 ,求5 xy2 的值；4、如 a、b、c 满意 a35b 2c10 ,求代数式bc 的值；a5、已知13a和 8b 3互为相反数,求ab27 的值； 2【重点学问巩固】考点、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（ 1） 假如一个正数 x 的平方等于 a,即,那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根；（ 2）假如一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根 （或二次方跟） ；假如,那么 x 叫做 a 的平方根；（ 3） 假如一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根） ；假如,那么 x 叫做 a 的立方根；2、运算名称（ 1） 求一个正数 a 的平方根的运算,叫做开平方；平方与开平方互为逆运算；（ 2） 求一个数的立方根的运算,叫做开立方；开立方和立方互为逆运算；3、运算符号（ 1） 正数 a 的算术平方根,记作“a ”；（ 2） aa 0的平方根的符号表达为；（ 3） 一个数 a 的立方根,用表示,其中 a 是被开方数, 3 是根指数；4、运算公式4、开方规律小结（ 1）如 a 0,就 a 的平方根是a ,a 的算术平方根a ；正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根；0 的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根；实数都有立方根, 一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号与被开方数的符号相同；正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0 的立方根是 0；（ 2） 如 a<0,就 a 没有平方根和算术平方根；如a 为任意实数,就 a 的立方根是；（ 3） 正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数；
