2022年常微分方程习题及答案..docx

一、是非题第十二章常微分方程A学习文档 仅供参考1. 任意微分方程都有通解； 2. 微分方程的通解中包含了它全部的解；3. 函数 y3 sin x4 cos x 是微分方程 yy0 的解；4. 函数 yx2ex 是微分方程 y2 yy0 的解；5. 微分方程 xyln x0 的通解是 y12ln x2C C 为任意常数 ；6. ysin y 是一阶线性微分方程； 27. yx3 y 3xy 不是一阶线性微分方程； 8. y2 y5 y0 的特点方程为 r2r50 ；9. dydx1 xy2xy 2 是可别离变量的微分方程； 二、填空题1. 在横线上填上方程的名称 y3ln xdxxdy0 是； xy2x dxyx2 y dy0 是； x dydx xyy lnyx2y是；xsin x 是； yy2 y0 是；2. ysin xyxcos x 的通解中应含个独立常数；2x3. ye的通解是；4. ysin 2 xcos x 的通解是；5. xy2x 2 y 2x 3 yx41是阶微分方程；66. 微分方程 yyy0 是阶微分方程；17. y所满意的微分方程是；x8. y2 y x的通解为；9. dxydydy0 的通解为；x2 y510. 10dxx1x1 2 ，其对应的齐次方程的通解为；11. 方程 xy1x2 y0 的通解为；123 阶微分方程 yx3 的通解为；三、挑选题1微分方程xyy3x yy 4 y0 的阶数是 ；A3B4C5D 22微分方程 yx 2 yx51 的通解中应含的独立常数的个数为 ；A3B5C4D 23. 以下函数中，哪个是微分方程dy2xdx0 的解；A y2xB yx2C y2 xD yx4. 微分方程 y23y 3 的一个特解是 ；3A yx1B y3x2C y2x CD y3C 1x5函数 ycos x 是以下哪个微分方程的解 ；A yy 0B y2 y0C yny0D yycos x6. yC exC e x 是方程 yy0 的，其中 C ， C 为任意常数；1212A. 通解 B 特解 C 是方程全部的解D 上述都不对x7. yy 满意y |x 02 的特解是 ；A. yex1B xy2eC yx2 e2D y3 e8. 微分方程 yysinx 的一个特解具有形式 ；A y*asin xB y *a cosxC y*x asin xb cosxD y*acosxbsin x9. 以下微分方程中， 是二阶常系数齐次线性微分方程；A. y2 y0B yxy3 y20C 5 y4x0D y2 y1010. 微分方程 yy0 满意初始条件 y 01的特解为 ；A exB ex1C ex1D 2ex11. 在以下函数中，能够是微分方程yy0 的解的函数是 ；A. y1B yxC ysin xD yex12. 过点1,3且切线斜率为2 x 的曲线方程 yy x 应满意的关系是 ；A y2xB y2xC y2 x，y 13D y2x ， y 1313. 以下微分方程中，可别离变量的是 ；A. dyye dxxB dy dxk xa by k , a , b 是常数C dysin yx dxD yxyy 2 ex14. 方程 y2 y0 的通解是 ；A. ysin xB y4 e2 xC yC e2 xD yex15. 微分方程 dxdyyx0 满意y |x 34 的特解是 ；Ax 2y225B 3 x4 yCC x2y2CD x2y 2716. 微分方程 dydx1y0 的通解是 y；xA CB CxC 1C xxD xC17. 微分方程 yy0 的解为；A. exB e xC exe xDex218. 以下函数中，为微分方程xdxydy0 的通解是 ；A. xyCB x 2y 2CC Cxy0DCxy019. 微分方程2 ydydx0 的通解为 ；A y2xCB yxCC yxCD yxC20. 微分方程cos ydysinxdx 的通解是 ；A. sinxcos yCB cos ysin xCC cos xsin yCD cos xsin yC21. ye x 的通解为 y；A. e xB e xC e xC1 xC2D e xC1xC222. 根据微分方程通解定义，ysinx 的通解是 ；A. sin xC1xC2Bsin xC1C2C sin xC1xC2D sinxC1C2四、解答题1. 验证函数 yC e 3xe2x C 为任意常数 是方程 dydxe 2x3 y的通解，并求出满意初始条件y |x 00 的特解；2. 求微分方程x y 21 dxy 1x2 dy0 的通解和特解；y |x 011y2解：C ， 2x 2y 211x23. 求微分方程 dydxytanxy的通解；x解： sin yxCx ；yxy4. 求微分方程yx 的特解；y |x 12sin x解： y 22x2ln x2 ；5. 求微分方程 yy cosxe的通解；解： ye sin x xC6. 求微分方程 dydxysin x x的通解；解： y1 sin x xx cos xC77. 求微分方程x1 y2 yy |x 01x1 20的特解；解： y32x1 231x1 238. 求微分方程 y2 y xx21满意初始条件 x0 ， y1 ， y3 的特解；解： yx 33x19. 求微分方程y2 yy满意初始条件 x0 ， y1 ， y2 的特解；解： arctan yx或 y4tan x410 验 证 二 元 方 程 x 2xyy 2C 所 确 定 的 函 数 为 微 分 方 程x2 y y2xy 的解；11. 求微分方程ex yex dxex yey dy0 的通解；解： ex1 ey1C12. 求 dydxy tan xsecx ， y |x 00 的特解；解： yx cos x13. 验证 y1cosx ， y2sinx 都是 y2 y0 的解， 并写出该方程的通解；14. 求微分方程 y2 yx2 x的通解；解： yCx2x 2 ln x15. 求微分方程 y1 yex x0 满意初始条件 y 10 的特解；解： yeex3xx16. 求微分方程 dy2ydxx12x1的通解；解： y2x1x1C217. 求微分方程xdx1yydy1x0 满意条件 y 01的特解；解： 2 y3x33 y 2x 252 x18. 求微分方程 yy2 y0 的通解；解： yC exC2e1x19. 求微分方程 y2 y5 y0 的通解；解： yeC1 cos2xC2 sin 2 x20. 求微分方程 y4 y4 y0 的通解；解： yC1C2 xe 2 x21. 试求 yx 的经过点 M0,1且在此点与直线 yx1 相切的积分曲线；2解： y1 x361 x12B一、是非题1. 可别离变量微分方程不都是全微分方程；2. 假设y1 x， y 2x 都是 yP x yQ x 的特解，且y1 x与 y2x 线性无关，就通解可表为 y xy1 xC y1 xy2 x；3. 函数 ye 1xe2 x 是微分方程 y12y12 y0 的解；4. 曲线在点x, y处的切线斜率等于该点横坐标的平方，就曲线所满意的微分方程是 yx 2C C 是任意常数 ；5. 微分方程 ye2xy ，满意初始条件y |x 00 的特解为 ey1 e2 x21；二、填空题1. y1cosx与 y2sin x 是方程 yy0 的两个解，就该方程的通解为；2. 微分方程 y2 y3y0 的通解为；3. 微分方程 y2 yy0 的通解为；4. 微分方程 ye2x 的通解是；5. 微分方程 yy' 的通解是；6. 微分方程三、挑选题dy2 xy 的通解是；dx1微分方程 y4 y4 y0 的两个线性无关解是 ；Ae 2 x 与 2e2 xB e 2x 与 xe 2xC e2 x 与 xe2xD e 2 x 与 4e 2 x2以下方程中，不是全微分方程的为 ；A 3x26xy2 dx6x 2 y4y 2 dy0B ey dxx ey2y dy0C y x2 y dxx 2dy0D x 2y dxxdy03. 以下函数中，哪个函数是微分方程s tg 的解；A. sgtB sgt 2C s1 gt 22D s1 gt 224. 以下函数中，是微分方程 y7 y12 y0 的解；A yx3B yx 2C ye3 xD ye2 x5. 方程 1x2 yxy0 的通解是 ；1 2AyC1x2B yC1x2C y1 x 3Cx2D yxCxe 26. 微分方程 yln xdxx lnydy 满意y |x 11 的特解是 ；A ln 2 xln 2 yB ln 2 xln 2 y1C ln 2 xln 2 y0D ln 2 xln 2 y17. 微分方程 1x 2 dy1y2 dx0 的通解是 ；A arctan xarctan yCB tan xtan yCC lnxln yCD cotxcot yC8. 微分方程ysinx 的通解是 ；A ysinxB ysinxC ysinxC1xC2D ysinxC1 xC29. 方程 xyy3 的通解是 ；A. y四、解答题C3B y3 xxCC yC3D yC3xx1. 求微分方程 y9 y24x6 cos3x2 sin 3x 的通解；解： yC1xcos3xC2x 2x sin x3x22. 求微分方程 y7 y6 ysinx 的通解；eC1解： y6xC ex17 cos x 745 sin x23. 求微分方程3x22xyy 2 dxx 22xy dy0的通解；解： y 2xyx2CxC一、是非题1. 只要给出 n 阶线性微分方程的 n 个特解，就能写出其通解；2. 已知二阶线性齐次方程yP xyQ xy0的一个非零解 y ，即可求出它的通解； 二、填空题1. 微分方程 y4 y5 y0 的通解是；2. 已知 y1， yx ， yx 2 某二阶非齐次线性微分方程的三个解，就该方程的通解为；3. 微分方程 y2 y2 yex 的通解为；三、挑选题1. 微分方程 yy1xx x2的通解为 ；1Aarctan xCB 1 arctan xC xC 1 arctan xC xD arctan xCx2. 微分方程 yy1的通解是 ；A yC exB yC ex1C yC ex1D yC1ex3. xyyy |x 103的解是；A y3 11xB y3 1xC y11xD y1x4. 微分方程 dydxytanxy的通解为 ；xA sin yCxB sin y1xC sinCxD x1sinxxCx5yyCx7*25. 已知微分方程 yp x yx1 2 的一个特解为 yx1 2 ，就此微分3方程的通解是 ；27A C2 x1 2x13227BC2x1 227x111227C C x1x1 211D x1x1 236. 微分方程 yyex1 的一个特解应具有形式 式中a ，b 为常数 ；A aexbB axe xbC aexbxD axexbx四、解答题1. 设 yxe 是微分方程 xyp x yx 的一个解，求此微分方程满意条件y |xln 20 的特解；解：代入 yex 到方程 xyp x yx 中，得 p xxe xx原方程为 xyxe xxyxyex 1C ee x ， yex1y1 xln 2 ， y0 C1e 2 ；yex1e x 1e2；2. 已知 y1xexe2x ， yxexe， y3xexe2 xe x 是某二阶线性非齐次2x32微分方程的三个解，求此微分方程；解： y1y3e x ， yye2x2e x 均是齐次方程的解且线性无关；xC1eCe2x2e x是齐次方程的通解；当 C12 ，C21 时，齐次方程的2特解为e2 xe x 、 e2x 都是齐次方程的解且线性无关；x C1eC e2x 是齐次方程的通解；2由此特点方程之根为 -1 ，2，故特点方程r 2r20 ；相应的齐次方程为 yy2 y0故所求的二阶非齐方程为yy2 yf xy1 是非齐次方程的特解代入上式得f x12xex所以 yy2 y12x ex 为所求的微分方程；3. 已知 f 01，试确定 f2x ，使 exf x ydxf x dy0 为全微分方程，并求此全微分方程的通解；解： Pexf xy， Qf x ，由 QP 得xyxdxfxexf x ，即 fxf xex f xee e dxCex xC f 01C ， f x2exx1，x2得全微分方程： eex1xx2ydxex1 dy0 2解得 ux, yx0dx0y exx01 dy 2exx1 y ；2故此全微分方程的通解为exx1 yC；2一、是非题第十二章微分方程A1×； 2×； 3 ； 4×； 5； 6×； 7×； 8； 9；二、填空题1. 在横线上填上方程的名称可别离变量微分方程；可别离变量微分方程；齐次方程；一阶线性微分方程；二阶常系数齐次线性微分方程；23； 3 1 e 2x4C1 xC 2 ； 4 1 sin 2 x4cos xC1 xC 2 53；62； 7 yy 20；8 yCx 2 ； 9 x2y 2C ；10 y2C x1； 11 yx 2Cxe 2；12 y1x6120C1xC 2 xC 3 ；三、挑选题1D； 2 A；3B； 4 B；5C；6A；7B；8C；9A；10A；11C；12C；13B；14C；15A；16B；17B；18B；19A；20D；21C；22A 四、解答题1. 验证函数 yC e 3xe2x C 为任意常数 是方程 dydxe 2x3 y的通解，并求出满意初始条件y |x0 的特解；2. 求微分方程x y 21 dxy 1x2 dy0 的通解和特解；y |x 012解： 1yC ， 2x 2y 21；1x23. 求微分方程 dydxytan xy 的通解；x解： sin yxCx ；yxy4. 求微分方程yy |x 12x 的特解；sin x解： y 22x2ln x2 ；5. 求微分方程 yy cosxe的通解；解： ye sin x xC ；6. 求微分方程 dydxysin x x的通解；解： y1 sin x xx cos xC ；77. 求微分方程x1 y2 yy |x 01x1 20的特解；解： y32x1 231x1；238. 求微分方程 y2 y xx21满意初始条件 x0 ， y1 ， y3 的特解；3解： yx3x1；9. 求微分方程y2 yy满意初始条件 x0 ， y1 ， y2 的特解；解： arctan yx或 y4tan x；410 验 证 二 元 方 程 x 2xyy 2C 所 确 定 的 函 数 为 微 分 方 程x2 y y2xy 的解；解：略；11. 求微分方程ex yex dxex yey dy0 的通解；解： ex1 ey1C ；12. 求 dydxy tan xsecx ， y |x 00 的特解；解： yx；cos x13. 验证 y1cosx ， y2sinx 都是 y2 y0 的解，并写出该方程的通解；解：略；14. 求微分方程 y2 yx2 x的通解；解： yCx2x 2 ln x ；15. 求微分方程 yex1 yex x0 满意初始条件 y 10 的特解；解： yex ；3x16. 求微分方程 dy2ydxx12x1的通解；解： y2x1x1C；217. 求微分方程xdx1yydy1x0 满意条件 y 01的特解；解： 2 y3x33 y 2x 25 ；18. 求微分方程 yy2 y0 的通解；解： yC exC2e2 x ；1x19. 求微分方程 y2 y5 y0 的通解；解： yeC1 cos2xC2 sin 2 x ；20. 求微分方程 y4 y4 y0 的通解；解： yC1C2 xe 2 x；21. 试求 yx 的经过点 M0,1且在此点与直线 yx1 相切的积分曲线；2解： y1 x361 x1 ；2B一、是非题1×； 2； 3； 4×； 5×；二、填空题1. yC1 cosxC2 sin x ； 2 yC1eC e3 x；3 yC1C2 xex ；4 y1 e2x8C x 2C 2 xC3 ；5 yC exC2 6 yC ex211三、挑选题1C；2C；3C；4C；5D；6 A； 7 A； 8 C； 9 A 四、解答题1. 求微分方程 y9 y24x6 cos3x2 sin 3x 的通解；解： yC1xcos3xC2x 2x sin x3x ；22. 求微分方程 y7 y6 ysinx 的通解；eC1解： y6xC ex17 cos x 745 sin x ；23. 求微分方程3x22xyy 2 dxx 22xy dy0的通解；解： y 2xyx2C ；xC一、是非题21×； 2； 二、填空题x1 ye2xC1 cosxC2 sin x； 2 yC1 x1Cx 211 ；3 yeC1 cosxC2 sin x1三、挑选题1B；2C；3A；4A；5D；6 D 四、解答题1. 设 yex 是微分方程 xyp x yx 的一个解，求此微分方程满意条件y |xln 20 的特解；解：代入 yex 到方程 xyp x yx 中，得 p xxe xx原方程为 xyxe xxyxx2yex 1C ee x ， yex1y1 xyexln 2 ， ye x 11e20 C；1e 2 ；2. 已知 y1xexe2 x ， yxexex ， yxexe2 xe x 是某二阶线性非2332齐次微分方程的三个解，求此微分方程；解： y1y3e x ， yye2x2e x 均是齐次方程的解且线性无关；xC1eCe2x2e x是齐次方程的通解；当 C12 ，C21 时，齐次方程的2特解为e2 xe x 、 e2x 都是齐次方程的解且线性无关；x C1eC e2x 是齐次方程的通解；2由此特点方程之根为 -1 ，2，故特点方程r 2r20 ；相应的齐次方程为 yy2 y0故所求的二阶非齐方程为yy2 yf xy1 是非齐次方程的特解代入上式得f x12xex所以 yy2 y12x ex 为所求的微分方程；3. 已知 f 01，试确定 f2x ，使 exf x ydxfx dy0 为全微分方程，并求此全微分方程的通解；解： Pexf xy， QQPf x ，由得xyxdxfxexf x ，即 fxf xex f xee e dxCex xC f 01C ， f x2exx1，2得全微分方程： exexx12ydxexx1 dy0 2解得 ux, yx0dx0y exx01 dy 2exx1 y ；2故此全微分方程的通解为exx1 yC；2