2022年师高中数学圆锥曲线所有知识点总结图表总结圆锥曲.docx

高中数学第八章 - 圆锥曲线方程一、椭圆方程 .§08. 圆锥曲线方程学问要点1. 椭圆方程的第肯定义：PF 1PF 1PF 1PF 2PF 2PF 22aF 1F 2 方程为椭圆 ,2aF 1F 2 无轨迹 ,2aF1F 2 以F 1,F 2为端点的线段椭圆的标准方程：2i. 中心在原点,焦点在x 轴上： xa 2y 21 ab 2b0. ii.中心在原点,焦点在y 轴上： y2a2x 21ab 2b0 .x 2y2x a cos一般方程：Ax 2By 21 A0, B0 .椭圆的标准参数方程：1 的参数方程为（一象限应是属a 2b2y b sin于 0） .2顶点： a,00,b) 或 0,ab,0 .轴：对称轴： x 轴, y 轴；长轴长2a ,短轴长2b .焦点： c,0 c,0 或 0,c 0, c .2焦距：F 1F 22c, ca 2b 2.准线： xa 2c或 ya.离心率： e cc 0 ae1 .焦点半径：x2i. 设 Px 0, y 0 为椭圆2ay 21 abb 20 上的一点,F 1,F2 为左、右焦点,PF就1aex0 , PF 2aex0由椭圆方程的其次定义可以推出.x 2ii. 设 P x 0 , y 0 为椭圆2by 21 aba 20 上的一点,F 1,F2 为上、下焦点,P就F 1aey0 , PF 2a ey0由椭圆方程的其次定义可以推出.由椭圆其次定义可知：pF1a2ex0 caex0x00,pF 22e acx0 ex0ax00 归结起来为 “左加右减 ”.留意：椭圆参数方程的推导：得N a cos, b sin方程的轨迹为椭圆.通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标： d2b2a 2c, b 和 c, b22aa共离心率的椭圆系的方程：椭圆x 2y 2a 2b21 ab 0 的离心率是 ec c aa2b 2x 2 ,方程2ay 22t t 是大于 0 的b参数, ab0 的离心率也是 ec我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.a22如 P 是椭圆： xya 2b 21 上的点 . F 1, F 2 为焦点,如F 1PF 2,就 PF 1F2 的面积为b 2 tan2（用余弦定理与PF 1PF 22a 可得） . 如是双曲线,就面积为bcot.22二、双曲线方程 .1. 双曲线的第肯定义： y bcos , bsin acos ,asin PF 1PF 1PF 1PF 2PF 2PF 22aF 1F 2 方程为双曲线2aF 1F 2 无轨迹2aF 1F 2 以F 1,F 2的一个端点的一条射线N x22N的轨迹是椭圆2 双曲线 标准方程：xa 2y1a, b b20, y2a 2x1a,b b20 . 一般方程：Ax2Cy 21 AC0 .0 i. 焦点在 x 轴上：a 2xyx 2y 2顶点： a,0, a,0焦点：c,0, c,0准线方程 x渐近线方程：caa2b 0 或 a 2b2yxy 2x2ii.焦点在 y 轴上：顶点： 0,a, 0, a .焦点： 0, c, 0,c) . 准线方程： y.渐近线方程：c a0 或0 ,ba 2b2参数方程：x a secx或y b tanyb tana sec.c2a 22b 2轴 x, y 为对称轴, 实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c.离心率e.准线距a（两准线的距离） ；通径. cacx 2y 2参数关系c2a 2b 2 , e.焦点半径公式：对于双曲线方程1（ F 1,F2 分别为双曲线的左、右焦点或分a 别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原就：a 2b 2MF 1ex0a构成满意MF 1MF 22aM F 1ex0a（与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号运算,而双曲线MF 2ex0aM F 2ex0ay不带符号）yMF 1MF 2ey 0aey0aM'MF 1MxxF 1F2M'M F 1ey0aF2M F 2ey 0a等轴双曲线：双曲线x 2y 2a2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx ,离心率 e2 .2222共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线. xy与ab22xya 2b 2互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：x 2y 20 .a 2b2x2y 2x 2y 2xy共渐近线的双曲线系方程：0 的渐近线方程为0 假如双曲线的渐近线为0 时,它的x 2y 2a2b 2a 2b2aby双曲线方程可设为a 2b 20 .432例如：如双曲线一条渐近线为y1 x 且过2p3,1 ,求双曲线的方程？1x25 3解：令双曲线的方程为：x y20 ,代入3,1x 2y2 得1.F1F224直线与双曲线的位置关系：2823区域：无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计2 条；区域：即定点在双曲线上,1 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计3 条； 区域： 2 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点,1 条切线, 1 条与渐近线平行的直线,合计2 条； 区域：即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4 条.（ 2）如直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入之积同号 .“ ”法与渐近线求交和两根之和与两根2如 P 在双曲线 xa 2y 1,就常用结论 1： P 到焦点的距离为m = n,就 P 到两准线的距离比为mn.2b 2简证： d 1d 2PF 1ePF 2e=m . n常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程 .3. 设 p0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质：2y2pxy 22 pxx 22 py2x2 py图形 y yyyxxxxOOOO焦点F p ,0 2Fp ,0 2F 0, p2F 0,p 2准线x范畴xp 20, yRxp2x0, yRyp2xR, y0yp2xR, y0对称轴x 轴y 轴顶点（ 0,0）离心率焦点2PFp 2x14acPFp 2b 2be1px1PFy1 2PFpy21注： aybycx 顶点 .4a2a y 22 px p0 就焦点半径 PFx P ; x222 py p0 就焦点半径为 PFy P .2通径为 2p,这是过焦点的全部弦中最短的.2x22 ptx 2 pt y 22 px （或 x2 py）的参数方程为（或y 2 pt2y2 pt）（ t 为参数） .四、圆锥曲线的统肯定义.4. 圆锥曲线的统肯定义：平面内到定点F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹 .当 0e1 时,轨迹为椭圆；当 e1 时,轨迹为抛物线； 当 e1 时,轨迹为双曲线；当 e0 时,轨迹为圆（ ec ,当 ca0, ab 时） .5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.由于具有对称性,所以欲证AB=CD,即证 AD 与 BC 的中点重合即可 .注： 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1到两定点 F1,F2 的距离之和为定值 2a2a>|F1F2|1到两定点 F1 ,F2 的距离之差的肯定值为定值的点的轨迹2a0<2a<|F1F2|的点的轨迹2与定点和直线的距离2与定点和直线的距离与定点和直线的距离相等之比为定值 e 的点的轨之比为定值 e 的点的轨的点的轨迹 .迹.（ 0<e<1）迹.（ e>1）图形标准x 2y 2x 2y 2方方程1 ab222ab>0221 a>0,b>0yab=2px参数程方程x acosy bsinx asecy b tanx2 pt 2t 为参数 参数 为离心角）参数 为离心角）y2 pt范畴axa, by b|x|a, yRx 0中心原点 O（ 0, 0）原点O（0, 0）顶点a,0, a,0, 0, b0,b ,a,0, a,00,0对称轴x 轴, y 轴；长轴长 2a,短轴长 2bx 轴, y 轴;x 轴实轴长 2a, 虚轴长 2b.焦点F1c,0, F 2 c,0F1c,0, F 2 c,0焦距F p ,0 22c（ c=a 2b2）2c（ c=a 2b2 ）离心率准线渐近线ce0aa 2x=ce1cee1 aa 2x=cbe=1xp2y=±xa焦半径通径raex2b 2arexa2b 2arxp 22p焦参数a 2a 2Pcc1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.2. 等轴双曲线3. 共轭双曲线25. 方程 y=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程.6. 共渐近线的双曲线系方程.一、椭圆学问总结表格：项目内容第肯定义平面内与两个定点F1 , F2 的距离之和等于常数（大于| F1 F2 |）的点的轨迹叫椭圆；其次定义平面内到定点与到定直线的距离之比为常数e0e1 的点的轨迹叫椭圆；图形标准方程xa2y2x222b21abob2ya21abo何范畴| x |a,| y |b| x |b,| y |a性顶点与长A1a,0,A2 a,0, 长轴长2aA10,a) , A2 0, a , 长轴长2a短轴的长B10,b) , B2 0, b ,短轴长2bB1b,0,B2 b,0, 短轴长2b焦点焦距F1 c,0, F2 c,0222F1 0,c, F20, c222准线方程| F1 F2 |2c其中cab a2xc| F1F2 |2c其中cab a2yc焦半径左 PF1aex0 ,右PF2aex0a2下 PF1b2aey0, 上PF2aey0焦准距pccc离心率ec 0e1, b12 （ e 越小,椭圆越近似于圆）e准线间距aa2a2dc对称性椭圆都是关于x, y 轴成轴对称,关于原点成中心对称2通径q2ba焦点三角形焦点弦三椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形,其周长为2a弦定理和勾股定理来进行相关的运算2c ,解题中常用余椭圆的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形,其周长为4a ；角形参数方程x a cosy bsin为参数）x b cosy asin为参数）留意：1、椭圆按向量 a m, n 平移后的方程为： xm yn1 或 xm yn1 ,平移不转变点与点之间22222222abba的相对位置关系（即椭圆的焦准距等距离不变）和离心率；2、弦长公式：已知直线：ykxb 与曲线交于两点 Ax1 , y1 , B x2 , y2 ,就| AB|1k 2 | xx |1k 2xx 4x x 或 | AB |11 | yy |11 yy 4 y y21211 22212211 2kk3、中点弦问题的方法：方程组法,代点作差法；两种方法总体都表达高而不求的数学思想；双曲线项目内容第肯定义平面内与两个定点F1, F2 的距离之差等于常数 （小于| F1F2 | ）的点的轨迹叫双曲线；其次定义平面内到定点与到定直线的距离之比为常数ee1) 的点的轨迹叫双曲线；图形x2y2y2x2标准方程221a, boab221a,boab范畴| x |a, yRxR,| y |a顶点与实A1a,0,A2a,0, 实轴长2aA10,a) , A2 0, a,实轴长2 a虚轴的长虚轴长2b, ab叫等轴双曲线虚轴长2b, ab叫等轴双曲线焦点焦距F1c,0, F2 c,0222F1 0,c, F20, c222| F1F2 |2c其中 cab | F1F2 |2c其中cab 22准线方程xayac当 P x0 , y0 在右支上时当 P x0, y0c在上支上时焦半径左 PF1ex0a,右PF2ex0a下 PF1ey0a, 上PF2ey0a几当 P x0 , y0 在左支上时何当 P x0, y0 在下支上时左 PF1ex0a, 右PF2ex0a性下 PF1ey0a, 上PF2 ey0a渐近线方质程焦准距bx2y22yx或 2aab0) y22pcabcca y2x222x或0b ab22离心率ec e1, be1 （ e越小,双曲线开口越小）,等轴双曲线的 e2aa准线间距d2a c对称性双曲线都是关于 x, y 轴成轴对称,关于原点成中心对称2b2通径qa焦点三角形焦点弦三角形双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形,解题中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的运算双曲线的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形；参数方程x asecy btan为参数）x b tany a sec为参数）项目内容定义平面内到定点F 的距离等于到定直线距离的点的轨迹叫抛物线；图形抛物标准方程y 22 px p0y 22 px p0x22 py p0x22 py p0线范畴x0, yRx 0, yRy 0, xRy0, xR开口方向向右向左向上向下焦准距p p0顶点坐标坐标原点（ 0, 0）几焦点坐标何F p ,0 2F p ,0 2F 0, p 2F 0,p 2性准线方程l : xp2l : xp 2l : yp2l : yp 2质对称轴x 轴x 轴y 轴y 轴离心率e100通径长2 p焦半径p| PF |x02| PF |px 2p| PF |y02| PF |py 22一、焦点弦的结论： （针对抛物线：y2 px 其中 p0 ） A x , y , B x , y , AB 为过焦点p的弦,就1、焦点弦长公式：ABxxp22 p2 p cot11222 pF ,02122sin2、通径是焦点弦中最短的弦其长为2 pp223、 x x, y yp, OA OBx xy y3 p241 21 21 21 244、以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切5、已知 A 、 B 在准线上的射影分别为A1 、 B1 ,就三点 A 、 O 、B1 共线,同时B 、 O 、 A1 三点也共线6、已知 A 、 B 在准线上的射影分别为A1 、 B1 ,就A1FB1901127、| AF | BF |p二、顶点直角三角形：直角顶点在抛物线顶点的三角形与其对称轴交于一个定点P2 p,0,反之,过定点P2 p,0 的弦所对的顶点角为直角；三、从抛物线的焦点动身的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行；【同步基础】圆锥曲线基础测试x 2y 21. 已知椭圆1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为3 ,就 P 到另一焦点距离为（）2516A 2B 3C 5D 72. 如椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18 ,焦距为 6 ,就椭圆的方程为（）22A xy122B xy12222C xy1 或 xy1D 以上都不对9162516251616253. 动点 P 到点M 1,0 及点N 3,0 的距离之差为2 ,就点 P 的轨迹是（）A 双曲线B 双曲线的一支4设双曲线的半焦距为c ,两条准线间的距离为dC两条射线D 一条射线,且 cd ,那么双曲线的离心率e等于（）A 2B 3C 2D 35抛物线 y 210x 的焦点到准线的距离是（）A 5B 5C 15D 10226. 如抛物线 y28x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,就点 P 的坐标为（）A 7,14B 14,14C 7,2 14D 7,2 147. 如椭圆 x2my21的离心率为32,就它的长半轴长为.8. 双曲线的渐近线方程为x2 y0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为；x29. 如曲线4ky1 表示双曲线,就 k 的取值范畴是；21k10. 抛物线 y26x 的准线方程为.11. 椭圆5 x2ky 25 的一个焦点是0,2 ,那么 k；12. k 为何值时,直线ykx2 和曲线2x23 y26 有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？13. 在抛物线 y4x2 上求一点,使这点到直线y4x5 的距离最短；14. 双曲线与椭圆有共同的焦点求渐近线与椭圆的方程；F1 0, 5, F20,5 ,点P 3, 4 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,15. 如动点P x, y 在曲线 x242y1b b 20 上变化,就x22y 的最大值为多少？参考答案1 D点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a10,10372 C2a2b18,ab9,2 c6,c3,c2a 2b29,ab12得 a5, b4 , xy2x 2y 21 或1251616253 DPMPN2,而MN2 , P 在线段 MN 的延长线上4 C2a 2c,c22a 2 ,e2c2, e22ca25 B2 p10, p5 ,而焦点到准线的距离是 p6 C点 P 到其焦点的距离等于点P 到其准线 x2 的距离,得 xP7, yp2 147 1,或2当m1 时, x21y1,a1 ； 12my2x22a 2b 23121当 0m1 时, 11m1,e21ma, m, a 444, a2m228 xy2051设双曲线的方程为 x24 y2,0 ,焦距 2c10,c225x2y2当0 时,1,4425,20 ；22当0 时, yx41,25,2049 ,41,4k1k0, k4k10,k1,或k410 x32 p6, p3, xp32211 1焦点在 y 轴上,就 y22x21,c2514, k151kk2212. 解：由ykx22,得 2 x23kx26 ,即12kx602223k x2x3 y6144k 22423k2 72k 248当72k2480 ,即k6 , 或k6 时,直线和曲线有两个公共点；33当72k2480 ,即k6 , 或k6 时,直线和曲线有一个公共点；33当72k2480 ,即6k6 时,直线和曲线没有公共点；3313. 解：设点Pt,4t 2 ,距离为 d , d4t4t 254t 24t51717P,1当t1 时, d 取得最小值,此时1为所求的点；2214. 解：由共同的焦点F 0,5, F0,522,可设椭圆方程为 yx1 ；12a2a 22522双曲线方程为 yx1 ,点P 3, 4 在椭圆上,1691,a 240b225b 2a 2a 225双曲线的过点P 3, 4 的渐近线为 yb25b2x ,即 4b25b 23,b2162所以椭圆方程为 yx2y2x21 ；双曲线方程为1401516915. 解：设点P 2cos, b sin , x22y4cos22b sin4sin 22b sin4令Tx22y,sint , 1t1, T4t 22bt4,b0 ,对称轴 tb4当 b1,即b4 时, TT|2b ；当 0b1,即0b4 时,4b2TT |4maxt 1 x22y 42b4 , 0 b4bmaxt44m a x42b ,b4