极限计算方法及例题.doc

. .极限计算方法总结?高等数学?是理工科院校最重要的根底课之一，极限是?高等数学?的重要组成局部。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到?高等数学?后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进展总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这局部知识。一、极限定义、运算法那么和一些结果1定义：各种类型的极限的严格定义参见?高等数学?函授教材，这里不一一表达。说明：1一些最简单的数列或函数的极限极限值可以观察得到都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；等等 2在后面求极限时，1中提到的简单极限作为结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2极限运算法那么定理1 ，都存在，极限值分别为A，B，那么下面极限都存在，且有 123说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法那么成立的条件，当条件不满足时，不能用。3两个重要极限1 2 ； 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，1964，副教授。例如：，；等等。4等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小即极限是0。定理3 当时，以下函数都是无穷小即极限是0，且相互等价，即有： 。说明：当上面每个函数中的自变量x换成时，仍有上面的等价关系成立，例如：当时， ； 。定理4 如果函数都是时的无穷小，且，那么当存在时，也存在且等于，即=。5洛比达法那么定理5 假设当自变量x趋近于某一定值或无穷大时，函数和满足：1和的极限都是0或都是无穷大； 2和都可导，且的导数不为0； 3存在或是无穷大； 那么极限也一定存在，且等于，即= 。说明：定理5称为洛比达法那么，用该法那么求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法那么就不能应用。特别要注意条件1是否满足，即验证所求极限是否为“型或“型；条件2一般都满足，而条件3那么在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法那么可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，那么有 。7极限存在准那么 定理7准那么1 单调有界数列必有极限。定理8准那么2 为三个数列，且满足：1 2 ， 那么极限一定存在，且极限值也是a ，即。二、求极限方法举例1 用初等方法变形后，再利用极限运算法那么求极限例1 解：原式= 。注：此题也可以用洛比达法那么。例2 解：原式= 。例3 解：原式 。2 利用函数的连续性定理6求极限例4 解：因为是函数的一个连续点， 所以 原式= 。3 利用两个重要极限求极限例5 解：原式= 。注：此题也可以用洛比达法那么。例6 解：原式= 。例7 解：原式= 。4 利用定理2求极限例8 解：原式=0 定理2的结果。5 利用等价无穷小代换定理4求极限 例9 解：，原式= 。例10 解：原式= 。注：下面的解法是错误的： 原式= 。正如下面例题解法错误一样： 。例11 解：， 所以， 原式= 。最后一步用到定理26 利用洛比达法那么求极限说明：当所求极限中的函数比拟复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法那么还可以连续使用。例12 例4解：原式= 。最后一步用到了重要极限例13 解：原式= 。例14 解：原式= 。连续用洛比达法那么，最后用重要极限例15 解：例18 解：错误解法：原式= 。正确解法：应该注意，洛比达法那么并不是总可以用，如下例。例19 解：易见：该极限是“型，但用洛比达法那么后得到：，此极限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式= 分子、分母同时除以x = 利用定理1和定理27 利用极限存在准那么求极限例20 ，求解：易证：数列单调递增，且有界0<<2，由准那么1极限存在，设 。对的递推公式 两边求极限，得：，解得：或不合题意，舍去所以 。例21 解： 易见：因为 ，所以由准那么2得： 。. .word.