2022年平面向量经典精品结论总结2.docx

精品word学习资料可编辑资料- - - - - - - - - - - - - - - -1、向量有关概念 ：平面对量 复习基本学问点及经典结论总结- - -细心整理 - - - 欢迎下载 - - -第 2 页,共 6 页（ 1）向量的概念 ：既有大小又有方向的量,留意向量和数量的区分；向量常用有向线段来表示,留意不能说向uuur量就是有向线段 ,为什么（向量可以平移） ； 如已知 A（1,2 ）, B（4,2 ）,就把向量 ABr按向量 a （ 1,3 ）平移后得到的向量是（答：（ 3,0 ）（ 2）零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量,记作：0 ,留意 零向量的方向是任意的；uuuruuur（ 3）单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与 AB 共线的单位向量是uuur ；| AB |AB（ 4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性；（ 5） 平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量,记作：a b , 规定零向量和任何向量平行 ；提示 ：相等向量肯定是共线向量,但共线向量不肯定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递r性！（由于有 0 ；三点 A、B、Cuuuruuur共线AB、AC共线；（ 6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是 a ；rr如以下命题： （ 1）如 abrr,就 ab ；（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同；（ 3）如uuuruuuruuuruuurrr rrrrABDC,就 ABCD 是平行四边形；（ 4）如 ABCD 是平行四边形,就 ABDC；（ 5）如ab,bc ,就 ac；（ 6）rr rr如 a / b, b / c ,就rra / c ；其中正确选项（答：（ 4）（ 5）2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示,如AB ,留意起点在前,终点在后；（ 2）符号表示法： 用一个小写的英文字母来表示,如 a ,b , c 等；（ 3）坐标表示法： 在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、rrry 轴方向相同的两个单位向量i , j 为基底,就平面内的任一向量a 可表示为 axiy jx, y ,称x, y 为向量 a 的坐标, a x, y 叫做向量 a 的坐标表示；假如向量的起点在原点 ,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同；3. 平面对量的基本定理 ：假如 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只rr有一对实数1 、 2 ,使 a= 1 e1 2 e2；如（ 1） 如 a1,1,brr1 r3 r1, 1,c 1,2,就 c （答：ab ）；（ 2 ） 以下向量组中,能作为平面内全部向量基底的是A.22uruururuururuururuur13e10,0, e21, 2 B.e1 1,2, e25,7 C.e13,5, e26,10D.e12,3,e2,（答：B）；（ 3）24uuur uuur已知 AD, BE分别是ABC 的边BC, AC 上的中线 , 且uuur r uuur r ADa, BEbuuur, 就 BC可用向量rra, b 表示为（答：2 r4 r ）；（ 4） 已知 ABC 中,点 D 在 BC 边上,且CD2 DB, CDr ABsAC,就 rs 的值是 （答： 0）ab334、实数与向量的积 ：实数与向量 a 的积是一个向量, 记作a ,它的长度和方向规定如下：1rraa , 2rr当>0 时,a 的方向与 a 的方向相同, 当<0 时,a 的方向与 a 的方向相反, 当 0 时, a0 ,留意 ： a 0；5、平面对量的数量积 ：（ 1）两个向量的夹角 ：对于非零向量 a , b ,作uuurr uuurrOAa,OBb ,AOB0称为向量 a , b 的夹角,当 0 时, a , b 同向,当时, a , b 反向,当时, a , b 垂直；2rr（ 2） 平面对量的数量积 ：假如两个非零向量a , b ,它们的夹角为,我们把数量 | a | b | cos叫做 a 与 b 的rr数量积（或内积或点积） ,记作： a . b ,即 a . b a b cos；规定：零向量与任一向量的数量积是0,留意数量积是一个实数, 不再是一个向量 ；如（ 1） ABC中, | AB |3 ,| AC |4 ,| BC |5 ,就 AB BC （答：r1r1rrr urrrrur 9）；（ 2） 已知 a1, b0, cakb , dab, c 与 d的夹角为,就 k 等于 （答： 1）；（ 3） 已知22rrr rrr4rrrrrrrrra2, b5, agb3 ,就 ab 等于 （答： 23 ）；（ 4）已知a,b 是两个非零向量, 且 abab,就 a与ab的夹角为 （答： 30o ）r（ 3） b 在 a 上的投影 为 |b |cos,它是一个实数,但不肯定大于0；如已知| a |3 , | b |5 ,且 a b12 ,就向量 a 在向量 b 上的投影为（答：12 ）5r（ 4） a . b 的几何意义 ：数量积 a . b 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积；（ 5）向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a , b ,其夹角为,就：rrrr aba . b0 ；rrr 2rrr 2rr 2rr当 a , b 同向时, a . b a brr,特殊地,rraa. aa, aa；当 a 与 b 反向时, a . b a b ；当 为锐角时, a . b 0,且 a、b 不同向, a b0 是 为锐角的必要非充分条件；当为钝角时, a . b 0,且rrrra、b 不反向, a b0 是 为钝角的必要非充分条件；rrrrrrrr非零向量 a ,b 夹角的运算公式： cosa . b ； | a . b | | a |b | ；如（ 1）已知 aa b,2 , b3 ,2 ,假如 a 与 b 的夹角为锐角,就的取值范畴是（答：4 或0 且31）；（ 2）已知OFQ 的面积为3S ,且 OFFQ1 ,如 1S23 ,就 OF , FQ2夹角的取值范畴是（答： ,43）；（ 3） 已知rrrrrrrrrrrracos x,sin x, bcos y,sin y, a 与 b 之间有关系式kab3 akb, 其中k0 ,用 k 表示 a b ；求 a b 的rrrrk 211最小值,并求此时a 与 b 的夹角的大小（答： a b6、向量的运算 ： k0 ；最小值为4k,60o）2精品word学习资料可编辑资料- - - - - - - - - - - - - - - -（ 1）几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法就”进行,但“平行四边形法就”只适用于不共线的向量,如此之外,向量uuurr uuurruuurrrrruuuruuuruuur加法仍可利用“三角形法就” ：设ABa, BCb ,那么向量AC叫做 a 与 b的和,即 abABBCAC ；向量的减法：用“三角形法就” ：设uuur r uuur rr ruuuruuur uuur ABa, ACb, 那么abABACCA,由减向量的终点指向被减uuuruuuruuuruuuruuuruuur向量的终点； 留意：此处减向量与被减向量的起点相同；如（ 1）化简： ABBCCD ； ABADDC ；uuuruuuruuuruuuruuuruuurr ABCD ACBD （ 答 ： AD； CB； 0）；（ 2 ） 如 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 1 ,uuurr uuurr uuurrrrrABa, BCb,ACc,就 | abc | （答： 22 ）；（ 3 ） 如 O 是VABC 所在平面内一点,且满意uuuruuuruuuruuuruuurOBOCOBOC2OA,就 VABC 的外形为 （答：直角三角形） ；（ 4） 如 D 为 ABC 的边 BC 的中点,uuuruuuruuurruuur0 ,设ABC 所在平面内有一点P ,满意uuuruuuruuurrPABPCP| AP | uuur| PD |,就的值为o （答：2）；（ 5）如点 O 是 ABC的外心,且OAOBCO0 ,就 ABC 的内角 C 为 （答： 120 ）；rr（ 2）坐标运算 ：设 a x1,rry1, b x2 , y2 ,就： 向量的加减法运算： abuuuruuuruuurx1x2 , y1y2 ；如（ 1） 已知点A2,3, B5,4, C 7,10 ,如1APABACR ,就当时,点 P 在第一、三象限的角平分线上（答：1 uuur）；（ 2） 已知2A2,3, B1,4,且 AB2sin x,cos y , x, y, ,就 xy（答：或226）；（ 3）已知作用在点2A1,1uuruuruururuuruuruurF13,4, F22,5, F33,1 ,就合力 FF1F2F3的三个力 实数与向量的积 ：rax1, y1uuurx1,y1 ；的终点坐标是（答：（ 9,1 ）如 A x1, y1, Bx2,y2 ,就 ABx2x1, y2uuury11 uuur,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点uuuruuur坐标减去起点坐标； 如设111,7,9 ）；3A2,3, B 1,5 ,且rrACAB , AD 33AB ,就 C、D的坐标分别是（答： 平面对量数量积 ： a .bx1 x2y1 y2 ；如已知向量 a （ sinx ,cosx ） ,b （ sinx ,sinx ） ,c （ 1,0）；（ 1）如 x,求向量 a 、 c 的夹角；（ 2）如 x 33, ,函数84f xa b 的最大值为1,求的值（答：21150o;21 或21 ）；o2r22r 2r 222r ruurr 向量的模 ： | a |xy , a| a |xy ；如已知a,b 均为单位向量, 它们的夹角为 60,那么 | a3b |（答：13 ）； 两点间的距离 ：如A x1, y1, B x2 , y2,就- - -细心整理 - - - 欢迎下载 - - -第 3 页,共 6 页精品word学习资料可编辑资料- - - - - - - - - - - - - - - - - -细心整理 - - - 欢迎下载 - - -第 7 页,共 6 页| AB |2xxyy2；如如图,在平面斜坐标系xOy 中,xOy60o ,平面上任一点 P 关于斜坐标系2121uuururuurur uur的斜坐标是这样定义的： 如 OPxe1ye2 ,其中e1, e2分别为与 x 轴、y 轴同方向的单位向量, 就 P点斜坐标为 x,y ；（ 1）如点 P 的斜坐标为（ 2, 2）,求 P 到 O的距离 PO；（ 2）求以 O为圆心, 1 为半径的圆在斜坐标系xOy 中2的方程；（答：（ 1） 2；（ 2） xy2xy10 ）；rrrrrrrrrbba,aa, a . bb . a ； 2结合 律 ：rrrrrra. ba . ba .b； （3） 分配律 ：r7 、 向 量 的 运 算 律 ：（ 1 ） 交 换 律 ： arrrrrr rrrrrrabcabc, abcabc,rrrrrrrraaa,abab ,arrrrrrb . ca . cb . c ；如以下命题中：a bca ba c ； a b ca b c ； ab2| a |2rrrrrrrrrr2 | a | | b | b |2a b0a0b02r 2a bb； 如,就或；如a bc b,就 ac ；aa ； r 2r ；aarrr 2r 2rrr 2rrr 2a b2ab ； ab 2a2a bb ；其中正确选项（答：）提示：（ 1） 向量运算和实数运算有类似的地方也有区分：对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除 相约 ；（2）向量的“乘法”不满意结合律,即ab . ca . bc ,为什么rrrrrrrr8 、 向 量 平 行 共 线 的 充 要 条 件 ：a / baba b2| a |b |2x1y2y1x2 0 ； 如 1 如 向 量rrrrrrrrra x,1, b4, x ,当 x 时 a 与 b 共线且方向相同（答：2）；（ 2 ） 已知 a1,1,b4, x , ua2b ,rrrrruuuruuuruuurx 2ab ,且u / v,就 x （答： 4）；（ 3） 设 PA k,12, PB4,5, PC10,k ,就 k时, A,B,C共线（答： 2 或 11）rrrrrrrr9 、 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ：uuuruuuruuuruuuruuur uuuruuur ；如1 已知 OA 1,2, OB3,m ,如 OAOB ,就 mACABACABACABACaba buuuruuur0| ab | | ab |uuuruuurx1x2y1 y20 .特 别 地3 uuurAB（答：）；（ 2）2以原点 O 和 A4,2 为两个顶点作等腰直角三角形OAB, B90 ,就点 B 的坐标是（答： 1,3或（ 3,rrurrurur 1） ；（ 3）已知 na,b, 向量 nm ,且 nm ,就 m 的坐标是（答： b,a) 或b, a ）10. 线段的定比分点 ：（ 1）定比分点的概念 ：设点 P 是直线 P1 P2 上异于 P1 、P 2 的任意一点,如存在一个实数,使uuuruuurP1PPP2 ,就叫做点 P 分有向线段uuuurP1P2 所成的比, P 点叫做有向线段uuuur P1P2的以定比为的定比分点；（ 2）的符号与分点 P 的位置之间的关系 ：当 P 点在线段 P 1 P 2 上时>0；当 P 点在线段 P 1 P 2 的延长线上时< 1；当 P 点在线段 P 2 P1 的延长线上时10 ；如点 P 分有向线段uuuurP1P2 所成的比为,就点 P分有向线段uuuurP2 P1 所成的比为1uuur；如如点 P 分 AB 所成的比为3uuur7,就 A 分 BP 所成的比为（答：）43（ 3）线段的定比分点公式 ：设P x, y 、P x, y ,P x, y 分有向线段uuuur PPx x1x2所成的比为,就1,111222x1 2x1x2 2y y1y21特殊地,当 1 时,就得到线段P1 P2 的中点公式y y1y2 2；在使用定比分点的坐标公式时,应明确x, y , x1, y1 、 x2, y2 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标；在详细运算时应依据题设条件,敏捷地确定起点,1分点和终点,并依据这些点确定对应的定比；如（ 1） 如 M（-3 , -2 ）, N（ 6, -1 ）,且MPMN,就点 P的坐371uuuuruuur标为（答：6, ）；（ 2） 已知3Aa,0, B3,2a ,直线yax 与线段 AB交于 M ,且 AM 22MB ,就a 等于（答：或）r11. 平移公式 ：假如点rP x, y按向量ah,k平移至Px , y ,就xxhyyk；曲线f x, y0按向量ah,k平移得曲线f xh,yk0 . 留意 ：（ 1） 函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系（ 2） 向量平移rr具有坐标不变性； 如（ 1） 按向量 a 把 2,3 平移到 1, 2 ,就按向量 a 把点 7,2 平移到点（答：（,）；（ 2）函数 ysin2x的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是y cos2x1,就 a （答： ,1 ）412、向量中一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要留意运用；rrrrrrrrrrrrr（ 2） | a |b | | ab | | a | b | ,特殊地,当 a、b 同向或有 0| ab | | a |b |rrrr| a | b | | ab |rr； 当 a、br反 向 或 有 0rrrr|ab | | a | b |rrrr| a | b | | ab |rr； 当 a、b不 共 线rrrrrr| a | b | | ab | | a | b | 这些和实数比较类似 .（ 3）在 ABC 中,如A x , y, B x , y, Cx, y,就其重心的坐标为Gx1x2x3 , y1y2y3；112233如如 ABC的三边的中点分别为 （ 2,1）、（ -3 ,4）、（ -1 ,-1 ）,就 ABC的重心的坐标为33 （答： 24, ）； 33uuur1 uuuruuuruuuruuuruuuruuurr为 ABC 的重心；PG3 PAPBPC G 为 ABC 的重心,特殊地PAPBPC0Puuuruuuruuuruuuruuuruuur PA PBPB PCPCPAP 为 ABC的垂心；uuuruuur向量uAuBuruAuCur 0 所在直线过ABC 的内心 是BAC 的角平分线所在直线 ；| AB | AC |uuuruuuruuuruuuruuuruuurr | AB | PC| BC | PA| CA | PB0PABC的内心；uuuuruuuruuuuruuuur（ 3）如 P 分有向线段P1P2所成的比为,点 M 为平面内的任一点,就MPMP11MP2 ,特殊地 P 为 P1P2 的uuuruuuuruuuur中点MPMP1MP2 ；u uruuuruuruPAPBPC且2uuuruuuruuur（ 4）向量 PA、PB、PC 中三终点 A、B、C 共线存在实数、 使得1 . 如平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A3,1 , B1,3 , 如点 C 满意 OC1 OA2OB , 其中1,2R 且121, 就点 C 的轨迹是（答：直线 AB）