2022年平面向量的数量积及其应用.docx

精品学习资源06平面对量的数量积及其应用突破点 一平面对量的数量积1. 向量的夹角； 2 平面对量的数量积； 3 平面对量数量积的运算律平面对量数量积的运算第一步，依据共线、垂直等条件运算出这两个向量的坐标，求解过程要留意方程思想的应用； 其次步，依据数量积的坐标公式进行运算即可2. 依据定义运算数量积的两种思路(1) 假设两个向量共起点， 就两向量的夹角直接可得，依据定义即可求得数量积；假设两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再运算(2) 依据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量， 然后再依据平面对量数量积的定义和性质进行运算求解 典例 1 设向量 a 1,2，b m, 1，假如向量 a 2b 与 2a b 平行，那么 a 与 b 的数量积等于 欢迎下载精品学习资源2A 7B 12C. 3D.5欢迎下载精品学习资源222 在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB DC ， AB 2， BC 1， ABC 60°.点 E 和 F 分别在线段 BC 和DC 上，且 BE 2 BC ， DF 1 DC ，就 AE ·AF 的值为36 解析 1 a 2b 1,2 2m, 1 1 2m,4， 2a b 2 1,2 m,1 2 m,3 ，由题意得11153 1 2m 4 2 m 0，就 m 2，所以 b 2， 1 ，所以 a·b 1× 2 2× 1 2.32取 BA ， BC 为一组基底， 就 AE BE BA 2 BC BA ， AF AB BC CF BA欢迎下载精品学习资源5 BC 12BA712BA BC ， AE ·AF 2BC BA· 7BA BC 7| BA |225 18欢迎下载精品学习资源31212|BA ·BC 2BC |2 7 × 4 25× 2× 1× 122929. 答案 1D2欢迎下载精品学习资源3 易错提示 1218231818欢迎下载精品学习资源(1) 解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，肯定要留意向量的夹角与已知平面角的关系是相等仍是互补 2 两向量 a， b 的数量积 a·b 与代数中 a， b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“ ·”突破点 二平面对量数量积的应用平面对量数量积的性质及其坐标表示：模、夹角、 a b|、a·b|与|a|b|的关系平面对量的垂直问题第一，运算出这两个向量的坐标；其次，依据数量积的坐标运算公式，运算出这两个向量的数量积为0 即可2 已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值依据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数 例 11 ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量a，b 满意 AB 2a， AC 2a b，就以下结论正确的选项是 A |b| 1B a bC a·b 1D 4a b BC2 已知向量 a k, 3， b 1,4， c 2,1，且 2a 3b c，就实数 k 915A 2B 0C 3D. 2 解析 1 在ABC 中，由 BC AC AB 2a b 2ab，得|b| 2，A 错误又 AB 2a 且| AB |欢迎下载精品学习资源 2，所以 |a| 1，所以 a·b|a|b|cos 120°1，B ，C 错误所以 4a b ·BC 4ab ·b4a·b |b|2 4× 欢迎下载精品学习资源1 4 0，所以 4a b BC ， D 正确，应选 D.22a3b c，2a 3b ·c 0.a k, 3， b 1,4， c 2,1，2a 3b2k 3， 62k 3， 6 ·2,1 0，即 2k 3× 26 0.k3. 答案 1D2C欢迎下载精品学习资源x 1y2 x 2y1 0 与 x 1x 2 y1y2 0 不同，前者是两向量a x1， y1， bx2，y2 共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件平面对量模的相关问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要把握此类问题的处理方法：1 a2 a·a |a|2； 2| a±b|a±b 2 a2 ±2a·b b2.欢迎下载精品学习资源 例 212021衡水·模拟 已知 |a| 1， |b| 2， a 与 b 的夹角为3，那么 |4a b| 欢迎下载精品学习资源A 2B 6C 23D 122(2) 已知 e1， e2 是平面单位向量，且e1 ·e2 1.假设平面对量 b 满意 b·e1 b·e21，就 |b| .欢迎下载精品学习资源 解析 1|4 a b|2 16a2 b2 8a·b 16× 14 8× 1×2×12.|4a b| 23.欢迎下载精品学习资源cos3112e1·e2 2，|e1|e2 |cose1， e2 2， e1， e2 60°.又b·e1 b·e2 1 0，b， e1 b，12323e230°.由 b·e1 1，得|b|e1|cos 30 °1，|b|.答案 1C23332 方法技巧 求向量模的常用方法(1) 假设向量 a 是以坐标形式显现的，求向量a 的模可直接利用公式 |a|x2 y2.(2) 假设向量 a， b 是以非坐标形式显现的，求向量a 的模可应用公式 |a|2a2 a·a，或 |a±b|2 a±b 2a2 ±2a·b b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解平面对量的夹角问题欢迎下载精品学习资源求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步由坐标运算或定义运算出这两个向量的数量积其次步分别求出这两个向量的模第三步依据公式 cosa， b a·b x1x2 y1y2求解出这两个向量夹角的余弦值欢迎下载精品学习资源|a|b|x 2222欢迎下载精品学习资源1 y1· x 2 y2第四步依据两个向量夹角的范畴是0 ， 及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角3 例 31假设非零向量 a， b 满意 |a|22|b|，且 a b 3a 2b，就 a 与 b 的夹角为 3A. 4B. 2C. 4D 132 已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 ，且 cos ，向量 a 3e1 2e2 与 b 3e1 e2 的夹角为 ，就 cos . 解析 1 由ab 3a 2b，得 a b ·3a 2b 0，即 3a2 a·b 2b2 0.3又|a|22 |b|，设 a，b ，即 3|a|2 |a|b|cos 2|b|20，8222222欢迎下载精品学习资源|b| 33|b|·cos 2|b| 0.cos 2 .又0 ， 4.欢迎下载精品学习资源2a23 e1 2e2 2 9 4 2× 3× 219， b2 3e1e22 9 12× 3× 118，欢迎下载精品学习资源× 3a·b 3e1 2e2 ·3e1 e2 9 29× 1× 1×1 8，cos a·b × 3822.欢迎下载精品学习资源3|a|b|3× 223欢迎下载精品学习资源(1) 向量 a， b 的夹角为锐角 . a·b>0 且向量 a， b 不共线(2) 向量 a， b 的夹角为钝角 . a·b<0 且向量 a， b 不共线突破点 三平面对量与其他学问的综合问题平面对量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种特别重要的工具.在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查.平面对量与三角函数的综合问题 例 1已知函数 fx a·b，其中 a 2cos x， 3sin 2 x， b cos x, 1， xR.1 求函数 y fx的单调递减区间； 2 在 ABC 中， 角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，fA 1， a7，且向量 m 3， sin B 与 n 2， sin C共线，求边长 b 和 c 的值3 解1f x a·b 2cos2x 3sin 2 x 1cos 2x 3sin 2 x 12cos 2x ，欢迎下载精品学习资源令 2k 2x 2k k Z，解得 k 36 x k3k Z，欢迎下载精品学习资源所以 fx的单调递减区间为k 6， k 3 k Z2fA 1 2cos 2A 1，cos 2A 1.33 7又 0< A<，故 3 <2A 3 3 ，2A 3 ，即 A 3.a 7，由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A b c2 3bc 7.向量 m 3，sin B与 n 2， sin C 共线，所以 2sin B 3sin C由正弦定理得 2b 3c，由，可得b 3，c 2. 方法技巧 平面对量与三角函数综合问题的类型及求解思路(1) 向量平行 共线、垂直与三角函数的综合：此类题型的解答一般是利用向量平行共线、垂直关系得到三角函数式， 再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解(2) 向量的模与三角函数综合：此类题型主要是利用向量模的性质|a|2 a2，假如涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解此类题型主要表现为两种形式： 利用三角函数与向量的数量积直接联系；利用三角函数与向量的夹角交汇，到达与数量积的综合平面对量与几何的综合问题 例 21在平行四边形 ABCD 中， AD 1， BAD 60 °， E 为 CD 的中点假设 AC ·BE 1, 就AB 的长为2 已知菱形 ABCD 的边长为 2， BAD 120 °，点 E，F 分别在边 BC ，DC 上，BC 3BE ，DC DF.假设 AE ·AF 1，就 的值为 解析 1 设| AB | x，x 0，就 AB ·AD 1又 AC ·BE AD AB · AD 1 AB 11 2欢迎下载精品学习资源14 x 1，解得 xx.x2221122，即 AB 的长为 .1欢迎下载精品学习资源2由题意可得AB ·AD | AB | |·AD |cos 120°2× 2× 2 2，欢迎下载精品学习资源在菱形 ABCD 中，易知 AB DC ， AD BC ，所以 AE AB BE AB 1 AD ， AF AD DF 1 AB AD ，3欢迎下载精品学习资源AE ·AF AB 1 AD1 AB AD442 1 11 1，解得 2.答案 122欢迎下载精品学习资源 方法技巧 3· 33 2欢迎下载精品学习资源平面对量与几何综合问题的求解方法(1) 坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2) 基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解 检验高考才能 一、挑选题1已知向量A 3a 3， 1， b 0,1， c k， 3，假设 a 2b 与 c 垂直，就 k B 2C 1D 1解析： 选 A由于 a 2b 与 c 垂直，所以 a 2b ·c 0，即 a·c2b·c 0，所以 3k3 23 0，解得 k 3.2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB 1， 2， AD 2,1，就AD ·AC A 5B 4C 3D 2解析： 选 A由四边形 ABCD 是平行四边形，知AC AB AD 1， 2 2,1 3， 1，故欢迎下载精品学习资源AD ·AC 2,13·， 1 2× 3 1× 15.欢迎下载精品学习资源3. 假设平面对量 a 1,2与 b 的夹角是 180 °，且 |b| 35，就 b 的坐标为 A 3， 6B 3,6C 6， 3D 6,3解析： 选 A由题意设 b a ，2 0，而 |b| 35，就 2 22 35，所以 3， b 3， 6，应选 A.34. 2021 山东高考 已知非零向量 m， n 满意 4|m| 3|n|， cosm ，n 1，假设 n t m n，就实数 t 的值为 99A 4B 4C.4D 4解析： 选 Bn t m n，n·t m n 0，即 t m ·n |n |2 0，t|m|n| cosm，n|n|2 0.又 4|m|欢迎下载精品学习资源 3|n|，t× 3|n| 2× 1|n|2 0，解得 t 4.应选 B.欢迎下载精品学习资源45 20213天·津高考 已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点D， E 分别是边 AB ， BC 的中点，连接欢迎下载精品学习资源DE 并延长到点F，使得 DE 2EF ，就 AF ·BC 的值为 51111A 8B. 8C.4D. 8解析： 选 B如下图， AF AD DF .又 D，E 分别为 AB ，BC 的中点，且 DE 2EF ，所以 AD 1 AB ，DF 1 AC 1 AC 3 AC ，所以 AF 1 AB 3 AC .又 BC224424欢迎下载精品学习资源2 AC AB ，就 AF ·BC 1AB34AC· AC AB 1AB ·AC 1AB 234欢迎下载精品学习资源22AC 2 3 AC ·AB 3 AC 2 1 AB 2 1 AC ·AB .又| AB | | AC |1，BAC 60°，故4424欢迎下载精品学习资源AF ·BC311× 1× 1×1 1.应选 B.欢迎下载精品学习资源 4 2 4286已知 ABC 为等边三角形， AB 2，设点 P， Q 满意 AP AB ， AQ 1 AC ， R ，假欢迎下载精品学习资源设 BQ ·CP13 2，就 1± 21± 10 3±22欢迎下载精品学习资源A. 2B.2C.2D.2欢迎下载精品学习资源解析：选 ABQ AQ AB 1 AC AB ，CP AP AC AB AC ，又 BQ ·CP3 2，| AB | AC | 2，A 60 °，AB ·AC | AB | ·| AC |cos 60 2°，1 AC AB ·AB AC 欢迎下载精品学习资源3222323欢迎下载精品学习资源 2，即 | AB | 1 AB ·AC 1 | AC | 2，所以 4 2 1 41 2，解得1. 2二、填空题7已知平面对量 a 2,4， b 1， 2，假设 c a a·b ·b，就 |c| .解析： 由题意可得 a·b 2× 1 4× 2 6，c a a·b ·b a 6b2,4 61， 2 8， 8，|c| 82 8 2 82.答案： 828已知向量 a， b 满意 2 a b ·a b 6，且 |a| 2， |b| 1，就 a 与 b 的夹角为 |a|b|解析： 2a b ·a b 6，2a2 a·b b2 6，又|a| 2，|b| 1，a·b 1，cos a，b a·b 欢迎下载精品学习资源1 2，又 a， b 0 ， ，a 与 b 的夹角为22 3 .答案： 3欢迎下载精品学习资源9. 已知 a ， 2， b 3， 2，假如 a 与 b 的夹角为锐角，就的取值范畴是 欢迎下载精品学习资源解析：a 与 b 的夹角为锐角， 就 a·b>0 且 a 与 b 不共线， 就32 4>0，262 0，411解得 < 3或 0<<3或 >3，欢迎下载精品学习资源411， 411欢迎下载精品学习资源所以 的取值范畴是 ， 3 0，3 3， .答案：3 0， 3 ，3欢迎下载精品学习资源10. 如图，菱形 ABCD 的边长为 2， BAD 60°，M 为 DC 的中点，假设 N 为菱形内任意一点 含边界 ，就 AM ·AN 的最大值为解 析 ： 设 AN AB AD， 因 为N在 菱 形ABCD内 ， 所 以欢迎下载精品学习资源0 1,0 1. AM AD 1 DC 1 AB AD .所以 AM ·AN 1AB AD·AB AD 欢迎下载精品学习资源2 22221欢迎下载精品学习资源 2 AB 2AB ·AD AD2× 4 2 × 2× 2× 44 5.所以 0 AM ·AN 9，所 2欢迎下载精品学习资源以当 1 时， AM ·AN 有最大值 9，此时， N 位于 C 点 答案： 9三、解答题欢迎下载精品学习资源11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量 m2， 2， n sin x， cos x， x 0， .欢迎下载精品学习资源2(1) 假设 m n，求 tan x 的值； 2 假设 m 与 n 的夹角为223，求 x 的值欢迎下载精品学习资源sin x解： 1 假设 m n，就 m·n2222 cos x 0，tan x1.欢迎下载精品学习资源(2) m 与 nm ·n 1× 111221cos x欢迎下载精品学习资源的夹角为13 ，|m|n|cos3× 22，即2 sin x25 2，欢迎下载精品学习资源2sin x 4 .又x 0， 2，x4 4， 4，x4 6，即 x12.欢迎下载精品学习资源12已知在 ABC 中，角 A ， B， C 的对边分别为 a， b，c，向量 m sin A， sin B， n cos B， cos A， m·n sin 2C.(1) 求角 C 的大小；(2) 假设 sin A， sin C， sin B 成等差数列，且 CA · AB AC 18，求边 c 的长解： 1 m ·n sin A ·cos B sin B·cos A sin AB ，对于ABC ， A B C,0 C ，1sin A B sin C，m·n sin C，又 m ·n sin 2 C，sin 2 C sin C，cos C 2，C 3.2由 sin A ， sin C， sin B 成等差数列，可得2sin C sin A sin B，由正弦定理得2c a b.CA · AB AC 18，CA ·CB 18，即 abcos C 18， ab 36.欢迎下载精品学习资源由余弦定理得 c2 a2 b22abcos C a b2 3ab，c 2 4c23× 36， c2 36，c 6.欢迎下载