2022年平面向量知识点总结及练习.docx

一向量有关概念：平面对量1. 向量的概念 ：既有大小又有方向的量,留意向量和数量的区分；向量常用有向线段来表示, 留意不能说向量就是有向线段,为什么？（向量可以平移） ；uuur如：已知 A（ 1,2 ）,B（ 4,2 ）,就把向量 ABr按向量 a （ 1,3 ）平移后得到的向量是 （答：（ 3,0 ）2. 零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量,记作：0 ,留意 零向量的方向是任意的；uuuruuur3. 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与 AB 共线的单位向量是uuur ；| AB |AB4. 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性；5. 平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量,记作： a b , 规定零向量和任何向量平行；提示：相等向量肯定是共线向量,但共线向量不肯定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；r 平行向量无传递性 ！（由于有 0 ；uuuruuur三点 A、B、C共线AB、AC共线；6. 相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是 a ；rr如： 以下命题： （ 1）如 abuuuruuurrr,就 ab ；（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相uuuruuurr rrrrr rrrr同r ；（ 3）如 AB r DC ,就 ABCD 是平行四边形； （ 4）如 ABCD 是平行四边形,就ABDC；（ 5）如ab, bc ,就 ac ；（ 6）如二向量的表示方法 ：a / b,b / c ,就a / c ；其中正确选项 （答：（ 4）（ 5）1. 几何表示法：用带箭头的有向线段表示,如AB ,留意起点在前,终点在后；2. 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示,如a , b , c 等；3. 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系,以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i , j 为基底,rrr就平面内的任一向量a 可表示为 axiy jx, y ,称 x, y 为向量 a 的坐标, a x, y 叫做向量 a 的坐标表示；假如向量的起点在原点 ,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同；三平面对量的基本定理：假如 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 a,有且只有一对实数1 、 2 ,使 a=1 e1 2 e2； 如rrrr（ 1）如 a1,1,b1, 1,c 1,2 ,就 c 1 r3 r（ 2）以下向量组中,能作为平面内全部向量基底的是（答：ab ）； 22uruururuurA. e10,0, e21, 2B.e1 1,2, e25,7uruururuur13C.e13,5, e2uuur uuur6,10D.e12,3, e2,24uuurr uuurruuur（答： B）；r r（ 3） 已知AD, BE分别是ABC 的边BC, AC 上的中线 , 且ADa, BEb , 就 BC 可用向量a,b表示为 2 r4 r（答：ab ）； 33（ 4）已知ABC中,点 D 在 BC 边上,且CD2 DB, CDr ABs AC,就 rs 的值是（答： 0）四实数与向量的积：实数与向量 a 的积是一个向量,记作a ,它的长度和方向规定如下：rr1aa , 2当>0 时,a 的方向与 a 的方向相同,当<0 时,a 的方向与 a 的方rr向相反,当 0 时,a五平面对量的数量积：0 ,留意 ：a 0；uuurr uuurr1. 两个向量的夹角 ：对于非零向量a , b ,作 OAa,OBb ,AOB0称为向量 a , b 的夹角,当 0 时, a , b 同向,当时, a , b 反向,当2时, a , b 垂直；rr2. 平面对量的数量积：假如两个非零向量 a , b ,它们的夹角为,我们把数量 | a | b | cos叫rr做 a 与b 的数量积（或内积或点积）,记作： a . b ,即 a . b a b cos；规定：零向量与任一向量的数量积是0, 留意数量积是一个实数,不再是一个向量； 如（ 1） ABC中,| AB |3 , | AC |4 , | BC |5 ,就 ABBC （答： 9）；r1r1rrr urrrrur（ 2） 已知 a1,b0, cakb ,dab , c 与 d的夹角为,就 k 等于 22rrr rrr4（答： 1）；（ 3） 已知 a2, b5, agb3 ,就 ab等于 （答：23 ）；r rrrrrrrr（ 4） 已知 a, b 是两个非零向量,且abab ,就 a与ab 的夹角为 r（答： 30o ）3. b 在 a 上的投影 为| b | cos,它是一个实数,但不肯定大于0；如已知 | a |3 , | b |5 ,且 a b12 ,就向量 a 在向量 b 上的投影为 r（答：12 ）54. a . b 的几何意义 ：数量积 a . b 等于 a 的模 | a |与 b 在 a 上的投影的积；5. 向量数量积的性质：设两个非零向量 a , b ,其夹角为,就：rrrr aba . b0 ；rrr 2rrr 2rr 2当 a ,b 同向时, a . b a b,特殊地, aa . aa, aa；当 a 与 b 反向时, a . brr a brrrr；当 为锐角时, a . b 0,且 a、b 不同向, a b0 是 为锐角的必要非充分条件；当rrrr为钝角时, a . b 0,且 a、b 不反向, a b0 是 为钝角的必要非充分条件；rrrr非零向量 a , b 夹角的运算公式：cosa .ba brrrr； | a . b | | a | b | ；如（ 1） 已知 a,2 , b3,2 ,假如 a 与 b 的夹角为锐角,就的取值范畴是 （答：4 或0 且1 ）；（ 2） 已知OFQ 的面积为 S ,且 OFFQ1 ,如 1S233 ,就 OF , FQ23夹角的取值范围是 （答： , ）；rrrrrrrr43（ 3） 已知 acos x,sin x, bcos y,sin y, a 与 b 之间有关系式kab3 akb ,其中k0 ,rrrrrr用 k 表示 a b ；求 a b 的最小值,并求此时a 与 b 的夹角的大小六向量的运算 ：1. 几何运算 ：rr（答： a bk 21 k4k0 ；最小值为1 ,60o ）2向量加法：利用“平行四边形法就”进行,但“平行四边形法就”只适用于不共线的向量,如uuurruuurruuurrr此之外,向量加法仍可利用“三角形法就”：设rruuuruuuruuurABa, BCb ,那么向量 AC 叫做 a 与 b的和,即abABBCAC ；uuurr uuurrrruuuruuuruuur向量的减法：用“三角形法就”：设ABa, ACb,那么abABACCA,由减向量的终点指向被减向量的终点；留意：此处减向量与被减向量的起点相同；uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur如： （1）化简： ABBCCD ； ABADDC ； ABCD ACBD uuuruuurruuurr uuurr uuurr（答：r ADrr； CB ； 0 ）；（ 2） 如正方形 ABCD 的边长为 1,ABa, BCb, ACc,就 | abc | uuuruuuruuuruuuruuur（答： 22 ）；（ 3） 如 O是 VABC所在平面内一点,且满意为 OBOCOBOC2OA,就 VABC 的外形（答：直角三角形） ；uuuruuuruuurr（ 4） 如 D 为 ABC 的边 BC 的中点,ABC 所在平面内有一点P ,满意uuur设| AP |uuur,就的值为| PD |PABPCP0 ,uuuruuuruuurr（答： 2）；（ 5） 如点 O 是 ABC 的外心,且rrOAOBCO0 ,就 ABC 的内角 C 为 （答： 120o）；2. 坐标运算 ：设 a x1, y1, b rr x2, y2,就： 向量的加减法运算 ： abx1x2 , y1y2 ；如：（ 1） 已知点A2,3, B5,4, C 7,10 ,如uuuruuuruuurAPABACR ,就当时,点 P 在第一、三象限的角平分线上1 uuur（答： 1 ）；2（ 2） 已知A2,3, B1,4, 且 AB2sinx,cos y , x, y, ,就 xy 22uuruur（答：或）；uuruuruururuur6 2（ 3）已知作用在点点坐标是A1,1的三个力 F13,4, F22,5, F33,1,就合力F F1F2F3 的终 实数与向量的积 ：rax1, y1 uuurx1,y1 ；（答：（ 9,1 ）如 A x1, y1 , B x2,y2 ,就 ABx2x1, y2y1,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；如uuur1 uuuruuuruuur设 A2,3, B 1,5 ,且ACAB , AD 33AB ,就 C、D 的坐标分别是 （答：111,7,9 ）；rr 平面对量数量积 ： a .bx1x23y1 y2 ；如已知向量 a （ sinx ,cosx ）,b （ sinx ,sinx ）,c （ 1,0）；（ 1）如 x,求向量 a 、3c 的夹角；（ 2）如 x 3, ,函数84f xa b 的最大值为1 ,求的值2rrr（答：1150o;21 或21 ）；2 向量的模 ： | a |r rx2y2 , a2| a |2x2y2 ； 如uurr已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为60o ,那么 | a3b | （答：13 ）； 两点间的距离 ：如A x1, y1, B x2, y2,就 | AB |2x2x12y2y1；如如图,在平面斜坐标系xOy 中,xOy60o,平面上任一点 P 关于斜坐uuururuurur uur标系的斜坐标是这样定义的：如 OPxe1ye2,其中e1, e2分别为与 x 轴、y轴同方向的单位向量,就P 点斜坐标为 x, y ；（ 1）如点 P 的斜坐标为（ 2,2）,求 P 到 O的距离 PO；（ 2）求以 O为圆心, 1 为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程；七向量的运算律：abba ,rrrrrabcabrrrr1. 交换律：（答：（ 1） 2；（ 2） x2rrrrrra a , a . bb . a ；y2xy10 ）；r rrrrrrrrrrrr2. 结合律：c, abcabc,a . ba . ba .b ；rrrrrrrraaa,abab ,arrrrrr3. 安排律：如b . ca . cb . c ；以下命题中：a bca bac ；a b c a bc ；ab2| a |2rrrrrrr 2r 22 | a | | b | b |2 ； 如 a brrr0 ,就 a0 或 b0 ；如a bc b, 就 ac ；aa ；a bbrr 2r 2r 2rr 2r 2rrr 2r 2r ；aaa bab ；aba2a bb；其中正确选项 （答：）提示：（ 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区分：对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除 相约 ；（ 2 ）向量的“乘法”不满意结合律,即ab . ca .bc ,为什么？rrrrrrrr八向量平行 共线 的充要条件 ： a / bab a b2| a |b |2x yy x 0；如rrrr1 21 2(1) 如向量 a x,1,b4, x ,当 x 时 a 与b共线且方向相同rrrrrrrrrr（答： 2）；（ 2） 已知 a1,1,b4, x , ua2b , v2ab ,且 u / v ,就 x uuuruuuruuur（答： 4）；（ 3） 设 PA k,12, PB4,5, PC10, k ,就 k时, A,B,C 共线（答： 2 或 11）rrrrrrrr九 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ：uuuruuuruuuruuuraba b0| ab | | ab |x1 x2y1 y20. 特 别 地 ABAC ABAC ；如uuuruuuruuuruuurABACABACuuuruuuruuuruuur(1) 已知 OA 1,2,OB3,m,如 OAOB ,就 m（答： 3 ）；2（2） 以原点 O和 A4,2 为两个顶点作等腰直角三角形OAB, B90 ,就点 B 的坐标是 rrurrurur（答： 1,3或（ 3, 1） ；（3） 已知 n a, b, 向量 nm ,且 nm,就 m 的坐标是 （答： b,a) 或b, a ）十线段的定比分点 ：1. 定比分点的概念 ：设点 P 是直线 P1 P 2 上异于 P1 、 P2 的任意一点,如存在一个实数,使uuuruuurP1PPP2 ,就叫做点 P 分有向线段分点；uuuur P1P2所成的比, P 点叫做有向线段uuuur P1P2的以定比为的定比2. 的符号与分点 P 的位置之间的关系 ：当 P 点在线段 P 1 P 2 上时>0；当 P 点在线段 P 1 P2uuuur的延长线上时< 1；当 P 点在线段 P2 P1 的延长线上时10 ；如点 P 分有向线段P1P2所成的比为,就点 P 分有向线段uuuurP2 P1 所成的比为1 ；如uuur如点 P 分 AB 所成的比为3uuur,就 A分 BP 所成的比为 4uuuur（答：7 ）33. 线段的定比分点公式：设P1 x1 , y1 、 P2 x2, y2 ,Px, y分有向线段P1P2所成的比为,x x1x2就1y y1y21,特殊地,当 1 时,就得到线段 P1 P 2的中点公式x x1x2 2y y1y2 2；在使用定比分点的坐标公式时,应明确 x, y , x1, y1 、 x2 , y2 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标；在详细运算时应依据题设条件,敏捷地确定起点,分点和终点,并依据这些点确定对应的定比；如1（ 1） 如 M（ -3 , -2 ）, N（ 6,-1 ）,且MPMN,就点 P 的坐标为 3（答： 6,7 ）；31uuuuruuur（ 2）已知 Aa,0, B3,2a ,直线yax 与线段 AB 交于 M ,且 AM 2r2MB,就 a 等于 （答：或）x xh十一平移公式：假如点rP x, y 按向量 ah,k平移至Px , y ,就；曲线y ykf x,y0 按向量ah, k平移得曲线f xh,yk 0 . 留意 ：（ 1） 函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？ （ 2） 向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊！如rr（1） 按向量 a 把 2,3 平移到 1, 2 ,就按向量 a 把点 7,2 平移到点 （答：（,） ）；（ 2 ） 函数 ysin 2 x 的图象按向量a 平移后,所得函数的解析式是ycos 2 x1 ,就 a 12、向量中一些常用的结论：（答： ,1 ）4（ 1）一个r 封闭r图形首r 尾连r 接而r 成的向r 量和为零向量,要r 注r意运用；rrrrr（ 2） | a | b | | ab | | a |b | ,特殊地,当 a、b 同向或有 0| ab | |a | b |rrrrrrrrrrrrrrrrr| a | b | | ab | ；当 a、brrrrrr反向或有 0| ab | | a |b | a | b | | ab | ；当 a、b不共线| a | b | | ab | | a | b | 这些和实数比较类似 .（ 3 ） 在ABC 中 , 如A x1, y1, B x2, y2, C x3 , y3, 就 其 重 心 的 坐 标 为G x1x2x3 , y1y2y3；如33如 ABC的三边的中点分别为（2, 1）、（-3 ,4）、 （-1 , -1 ）,就 ABC的重心的坐标为 （答： 24, ）；33uuuruuuruuuruuur1GABCuuuruuuruuurrP 为 ABCPG3 PAPBPC 为的重心,特殊地PAPBPC0的重心；uuuruuuruuuruuuruuuruuur PA PBPB PCPCPAP 为 ABC的垂心；uuuruuur向量uAuBuruAuCur 0 所在直线过ABC 的内心 是BAC 的角平分线所在直线 ；| AB | AC |uuuruuuruuuruuuruuuruuurr | AB | PC| BC | PA| CA | PB0PABC 的内心；uuuuruuuruuuuruuuur（ 3）如 P 分有向线段P1P2所成的比为,点 M 为平面内的任一点,就MPMP1MP2,特殊uuuuruuuur 1地 P 为P1P2 的中点uuur MPMP1MP2 ；2uuuruuuruuuruuuruuuruuur（ 4）向量 PA、PB、PC 中三终点 A、B、C1 . 如共线存在实数、 使得 PAPBPC 且平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知 两 点A3,1 ,B 1,3, 如 点 C 满 足OC1OA2OB , 其中1 ,2R 且 12 1 , 就点 C 的轨迹是 （答：直线 AB）2.2平面对量的线性运算1. 在矩形 ABCD 中, AB3 , BC1 ,就向量 ABADAC 的长等于（）（A ） 2（ B） 23（ C） 3（ D） 42. 下面给出四个命题： 对于实数 m 和向量 a 、 b 恒有：m abmamb 对于实数 m 、 n 和向量 a ,恒有 mn amana 如 mambmR ,就有 ab 如 manam, nR, a0 ,就 mn其中正确命题的个数是（）（A ） 1（ B ）2（ C） 3（ D） 43. 如 a 与 b 的方向相反,且ab ,就 a+b 的方向与 a 的方向；此时 abab 答案：相同； =；uuur4. 已知 D、E、F 分别是 ABC 的边 BC、CA、AB 的中点,且 BCuuur a , CAuuur b , ABc,就以下uuur11uuur 1uuur11uuuruuuruuur各式： EFcb ； BE 22ab ； CF 2ab ； ADBECF220其中正确的等式的个数为答案： 2uuuruuuruuur5. 已知 A、 B、C 三点不共线, O 是 ABC 内的一点,如 OAOBOC0 ,就 O 是 ABC的；（填重心 、垂心、内心、外心之一）答案：重心uuuruuuruuur6. 如 AB8, AC5, 就 BC的取值范畴是答案：3,13uuur解析：由结论 |a|-|b| |a±b| |a|+|b|,由于 BCuuuruuurA=| ABAC |；F7. 如图, D、E、F 是 ABC 的边 AB 、BC、 CA 的中点,D就 AFDB =CBE答案： BE8. 在 YABCD 中,uuur r uuur r uuuruuur ABa, ADb, AN3NCuuuurr r,M为 BC的中点,就 MN ；（用 a、b 表示）uuuruuuruuuruuurrruuuurr1 r解析：如图,由AN3NC得4 AN3A C=3 ab ,AMab , 2uuuur所以 MN3 rrr1 rabab1 r1 rab ；4244uuuruuuruuuruuur9. 化简： ABCD ACBD =答案： 010. 如图,ABCD 是一个梯形, AB CD ,且 AB=2CD ,M 、N 分别是 DC 和 AB 的中点,已知 AB =a, AD =b,试用 a, b 表示 BC 和 MN 一、挑选题2.3平面对量基本定理及坐标表示1设平面对量a 1,0 , b 0,2,就 2a3b A6,3B 2, 6C 2,1D 7,222已知平面对量 ax,1, b x,x ,就向量 a b A平行于 x 轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于 y 轴D平行于其次、四象限的角平分线3已知平面对量 a1,2, b 2,m,且 a b,就 2a 3b A 2, 4B 3, 6C 4, 8D 5, 104. 设点 A2,0 , B4,2 ,如点 P 在直线 AB上,且|AB | 2|AP|,就点 P 的坐标为 A3,1B 1 , 1C 3,1或1 , 1D很多多个uuur5. 如向量 ABuuru=（1,2 ）, BCuuur=（3,4 ）,就 AC=A （ 4,6 ）B -4,-6C -2, -2D 2,26. 已知向量 a x z,3 , b 2 , y z ,且 a b,如 x, y 满意不等式 |x|y| 1,就 z 的取值范畴为 A 2,2B 2,3C 3,2D 3,327. 设两个向量a 2, cos2 和 b m,msin ,其中 , m, 为实数如 a 2b, 2就 m的取值范畴是 A 6,1B 4,8C , 1D 1,6二、填空题8.设 a 1,2, b2,3,如向量 a b 与向量 c 4, 7 共线,就 .119如三点 A2,2,Ba,0 , C0,bab 0 共线,就ab的值为10. 设向量 a, b 满意|a| 25, b 2,1 ,且 a 与 b 的方向相反,就 a 的坐标为11. 设 e1, e2 是平面内一组基向量,且a e1 2e2, b e1e2,就向量 e1 e2 可以表示为另一组基向量 a, b 的线性组合,即 e1 e2a b.12. 在平面直角坐标系xOy 中,四边形 ABCD的边 AB DC,AD BC.已知点 A 2,0 ,B6,8 ,C8,6 , 就 D 点的坐标为三、解答题11313. 已知点 A 1,2 , B2,8 以及 AC AB, DA 3BA,求点 C, D 的坐标和 CD的坐标14. 已知 A1,1 、B3 , 1 、Ca, b 1如 A、B、C三点共线,求 a、b 的关系式；uuur(2) 如 ACuuur 2 AB,求点 C的坐标15已知向量 OA 3,4,OB6 , 3 ,OC 5 m, 3 m如点 A,B,C 能构成三角形,求实数 m满意的条件 16已知 O0,0 , A1,2 , B4,5 及OP OA tAB,求(1) t为何值时, P 在 x 轴上？ P 在 y 轴上？ P 在其次象限？(2) 四边形 OABP能否成为平行四边形？如能,求出相应的t 值；如不能,请说明理由