中考第一轮复习——圆.doc

. .年级初三学 科数学版 本人教新课标版内容标题中考第一轮复习圆编稿老师铭士教育教学研究小组【本讲教育信息】一、教学内容：复习九：圆1. 圆的有关概念和性质2. 点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系及其判定3. 两圆相切、相交的性质4. 弧长、扇形面积的计算公式5. 圆锥的侧面展开图二、知识要点：1. 圆的对称性圆是旋转对称图形，中心为圆心，它既是轴对称图形又是中心对称图形由于圆的旋转对称性，所以在一个圆中，圆心角、弦、弧这三组量如果有一组量相等，则其余两组量也相等（如图所示）由于圆的轴对称性，所以沿直径所在直线折叠，左右两部分重合，同时圆的轴对称性与等腰三角形有着密切的关系（如图所示）2. 和圆有关的结论半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°；90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆（如图所示）在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等（如图所示）3. 与圆有关的位置关系点和圆的位置关系有：点在圆外、在圆上和在圆内（如图所示）；直线和圆的位置关系有：直线与圆相离、相切、相交（如图所示）；圆的圆的位置关系有：外离、外切、相交、内切、内含（如图所示）从量的角度描述以上三种位置关系，都用半径和距离做比较4. 三角形的内心，外心不在同一直线上的三点确定一个圆三角形的外心是三边垂直平分线的交点（如图所示）与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，其圆心叫做三角形的内心三角形内心是三角形三条角平分线的交点（如图所示）5. 直线和圆相切定义：直线与圆有唯一交点，这时我们称直线与圆相切性质：圆的切线垂直于过切点的半径判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线长：切线上的一点与切点之间线段的长叫做切线长切线长性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角6. 弧长和扇形面积如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么弧长公式为l由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形如果设圆心角是的扇形的面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积公式为S或Slr（l为扇形的弧长）7. 圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是扇形，如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，扇形圆心角的度数为n°，则有rl，2r三、重、难点：重点要掌握圆的基本性质、与圆有关的位置关系，圆中的计算问题难点是切线的性质和判定，圆与四边形、三角形的综合问题四、考点分析：圆的有关性质与圆的有关计算是近几年全国各地中考命题考查的重点内容，题型以填空题、选择题和解答题为主，也有以阅读理解题、条件开放、结论开放探索题作为新的题型，分值一般为612分所考查的知识点通常有：圆的有关性质的应用；直线和圆、圆和圆位置关系的判定及应用；弧长、扇形面积、圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算；圆与相似三角形、三角函数的综合运用【典型例题】例1. 选择题（1）如图所示，量角器外缘边上有A、P、Q三点，它们所表示的读数分别是180°，30°，则PAQ的大小为（ ）A10°B20°C30°D40°解析：设量角器的圆心角为O，连接PO，QO，知POQ70°30°40°，而PAQ为所对的圆周角，为POQ的一半，所以PAQPOQ×40°20°（2）一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）A9B18C27D39解析：设圆锥的母线为R，底面圆的半径为r，则2r，R2r，R2r2（3）2，即（2r）2r227，r3，R6，S侧18故选B（3）如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC为正方形，顶点A、C在坐标轴上，以边AB为弦的M与x轴相切，若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为（ ）A（4，5）B（5，4）C（4，6）D（4，5）解析：如图所示，作MEx轴于点E，并反向延长交AB于点D，连接MA，点A（0，8），DEAB8，ADAB4M与x轴相切，点E是切点，OEAD4，MAME在RtADM中，MD2AD2MA2，（8ME）242ME2，ME5，点M（4，5），故选D例2. 填空题（1）如图所示，将边长为8cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动三次后，正方形ABCD的中心经过的路线长是_cm解析：依题意，知正方形ABCD的中心经过的路线长为3个圆弧长，其半径为4，利用弧长公式可得三段弧长之和为6，即正方形ABCD的中心经过的路线长是6cm（2）如图所示，AB为O的直径，ABAC，BC交O于点D，AC交O于点E，BAC45°给出以下五个结论：EBC22.5°；BDDC；AE2EC；劣弧是劣弧的2倍；AEBC其中正确的结论的序号是_解析：连接AD，AB是O的直径，ADB90°，又ABAC，ABCC67.5°，BDDCAB是O的直径，AEB90°，ABE90°BAC45°，EBC22.5°在ABE中，ABEA，AEBE，而BEBC，AEBC，AE2ECABE2EBC，劣弧是劣弧的2倍因此正确结论的序号是（3）已知O的半径等于5cm，弦AB6cm，CD8cm，且ABCD，则AB、CD之间的距离为_解析：由于圆是一个轴对称图形，弦AB与CD位置有两种，如图和在图中，连接OA、OC，作OFCD于F，交AB于E，则AEAB3（cm），CFCD4（cm），由勾股定理得OE4，OF3，所以EFOEOF431（cm），同理在图中，EFOEOF437（cm）故AB、CD之间的距离为1cm或7cm例3. 如图所示，AB是O的直径，CB是弦，ODCB于E，交于D，连接AC（1）请写出两个不同类型的正确结论；（2）若CB8，ED2，求O的半径解：（1）不同类型的正确结论有：BECE；BDCD；BED90°；BODA；ACOD；ACBC；OE2BE2OB2；SABCBC·OE；BOD是等腰三角形；BOEBAC等等（注：BECE与BC2BE或CEBC是同一类型，以上任取两个类型结论即可）（2）ODCB，BECECB4设圆半径等于R，则OEODDER2，在RtOEB中，由勾股定理得，OE2BE2OB2，即（R2）242R2，解得R5，O的半径为5评析：在运用垂径定理解决圆的弦长问题时，一般要利用弦的一半、半径和圆心到这条弦的距离这三个量构成的直角三角形，应用勾股定理列方程求解例4. 如图所示，A是以BC为直径的O上的一点，ADBC于点D，过点B作O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P（1）求证：BFEF；（2）求证：PA是O的切线证明：（1）BC是O的直径，BE是O的切线，EBBC又ADBC，ADBE，BFCDGC，FECGAC，G是AD的中点，DGAG，BFEF（2）连接AO、ABBC是O的直径，BAC90°在RtBAE中，由（1）知F是斜边BE的中点，AFFBEFFBAFAB又OAOB，ABOBAOBE是O的切线，EBO90°，EBOFBAABOFABBAOFAO90°，PA是O的切线评析：证明一直线是圆的切线时，常用到“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这一方法具体应用时又有两种不同的辅助线作法：已知点在圆上（即点经过半径的外端），此时连接该点和圆心证垂直（如本例）不知点是否在圆上，常过圆心引该直线的垂线，证明垂线段等于半径例5. 如图所示，ABC内接于O，点D在半径OB的延长线上，BCDA30°（1）试判断直线CD与O的位置关系，并说明理由（2）若O的半径长为1，求由弧BC，线段CD和BD所围成的阴影部分的面积（结果保留和根号）分析：可以直观地判断直线CD与O相切理由就是想办法证明OCCD，根据BCDA30°可以判断OBC是正三角形，可求出OCD90°，从而得到证明至于阴影部分的面积可以利用间接法求得，即求出RtOCD的面积，再减去扇形OBC的面积解：直线CD与O相切，理由如下：在O中，COB2CAB2×30°60°又OBOC，OBC是正三角形，OCB60°又BCD30°，OCD60°30°90°OCCD又OC是半径，直线CD与O相切（2）由（1）得COD是直角三角形，COB60°OC1，CDSCODOC·CD又S扇形OCB，S阴影SCODS扇形OCB【方法总结】1. 利用垂径定理进行证明或计算，通常利用半径、圆心距和弦的一半组成的直角三角形求解由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦与圆心的位置关系有两种情况，所以利用垂径定理计算时，不要漏解2. 证明直线与圆相切，一般有两种情况（1）已知直线与圆有公共点，这时连接圆心与公共点的半径，证明该半径与已知直线垂直（2）不知直线与圆有公共点，这时过圆心作与已知直线垂直的线段，证明此垂线段的长与半径相等【预习导学案】（复习十：图形变换）一、预习前知1. 什么是轴对称，什么是中心对称？2. 什么是图形的平移和旋转？3. 什么叫相似形？二、预习导学1. 轴对称图形的性质有：_；中心对称图形的性质有：_2. 平移的特征是_，旋转的特征是_3. 相似三角形的性质有哪些？如何判定两个三角形相似？反思：（1）图形变换有哪些？（2）如何利用锐角三角函数求出直角三角形中的未知元素？【模拟试题】（答题时间：50分钟）【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 下列命题中，正确的是（ ）顶点在圆周上的角是圆周角；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；90°的圆周角所对的弦是直径；不在同一条直线上的三个点确定一个圆；同弧所对的圆周角相等A. B. C. D. 2. 如图所示，O的直径CD过弦EF的中点G，EOD40°，则DCF等于（ ）A. 80°B. 50°C. 40°D. 20°3. 如图所示，小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为10cm，那么小丽要制作的这个圆锥模型的侧面展开扇形纸片的圆心角度数是（ ）A. 150°B. 200°C. 180°D. 240°4. 如图所示，已知线段AB8cm，P与Q的半径均为1cm点P、Q分别从A、B出发，在线段AB上按箭头所示方向运动当P、Q两点未相遇前，在下列选项中，P与Q不可能出现的位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含5. 如图所示，ABC内接于O，C45°，AB4，则O的半径为（ ）A. 2B. 4C. 2D. 56. 如图所示，已知EF是O的直径，把A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与O交于点P，点B与点O重合将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止设POFx°，则x的取值X围是（ ）A. 30x60B. 30x90C. 30x120D. 60x120*7. 如图所示，在ABC中，BC4，以点A为圆心，2为半径的A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是A上一点，且EPF40°，则图中阴影部分的面积是（ ）A. 4B. 4C. 8D. 8*8. ABC中，ABAC，A为锐角，CD为AB边上的高，I为ACD的内切圆圆心，则AIB的度数是（ ）A. 120°B. 125°C. 135°D. 150°二、填空题1. 如图所示，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点A、B间的距离为80cm，两车轮的直径分别为136cm、16cm，则两车轮的圆心相距_2. 如图所示，AB是O的直径，CD是O的弦，连结AC、AD若CAB35°，则ADC的度数为_3. 如图，AB为O的直径，弦CDAB，E为上一点，若CEA28°，则ABD_4. 如图所示，A、B、C、D是O上四点，且D是的中点，CD交OB于E，AOB100°，OBC55°，OEC_度5. 如图所示，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为G，F是CG的中点，延长AF交O于E，CF2，AF3，则EF的长是_6. 如图，AB为半圆O的直径，延长AB到点P，使BPAB，PC切半圆O于点C，点D是上和点C不重合的一点，则D的度数为_7. 如图所示，已知点E是O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，BOC，则AED的度数为_*8. 如图所示，PQ3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB_三、解答题1. 如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点M，MNAC于点N（1）求证MN是O的切线；（2）若BAC120°，AB2，求图中阴影部分的面积2. 如图所示，已知在O中，AB4，AC是O的直径，ACBD于点F，A（1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径*3. 如图所示，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AECD于E，DA平分BDE（1）求证：AE是O的切线；（2）若DBC30°，DE1cm，求BD的长*4. 如图所示，A是半径为12cm的O上的定点，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A时立即停止运动（1）如果POA90°，求点P运动的时间；（2）如果点B是OA延长线上的一点，ABOA，那么当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与O的位置关系，并说明理由【试题答案】一、选择题1. B2. D【连接OF，O的直径CD过弦EF的中点G，EODDOF，DCFDOF20°】3. B【圆锥模型侧面展开扇形纸片的弧长是2r2×10（cm），由弧长公式l得10，n200°】4. D5. A【连接OA、OB，C45°，AOB90°，在RtAOB中，OAOB2】6. A【当B点与O点重合时，POF30°；当B点与E点重合时，POF2×30°，30x60，故选A】7. B【连接AD，因为BC为A的切线，D为切点，所以ADBC又由BAC2EPF2×40°80°，S扇形EAF，S阴影SABCS扇形EAF×BC×AD4】8. C【I为ACD内切圆圆心，IACBAC，ICAACB，CDAB，BACACD90°，IACICA45°，AIC135°ABAC，且I与AB、AC相切，BAICAI，AIBAIC，AIBAIC135°】二、填空题1. 100cm【如图所示，作O1CO2B于C，在RtO1O2C中，O1CAB80cm，O2CO2BO1A60cm，由勾股定理得O1O2100cm】2. 55°【连结BC，ADCABC90°CAB55°】3. 28°4. 80【由题意知BCD25°，OECBBCD80°】5. 4【连结CE，CF2，CG4，FD6又ADFCEF，EF4】6. 30°【连接OC，则BCOPOB，OBC是等边三角形，D30°】7. 69°【B、C分别是劣弧AD的三等分点，又知BOC46°，AOD3×46°138°，AEDAOD69°】8. 6【设大圆圆心为点O，作连心线交AB于点E，根据圆的对称性OAE为直角三角形，则OA2（PEOP）2（AB）2，即52（AB35）2（AB）2，解得AB6】三、解答题1.（1）证明：连接OM证OMAC（2）连接AM由题意可得OM1，MBMC，MN，ANAC2，S梯形ANMO，S扇形OAM，S阴影2.（1）解法一：如图所示，过O作OEAB于点E，则AEAB2在RtAEO中，BAC30°，cos30°OA4又OAOB，ABO30°BOC60°ACBD，CODBOC60°BOD120°S阴影·42解法二：如图所示，连结ADACBD，AC是直径AC垂直平分BDABAD，BFFD，BAD2BAC，BOD120°BFAB2，sin60°，AFAB·sin60°4×6OB2BF2OF2，即（2）2（6OB）2OB2OB4S阴影S圆解法三：如图所示，连结BCAC为O的直径，ABC90°AB4，AC8A30°，ACBD，BOC60°，BOD120°S阴影·OA2×42·（2）设圆锥的底面圆半径为r，2r·4解得r3.（1）连结OADA平分BDE，BDAEDAOAOD，ODAOAD，OADEDA，OACEAEDE，AED90°，OAEDEA90°AEOAAE是O的切线（2）BD是直径，BCDBAD90°DBC30°，BDC60°，BDE120°DA平分BDE，BDAEDA60°ABDEAD30°在RtAED中，AED90°，EAD30°，AD2DE在RtABD中，BAD90°，ABD30°，BD2AD4DEDE的长是1cm，BD的长是4cm4.（1）当POA90°时，点P运动的路程为O周长的或设点P运动的时间为ts当点P运动的路程为O周长的时，2·t·2·12解得t3；当点P运动的路程为O周长的时，2·t·2·12解得t9当POA90°时，点P运动的时间为3s或9s（2）如图所示，当点P运动的时间为2s时，直线BP与O相切理由如下：当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4cm连结OP、PAO的周长为24cm，的长为O周长的POA60°OPOA，OAP是等边三角形OPOAAP，OAP60°ABOA，APABOAPAPBB，APBB30°OPBP直线BP与O相切. .jz.