2022年人教A版数学必修五第一章解三角形导学案.pdf

1.1.1 正弦定理学习目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题学习过程一、课前准备试验 ：固定ABC 的边CB 及B，使边 AC 绕着顶点 C 转动思考 ：C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学 学习探究探究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在RtABC 中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又 sin1cCc，从而在直角三角形ABC 中，sinsinsinabcABC( 探究 2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD=sinsinaBbA ，则sinsinabAB，同理可得sinsincbCB，从而sinsinabABsincC类似可推出， 当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立请你试试推导. 新知 ：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即sinsinabABsincC试试 ：（1）在ABC中，一定成立的等式是（） AsinsinaAbBB.coscosaAbBC. sinsinaBbAD.coscosaBbA（2）已知 ABC 中， a4，b8， A30，则B 等于理解定理 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sinakA，sinckC ；（2）sinsinabABsincC等价于，sinsincbCB，sinaAsincC（3）sinsinabABsincC还等价于a：b：c=sinA：sinB：sinC。（3）正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；b已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 sinsinaABb；sinC（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形 典型例题例 1. 在ABC中， 已知45A，60B，42acm，解三角形变 式 ： 在ABC中 ， 已 知45B，60C，12acm，解三角形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 例 2. 在6,45 ,2,ABCcAabB C中，求 和变式 ：在3,60 ,1,ABCbBcaA C中，求 和三、总结提升 学习小结1. 正弦定理：sinsinabABsincC2. 正弦定理的证明方法：三角函数的定义，还有等积法，外接圆法，向量法. 3应用正弦定理解三角形：已知两角和一边；已知两边和其中一边的对角 知识拓展sinsinabAB2sincRC，其中2R为外接圆直径 . 学习评价 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1、 (13 北京文）在 ABC 中，a=3， b=5，31sin A，则 sinB=_ 2、 （13 湖南理）在锐角中ABC，角,A B所对的边长分别为,a b.若2 sin3 ,aBbA则角 等于（）A12B6C4D33. 在 ABC 中，若 sinsinAB ，则A与B的大小关系为（）. A. ABB. ABC. ABD. A、B的大小关系不能确定4. 已知ABC 中， sin:sin:sin1: 2 :3ABC，则:a b c= 5、在ABC中，若coscosAbBa，则ABC是（）. A等腰三角形B等腰三角形或直角三角形C直角三角形D等边三角形课后作业1、 （13 广东文） 13已知 a，b，c 分别是 ABC的三个内角A，B，C 所对的边，若a=1，b=3，A+C=2B ，则 sinA= _ 2 在ABC中， AC=3，0075,45CA，则 BC 的长为 _ 3 在ABC中， AB=3，0075,45CA，则 BC=（）A 3-3B 2C 2 D 3+34 在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a,b,c，已知 A=3，a=3，b=1，则 c=（）A 1 B 2 C 3-1 D 35、在ABC中，若 tanA=31，0150C，BC=1，则 AB=_ 6 、 在ABC中 ，CcBbAaco sco sco s， 则ABC一定是（）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形7、在ABC中，CBA222sinsinsin，则三角形一定是（）A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 等腰三角形或直角三角形8、（ 13 陕西理）设 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若coscossinbCcBaA, 则ABC 的形状为（）(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定9 在ABC中，已知AbBatantan22，则此三角形是（）A 锐角三角形B 直角三形C 钝角三角形D 直角或等腰三角形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 1.1.2 余弦定理学习目标1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题学习过程一、课前准备复习 1：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即= = 复习 2：在 ABC 中，已知10c，A=45 ，C=30 ，解此三角形思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学 探究新知问题 ：在ABC中，AB、BC、CA的长分别为 c 、a、b. AC， ACAC同理可得：2222c o sabcb cA，2222coscababC 新知 ：余弦定理：三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍思考 ：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos2bcaAbc，理解定理 （1）若 C=90，则cosC，这时222cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例（2）余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角试试 ：（1）ABC 中，3 3a，2c，150B，求b（2） ABC 中，2a，2b，31c，求A 典型例题例 1. 在 ABC 中，已知3a，2b，45B，求,A C 和 c 变式 ：在 ABC 中，若 AB5 ，AC 5，且 cosC910，则 BC_例2. 在 ABC 中，已知三边长3a，4b，37c，求三角形的最大内角变式 ：在ABC 中，若222abcbc ，求角 AcabABC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 三、总结提升 学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围： 已知三边，求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边知识拓展在ABC 中，利用 a2+b2-c2与 0 判断形状若222abc ，则角C是直角；若222abc ，则角C是钝角；若222abc ，则角C是锐角学习评价 当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1. 已知 a3 ，c2，B150，则边b 的长为（） . A. 342B. 34C. 222D. 222. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）. A 60B 75C120D1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则 x 的取值范围是（）. A513xB13 x5C 2x5D5 x5 4. 在 ABC 中，| AB |3，| AC |2， AB 与 AC 的夹角为 60，则 | AB AC |_5、 （13 湖北理） 设 ABC 的 内角 A，B，C，所对的边分别是a，b，c。若（ a+b-c） （a+b+c）=ab，则角 C=_。课后作业1. 在 ABC 中，已知 a7，b8，cosC1314，求最大角的余弦值2. 在 ABC 中，AB5， BC7， AC8，求 A B B C的值 . 3 在ABC中，已知 BC=12 ，A=600，B=450，则AC=_ 4 在ABC中， AB=1 ，BC=2 ，B=600，则 AC=_ 5 在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a,b,c，若 a=1，b=7， c=3，则 B=_ 6 在ABC中，若0120A，AB=5 ，BC=7 ，则AC=_ 7、 （13 新课标 1 文）已知锐角 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0 ，a=7，c=6，则 b=( ) （A）10 （B） 9 （C）8 （D）5 8、在ABC中， B=600，acb2，则三角形一定是（）A 等腰三角形B 直角三角形C 等边三角形D 等腰三角形或直角三角形9 在ABC中，若02222abbac，则ABC是（）A 锐角三角形B 直角三形C 钝角三角形D 锐角或直角三角形10 在ABC中， a=2bcosC， 则该三角形一定是 （）A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 等腰三角形或直角三角形11、在ABC中，已知（ a+b+c）(b+c-a)=3bc ，且sinA=2sinBcosC ，试确定三角形的形状_ 12、 在A B C中， 已知 b=asinC， c=acosB， 则A B C一定是 _ 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 2012 解三角形高考试题1、（ 北京文 ）在 ABC中，若a=3， b=3，A=3，则 C 的大小为 _。2、（广东文） 6. 在 ABC 中，若 A60， B45， BC3 2，则 AC _.3、（北京理） 11在 ABC 中，若a=2，b+c=7，cosB=41，则 b=_。4、 （陕西文） 13. 在三角形 ABC 中，角 A,B,C 所对应的长分别为a，b，c，若 a=2 ，B=6，c=23，则 b= 2 5、 （湖北理）11设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若()()abcabcab，则角C6、 （湖南文） 8 . 在 ABC 中，AC=7，BC=2，B =60，则 BC 边上的高等于（）A32B.3 32C.362D.33947、在ABC中，若CBA222sinsinsin，则ABC的形状是（） （上海理）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定8、（重庆文） 设ABC的内角ABC、 、的对边分 别 为abc、 、， 且1cos4abC=1， =2， 则sin B9、 （重庆理）ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c，且35cos,cos,3,513ABb则c10、 （湖北文） 设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且 A BC，3b=20acosA，则sinA sinB sinC为A.432 B.56 7 C.543 D.65 4 11、 （浙江文）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=3acosB。（1）求角 B 的大小；（2）若 b=3，sinC=2sinA ，求 a，c 的值 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 1.1 正弦定理和余弦定理（练习）学习目标1、掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形学习过程一、课前准备1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决） ；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况） 二、新课导学 学习探究探究 ：在 ABC 中，已知下列条件，解三角形. A6，a25，b502 ；新知 ：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）babababaa已知边 a,b 和 A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a bCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1ABACB2CHHH试试 ：1. 用图示分析（ A 为直角时）解的情况？2用图示分析（A 为钝角时）解的情况？ 知识拓展在ABC 中，已知, ,a b A ，讨论三角形解的情况：当 A 为锐角时，如果 a b，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sinabA，则有两解；（2）若sinabA，则只有一解；（3）若sinabA，则无解当 A 为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解； 典型例题例 1. 在ABC 中， 已知80a，100b，45A，试判断此三角形的解的情况课后作业1、（13 安徽理） 设ABC的内角 A，B，C所对边的长分别为a， b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB, 则角 C=( ) (A) 3 (B)32 (C)43 (D)652、（13 北京理）在ABC中，a=3，b=26，B=2A. (I) 求 cosA 的值；(II)求 c 的值。3 、 （ 13天 津 理 ） 在 ABC 中 , ,2,3,4ABBCABC则sin BAC=（）(A) 1010 (B) 105(C) 3 1010(D) 554、锐角ABC中，B=2A ，则ab的取值范围是 （）A （-2， 2）B （0，2）C （2， 2）D3,2）5、钝角三角形边长为a,a+1,a+2，其最大角不超过1200，则 a的取值范围是（）A（0， 30 B23，3）C（2， 3 D1 ，)25精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 1.2应用举例一、关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题例 1. 如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 55m，BAC=51，ACB=75. 求 A、B 两点的距离 (精确到 0.1m). 二、关于测量两点都不可到达之间的距离的问题例 2. 如图， A、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B 两点间距离的方法. 分析：首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点 . 根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和 BC，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离 . 练、 （09 辽宁）如图， A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内， B ， D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得B 点和 D 点的仰角分别为075，030，于水面 C 处测得 B点和 D点的仰角均为060，AC0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D 的距离（计算精确到 0.01km，21.414 ，62.449 ）三、关于测量高度问题探究 ：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法 . 分析：选择基线HG，使 H、G、B 三点共线，要求 AB，先求 AE在ACE中，可测得角，关键求AC在ACD中，可测得角，线段，又有故可求得AC例 3. 如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A的俯角=5440，在塔底C 处测得A 处的俯角=501. 已知铁塔BC 部分的高为27.3 m，求出山高 CD(精确到 1 m) 四、关于测量角度问题例 4. 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75 的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B， 然后从 B 出发，沿北偏东32 的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1，距离精确到0.01n mile) 分析：首先由三角形的内角和定理求出角ABC，然后用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和 AB 边的夹角CAB. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 练 1、 （07 山东理） 如图所示， 甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行。当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西 1050方向的 B1处，此时两船相距20 海里。当甲船航行20 分钟到达 A2处时，乙船航行到甲船的北偏西 1200方向的 B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？练 2、 （10 江苏） 某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位： m） ，如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度 h=4m，仰角 ABE=，ADE=。(1)该小组已经测得一组、的值， tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H 的值；4、 （09 宁夏海南文）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A，B，C 三点进行测量，已知50ABm，120BCm，于 A 处测得水深80ADm，于 B处 测 得 水 深200BEm， 于C 处 测 得 水 深110CFm，求DEF的余弦值。例 2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南 15 的方向上，行驶5km 后到达 B 处，测得此山顶在东偏南25 的方向上， 仰角为 8 ，求此山的高度 CD. 问题 1：欲求出 CD，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？问题 2：在BCD 中，已知BD 或 BC 都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？北1B2B1A2A120105乙甲精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 1.2 应用举例测量距离学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题学习过程一、课前准备复习 1：在 ABC 中，C60，ab 2 32，c 22 ，则 A 为. 复习 2：在 ABC 中，sinAsinsincoscosBCBC，判断三角形的形状 . 二、新课导学 典型例题例 1. 如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 55m，BAC=51，ACB=75. 求 A、B 两点的距离 (精确到 0.1m). 提问 1：ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问 2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？分析：这是一道题目条件告诉了边AB 的对角， AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边. 新知 1：基线在测量上，根据测量需要适当确定的叫基线 . 例 2. 如图， A、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B 两点间距离的方法. 分析：这是例 1 的变式题， 研究的是两个的点之间的距离测量问题 . 首先需要构造三角形，所以需要确定 C、D 两点 . 根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和 BC，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离 . 变式 ：若在河岸选取相距40 米的 C、D 两点， 测得BCA=60，ACD=30，CDB =45，BDA=60. 练：两灯塔A、B 与海洋观察站C 的距离都等于akm，灯塔 A 在观察站C 的北偏东30，灯塔B 在观察站 C 南偏东 60， 则 A、 B 之间的距离为多少？三、总结提升 学习小结1. 解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 2基线的选取：测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角45的等腰直角三角板的斜边紧靠球面， P 为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA=5cm，则球的半径等于 （）. A5cm B 52cmC 5(21)cmD6cm 2. 台风中心从A 地以每小时20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市B 在 A 的正东 40 千米处，B城市处于危险区内的时间为（） . A0.5 小时B1 小时C1.5 小时D2 小时3. 在ABC中，已知2222()sin()()sin()abABabAB ，则ABC的形状（）. A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.在ABC中， 已知4a，6b，120C， 则s i nA的值是5. 一船以每小时15km 的速度向东航行， 船在 A 处看到一个灯塔B 在北偏东 60 ，行驶 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东15 ，这时船与灯塔的距离为km课后作业1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达， 在岸边选取相距3 km 的 C、D 两点，并测得 ACB75，BCD45， ADC30， ADB45，A、B、C、D 在同一个平面，求两目标A、B 间的距离 . 2. 某船在海面 A处测得灯塔 C 与 A相距 10 3 海里，且在北偏东30方向；测得灯塔 B 与 A 相距 15 6 海里，且在北偏西75方向 . 船由A向正北方向航行到 D 处，测得灯塔B 在南偏西60方向 . 这时灯塔C 与 D 相距多少海里？3（ 09 辽宁）如图， A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B， D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得B 点和 D 点的仰角分别为075，030，于水面C 处测得 B 点和 D点的仰角均为060，AC 0.1km。试探究图中B，D 间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D 的距离（计算精确到 0.01km，21.414 ，62.449 ）4、 （09 宁夏海南文）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A，B，C 三点进行测量，已知50ABm，120BCm，于 A 处测得水深80ADm，于 B处 测 得 水 深200BEm， 于C 处 测 得 水 深110CFm，求DEF的余弦值。P A C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 1.2 应用举例测量高度学习目标1. 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；2. 测量中的有关名称. 学习过程一、课前准备复习 1：在ABC 中，cos5cos3AbBa，则ABC 的形状是怎样？复习 2：在ABC 中， a、b、c 分别为A、B、C 的对边，若:a b c=1:1:3，求 A:B:C 的值. 二、新课导学 学习探究新知 ：坡度、仰角、俯角、方位角方位角 - 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角；坡度 -沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；仰角与俯角-视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角 . 探究 ：AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法 . 分析：选择基线HG，使 H、G、B三点共线，要求 AB，先求 AE在ACE中，可测得角，关键求 AC在ACD中，可测得角，线段，又有故可求得 AC 典型例题例 1. 如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A的俯角=5440，在塔底C 处测得A 处的俯角=501. 已知铁塔BC 部分的高为27.3 m，求出山高 CD(精确到 1 m) 例 2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南 15 的方向上，行驶5km 后到达 B 处，测得此山顶在东偏南25 的方向上， 仰角为 8 ，求此山的高度 CD. 问题 1：欲求出 CD，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？问题 2：在BCD 中，已知BD 或 BC 都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 变式 ：某人在山顶观察到地面上有相距2500 米的A、B 两个目标，测得目标A 在南偏西 57，俯角是 60，测得目标 B 在南偏东 78，俯角是 45，试求山高 . 三、总结提升 学习小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化. 知识拓展在湖面上高h 处，测得云之仰角为，湖中云之影的俯角为，则云高为sin()sin()h. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1. 在ABC 中，下列关系中一定成立的是（）. AsinabABsinabACsinabADsinabA2. 在ABC 中，AB=3，BC=13 ，AC=4，则边 AC上的高为（）. A3 22B3 32C32D3 33. D、C、B 在地面同一直线上，DC=100 米，从 D、C 两地测得 A 的仰角分别为30 和 45 ， 则 A 点离地面的高 AB 等于（）米A100 B 503C50(31)D50 ( 31)4. 在地面上C点， 测得一塔塔顶A和塔基B的仰角分别是60和30，已知塔基B高出地面20m，则塔身AB的高为 _m 5. 在ABC 中，2 2b，2a，且三角形有两解，则 A 的取值范围是课后作业1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距 20m的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为 30， 测得塔基B 的俯角为45，则塔AB 的高度为多少m？2. 在平地上有A、B 两点， A 在山的正东， B 在山的东南，且在A 的南 25西 300 米的地方，在A侧山顶的仰角是30，求山高 . （07 山东理） 如图所示， 甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行。当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西 1050方向的 B1处，此时两船相距20 海里。 当甲船航行 20 分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西 1200方向的 B2处， 此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？北1B2B1A2A120105乙甲精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 1.2 应用举例测量角度学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题. 学习过程一、课前准备复习1：在ABC中，已知2c，3C，且1sin32abC，求ab，. 复习 2：设ABC的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 A=60 ，3c，求ac的值 . 二、新课导学 典型例题例 1. 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛B， 然后从 B 出发，沿北偏东 32 的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达 C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1，距离精确到0.01n mile) 分析：首先由三角形的内角和定理求出角ABC，然后用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和 AB 边的夹角CAB. 例 2. 某巡逻艇在A 处发现北偏东45 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船， 正沿南偏东75 的方向以10海里 /小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里 /小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 动手试试练 1. 甲、乙两船同时从B 点出发，甲船以每小时10(3 1)km 的速度向正东航行，乙船以每小时20km 的速度沿南60东的方向航行，1 小时后甲、乙两船分别到达A、C 两点，求A、C 两点的距离，以及在 A 点观察 C 点的方向角 . 练 2. 某渔轮在 A处测得在北45的 C 处有一鱼群，离渔轮 9 海里，并发现鱼群正沿南75东的方向以每小时 10 海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 三、总结提升 学习小结1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.；2已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解. 知识拓展已知ABC 的三边长均为有理数，A=3，B=2，则cos5是有理数，还是无理数？因为5C，由余弦定理知222cos2abcCab为有理数，所以 cos5cos(5 )cosC 为有理数 . 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1. 从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为（）. AB=C+= 90D+=1802. 已知两线段2a，2 2b，若以 a 、b为边作三角形， 则边 a 所对的角 A 的取值范围是 （）. A (,)63B (0,6C (0,)2D (0,43. 关于 x 的方程2sin2sinsin0A xB xC有相等实根，且A、B、C 是的三个内角，则三角形的三边 abc、 、满足（） . AbacBabcCcabD2bac4. ABC 中，已知 a:b:c=(3 +1) :(3-1): 10 ，则此三角形中最大角的度数为. 5. 在三角形中，已知:A，a，b 给出下列说法 : (1)若 A90，且 ab，则此三角形不存在(2)若 A90，则此三角形最多有一解(3)若 A90，且 a=bsinA，则此三角形为直角三角形，且 B=90(4)当 A90， ab 时三角形一定存在(5)当 A90，且 bsinAab 时，三角形有两解其中正确说法的序号是. 课后作业1. 我舰在敌岛A 南偏西50相距 12 海里的 B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10的方向以10 海里 /小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2 小时追上敌舰？2 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量， 已知50ABm，120BCm，于A 处测得水深80ADm，于 B处 测 得 水 深200BEm， 于C 处 测 得 水 深110CFm，求DEF的余弦值。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 1.2 应用举例解三角形学习目标1. 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；3. 能证明三角形中的简单的恒等式学习过程一、课前准备复习 1：在ABC 中（1）若1,3,120abB，则A等于（2）若3 3a，2b，150C，则 c_复习 2：在ABC中，3 3a，2b，150C，则高BD= ，三角形面积 = 二、新课导学 学习探究探究 ：在ABC 中，边 BC 上的高分别记为ha，那么它如何用已知边和角表示？ha=bsinC=csinB根据以前学过的三角形面积公式S=12ah，代 入可 以 推 导 出 下 面 的 三 角 形 面 积 公 式 ，S=12absinC，或 S= ，同理 S= 新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半 典型例题例 1. 在ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积 S（精确到 0.1cm2） ：（1）已知 a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5 ；（2）已知 B=62.7 ，C=65.8 ， b=3.16cm；（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm变式 ：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）例 2. 在ABC 中，求证：（1）222222sinsinsinabABcC；（2）2a +2b +2c =2（bccosA+cacosB+abcosC） 小结 ：证明三角形中恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理， “边”化“角”或“角”化“边”精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 动手试试练 1. 在ABC 中，已知28acm ，33ccm ，45B，则ABC 的面积是练 2. 在ABC 中，求证：22( coscos)c aBbAab 三、总结提升 学习小结1. 三角形面积公式：S=12absinC= = 2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理， “边”化“角”或“角”化“边” 知识拓展三角形面积()()()Sp papbpc ，这里1()2pabc ，这就是著名的海伦公式学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1. 在ABC中，2,3,60