2022年VAR模型与向量VECM模型.pdf

第7章向量自回归模型（VAR ）与向量误差修正模型（VEC ）向量自回归模型（ VAR(p)）传统的经济计量学联立方程模型建摸方法, 是以经济理论为基础来描述经济变量之间的结构关系，采用的是结构方法来建立模型，所建立的就是联立方程结构式模型。这种模型其优点是具有明显的经济理论含义。但是，从计量经济学建摸理论而言，也存在许多弊端而受到质疑。一是在模型建立之处，首先需要明确哪些是内生变量，哪些是外生变量，尽管可以根据研究问题和目的来确定，但有时也并不容易；二是所设定的模型，每一结构方程都含有内生多个内生变量，当将某一内生变量作为被解释变量出现在方程左边时，右边将会含有多个其余内生变量，由于它们与扰动项相关，从而使模型参数估计变得十分复杂，在未估计前，就需要讨论识别性；三是结构式模型不能很好地反映出变量间的动态联系。为了解决这一问题，经过一些现代计量经济学家门的研究，就给出了一种非结构性建立经济变量之间关系模型的方法，这就是所谓向量自回归模型（Vector Autoregression Model）。 VAR 模型最早是 1980年，由引入到计量经济学中，它实质上是多元AR 模型在经济计量学中的应用，VAR 模型不是以经济理论为基础描述经济变量之间的结构关系来建立模型的，它是以数据统计性质为基础，把某一经济系统中的每一变量作为所有变量的滞后变量的函数来构造模型的。它是一种处理具有相关关系的多变量的分析和预测、随机扰动对系统的动态冲击的最方便的方法。而且在一定条件下，多元MA模型、 ARMA 模型，也可化为VAR 模型来处理，这为研究具有相关关系的多变量的分析和预测带来很大方便。 7.1.1 VAR模型的一般形式1、非限制性 VAR 模型（高斯 VAR 模型） , 或简化式非限制性VAR 模型设12(.)tttktyyyy为一k维随机时间序列，p为滞后阶数，12(.)tttktuu uu为一k维随机扰动的时间序列，且有结构关系(1)(1)(1)(2)(2)(2)111111221111112122212()()()11112211(1)(1)(1)(2)(2)2211122212121122222.tttkktttkktppptptpkktpttttkktttyayayayayayayayayayuyayayayayay(2)22()()()21212222(1)(1)111.kktppptptpkktptktktkayayayayuyaya(1)(2)(2)(2)2211112122212()()()1122.tkkktkttkktpppktpktpkkktpktyayayayayayayayu1,2,.,tT（711）若引入矩阵符号，记精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - - ( )( )( )11121( )( )( )21222( )( )( )12.,1,2,.,.iiikiiikiiiikkkkaaaaaaAipaaa可写成1122.tttptptyA yA yA yu，1,2,.,tT（71 2）进一步，若引入滞后算子L，则又可表示成( ),1,2,.,ttA L yutT（7. 1. 3）其中 : 212( ).pkpA LIALA LA L, 为滞后算子多项式.如果模型满足的条件:参数阵0,0;pAp特征方程212det ( ).0pkpA LIALA LA L的根全在单位园外；(0,)tuiidN，1,2,.,tT，即tu相互独立，同服从以()0tE u为期望向量、ov()()tttCuE u u为方差协方差阵的k维正态分布。这时，tu是k维白噪声向量序列，由于tu没有结构性经济含义，也被称为冲击向量；()()0,1,2,.ttjttjCov u xE u xj，即tu与tx及各滞后期不相关。则称上述模型为非限制性VAR 模型（高斯 VAR 模型） , 或简化式 非限制性 VAR 模型。 2 、受限制性 VAR 模型，或简化式受限制性VAR 模型如果将12(.)tttktyyyy做为一k维内生的随机时间序列，受d维外生的时间序列12(.)tttdtxxxx影响（限制），则VAR 模型为1122.tttptpttyA yA yA yDxu，1,2,.,tT（714）或利用滞后算子表示成( ),1,2,.,tttA L yDxutT（7. 1. 5）其中：111212122212.ddkkkdddddddDddd此时称该模型为受限制性VAR 模型， 简化式 受限制性 VAR 模型。对于受限制性 VAR 模型，可通过12(.)tttktyyyy对12(.)tttdtxxxx作OLS 回归，得到残差估计?tttyyy%，从而将ty %变换成（ 15.1.2 ）或（）形式的非限制性VAR 模型，即1122.tttptptyA yA yA yu%，1,2,.,tT（716）( ),1,2,.,ttA L yutT%（7. 1. 7）这说明受限制性VAR 模型可化为非限制性VAR 模型。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 简化式非限制、受限制VAR 模型，皆简记为( )VAR p。 3 、结构式非限制性VAR 模型如果12(.)tttktyyyy中的每一分量受其它分量当期影响, 无d维外生的时间序列12(.)tttdtxxxx影响（限制） , 则模型化为01122.tttptptA yA yA yA yu，1,2,.,tT（71 8）或利用滞后算子表示成( ),1,2,.,ttA L yutT（7. 1. 9）其中：(0)(0)121(0)(0)2120(0)(0)121.1 .1kkkkaaaaAaa, 这时的2012( ).ppA LAALA LA L此时称该模型为结构式 非限制性 VAR 模型。如果0A可逆，既逆阵10A存在，则结构式非限制性VAR 模型可化为简化式非限制性VAR 模型111101102200.tttptptyAA yAA yAA yAu，1,2,.,tT（ 7110）或利用滞后算子表示成10( ),1,2,.,ttA L yAutT（7. 1. 11）这时，其中的112101020( ).ppA LIAALAA LAA L 4 、结构式受限制性VAR 模型如果将12(.)tttktyyyy做为一k维内生的随机时间序列，其中每一分量受其它分量当期影响, 且还受d维外生的时间序列12(.)tttdtxxxx影响（限制），则VAR 模型为01122.tttptpttA yA yA yA yDxu，1,2,.,tT（ 7112）或利用滞后算子表示成( ),1,2,.,tttA L yDxutT（7. 1. 13）此时称该模型为结构式受限制性VAR 模型。如果0A可逆，既逆阵10A存在，则结构式受限制性VAR 模型可化为简化式受限制性VAR 模型11111011022000.tttptpttyAA yAA yAA yADxAu，1,2,.,tT（7114）或利用滞后算子表示成1100( ),1,2,.,tttA L yADxAutT（7. 1. 15）这时，其中的112101020( ).ppA LIAALAA LAA L结构式非限制、受限制VAR 模型，皆简记为()SVAR p。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 7.1.2 简化式 VAR 模型的参数估计 VAR 模型参数估计 , 简化式 VAR 模型比较简单可采用Yule-Walker 估计、 OLS 估计、极大似然估计法等进行估计 , 且可获得具有良好统计性质的估计量。结构式VAR 模型参数估计比较复杂，可有两种途径：一种是化成简化式，直接估计简化式模型参数，然后再通过简化式模型参数与结构式模型参数的关系，求得结构式模型参数估计，但这存在一个问题是否可行，什么情况下可行，这与结构式模型的识别性有关。另一种途径是直接对结构式模型参数进行估计，但这也存在一个问题，上述方法不可应用，原因是每一方程含有众多内生的与扰动项相关变量，那么，如何估计？这也与结构式模型的识别性有关。对于简化式 VAR 模型（ 15.1.1 ）（），在冲击向量满足假设(0,)tuiidN，1,2,.,tT，即tu相互独立， 同服从以()0tE u为期望向量、ov()()tttCuE u u为方差协方差阵的k维正态分布。 这时，tu是k维白噪声向量序列的条件下，模型参数阵12,.,pAAA及也可采用 Yule-Walker估计、 OLS 估计、极大似然估计。设12(.)tttktyyyy,1,2,.,tT为长度为T的样本向量1、Yule-Walker 估计在T充分大时 , 首先估计自协方差阵1?/Thtththy yT (7.1.16)令011102120?.?.?.?.pppp,1122?,?pPAAAAMM则可得模型参数阵的Yule-Walker 估计 ( 矩估计 )为112?PAAAAM1011102120?.?.?.pppp12?,?pM（7.1.17 ）2、OLS估计模型参数阵12,.,pA AA的OLS 估计，即求使121111? ?(,.,)() ()minppTptjtjtjtjjpjjQ A AAyA yyA yT下的12? ?,.,pA AA作为12,.,pA AA估计。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 记1?/Thtthtpy yT (7.1.18)由此可推得112?PAAAAM1011102120?.?.?.pppp12?,?pM（7.1.19 ）由此可见 , 模型参数阵12,.,pA AA的OLS 估计 (7.1.15)与Yule-Walker 估计形式相同, 但式中的?h的计算不同 . 但是 , 当T充分大时 ,(7.1.16)与相差很小 , 这时与相差也很小, 这时二者的估计及估计量的性质等价。因此，在T充分大时 , 可直接采用 Yule-Walker估计比较简单方便。而的估计为011? ?TtttAAu uT（ 7.1.20 ）其中：1122?.ttttptpuyA yA yA y3、极大似然估计可证明 , 模型参数阵12,.,pA AA的极大似然估计与OLS 估计完全等价。除此之外，还有递推估计法（参见：马树才，经济时序分析，辽宁大学出版社，）,这里不在赘述。7.1.3 简化式 VAR 模型的预测在已知12,.ttyy时，对ty的一步线性预测1?(1)ty1122.ttptpAYA yA y（7.1.21 ）其一步预测误差为1?(1)ttttyyye%一步预测误差的方差阵为ttttEy yEe eS%的估计为101?(1)()piiikpSAT（7.1.22 ）在已知12,.ttyy时，如果利用模型参数的估计量12? ?,.,pA AA，对ty进行一步线性预测，则ty的实际一步线性预测为1? (1)ty1122?.ttptpAYA yA y（7.1.23 ）其一步预测误差为1? (1)tttyyy%111222?()().()ttpptptAA YAAyAAye一步预测误差的方差阵为ttttEy yEeeD%的估计为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 101?(1)(1)()piiikpkpDATT（7.1.24 ） 7.1.4 VAR模型阶数 p的确定VAR 模型的定阶是一个矛盾过程，阶数 p的确定，既不能太大，又不能太小，必须兼顾。因为，一方面，希望滞后阶数p要大一些，以便使模型能更好地反映出动态特征，但另一方面，又不希望太大，否则，阶数 p太大，会造成需要估计的模型参数过多，而使模型自由度减少。因此，在定阶时需要综合考虑，以既要有足够大的滞后项，又能有足够大的自由度为原则确定阶数。VAR 模型的定阶方法有多种：1、FPE 准则 ( 最小最终预测误差准则)FPE 准则 ( 最小最终预测误差准则) ，即利用一步预测误差方差进行定阶。因为，如果模型阶数合适，则模型对实际数据拟合优度必然会高，其一步预测误差方差也必然会小；反之，则相反。设给定时间序列向量长度为T的样本向量为12(.)tttktyyyy,1,2,.,tT， 则其一步预测误差方差阵的估计量为（7.1.24 ）式 , 它是一个kk阶阵 , 因此可定义其最终预测误差为01?()det(1) (1)det()pkkkiiikpkpFPEpDATT（7.1.25 ）显然 , ( )kFPEp是p的函数。所谓最小最终预测误差准则，就是分别取p=1，2, ， M, 来计算( )kFPEp, 使()minkFPEp值所对应的p, 为模型合适阶数。相应的模型参数估计12?,.,pA AA为最佳模型参数估计。其中，M 为预先选定的阶数上界, 一般取/10/ 5MTkTk之间 。在实际计算过程中，可如下判断：如果( )kFPEp的值，随着p从1开始逐渐增大就一直上升，则可判定p=1；如果( )kFPEp的值，随着p从1开始逐渐增大就一直下降，则可判定该随机时间序列不能用AR （p）模型来描述；如果( )kFPEp的值，在某一p值下降很快，而后又缓慢下降，则可判定该p值为所确定的阶数；如果( )kFPEp的值，随着p从1开始逐渐增大而上下剧烈跳动，难以找到最小值，这可能由于样本数据长度 T太小造成的，应增大样本长度，重新进行定阶、估计模型参数，建立模型。利用 FPE 信息准则还可以用来检验模型的建立是否可由部分分量，比如前()r rk个分量12.ttrtyyy，1,2,.,tT来进行，方法如下：记（ 7.1.21 ）式中的kk阶矩阵01?()piiiA的左上角r阶子方阵为01?()piir riA, 则前r个分量12.ttrtyyy，1,2,.,tT的最终预测误差为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 01?()det(1) (1)det()prrrriirrikpkpFPEpDATT（7.1.26 ）当rk时，（ 7.1.26 ）为式。如果，min( )min()rkFPEpFPEp，则可认为仅用前r个分量12.ttrtyyy，1,2,.,tT建立模型即可，没有必要采用k维随机时间序列12(.)tttktyyyy建立模型，因为从最小最终预测误差准则角度，用k维随机时间序列12(.)tttktyyyy建立模型比仅采前r个分量12.ttrtyyy，1,2,.,tT建立模型，带来拟合优度的显著改善；反之，则相反。2、AIC(Akaike Information Criterion)与SC （Bayes Information Criterion）信息准则AIC、SC 信息准则，也称最小信息准则，定义2 /2 /AICl Tn T，2 /ln/SCl TnT T（7.1.27 ）其中：?(1ln 2 )ln,22TkTln为模型需要估计参数个数，对（7.1.1 ）,2npk；对于()nk dpk；对于（2(1)npk；对于（），2()nk dpkk。所谓最小信息准则，就是分别取p=1，2, , 来计算 AIC或者 SC, 使 AIC或SCmin值所对应的p, 为模型合适阶数。相应的模型参数估计12? ?,.,pA AA为最佳模型参数估计。3、似然比检验法（Likelihood Ratio,LR检验）：由于(0,)tuiidN，1,2,.,tT，即tu相互独立，同服从以()0tE u为期望向量、ov()()tttCuE u u为方差协方差阵的k维正态分布。因此，记1212,tttPtpyyYAAAAyLM，则在给121,.,ttpyyy的条件下，12(.)tttktyyyy的条件分布为121,.,(,)tttpty yyyN AY于是，在给121,.,ttpyyy的条件下，12,.,Tyyy的联合分布密度，即似然函数为/2/21111( , )(2)exp()()2TTTktttttL AyAYyAY对数似然函数为1111ln( , )ln(2)ln()()222TtttttTkTL AyAYyAY将参数估计代入，则有1111?ln(, )ln(2)ln()222TtttTkTL Auu，又11? ?Ttttu uT精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 因此，有1?ln(, )ln(2)ln222TkTTkL A（7.1.28 ）现在，欲检验假设0:H样本数据是由滞后阶数为p的VAR 模型生成；1:H样本数据是由滞后阶数为1p的VAR 模型生成取似然比统计量为1111?2ln( ,)ln(,)(lnln)ppppLRL AL AT:22()k分布（7.1.29 ）在给定的显著性水平下，当22()LRk，则拒绝0H，表明增加滞后阶数，可显著增大似然函数值；否则，则相反。LR检验在小样本下，可取似然比统计量为111?()(lnln)ppLRTm:22()k分布（7.1.30 ）其中 ,mdkp. 7.1.5 VAR模型的 Granger 因果关系检验VAR 模型的另一重要应用是可用来检验一个变量与另一变量间是否存在Granger 因果关系，这也是建立VAR 模型所需要的。1、 Granger 因果关系的涵义设12()tttyyy为一2维随机时间序列，如果在给定12ttyy、的滞后值下1ty的条件分布与仅在给定的1ty的滞后值下1ty的条件分布相同，即11112121222111121(,.,.,)(,.,)ttttptttpttttpf yyyyyyyf yyyy则称2ty对1ty存在Granger 非因果性关系，否则，2ty对1ty存在 Granger 因果性关系。Granger 因果性关系涵义的另一表述：在其条件不变下，如果加上2ty的滞后值，并不对只由1ty的滞后值下对1ty进行预测有显著改善，则称2ty对1ty存在Granger 非因果性关系， 否则，2ty对1ty存在 Granger因果性关系。2、 Granger 因果关系检验设12()tttyyy为一2维随机时间序列，p为滞后阶数，12()tttuuu为一2维随机扰动的时间序列，则有 2元VAR 模型为(1)(1)(2)(2)()( )111111221111212221111221(1)(1)(2)(2)()()221112221211222222121222.ppttttttptptppttttttptptyayayayayayayuyayayayayayayu1,2,.,tT（7131）显然，欲检验2ty对1ty是否存在 Granger 非因果性关系，等价地，检验假设0:H(1)(2)()121212.0paaa；1:H(1)(2)()121212,.paaa中至少有一个不为0。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 其用于检验的统计量为11212,()/( ,21)/(21)yyyy ySSRSSRpFF p TpSSRTp（7132）其中，12,yySSR为模型（ 7.1.31 ）中第 1方程残差平方和, 1ySSR为模型（）中第1方程去掉2y各期滞后项后拟合残差平方和。在给定的显著性水平下，当( ,21)FFp Tp时，拒绝0H。如果模型（ 7131）满足(0,)tuiidN，1,2,.,tT，即tu相互独立，同服从以()0tE u为期望向量、ov()()tttCuE u u为方差协方差阵的k维正态分布条件，则也可采用如下统计量进行检验11212,22,()( )yyyy yT SSRSSRpSSR（7 133）在给定的显著性水平下，当22()p时，拒绝0H，上述Granger 因果性关系检验，可推广到对任意k维VAR 模型以及 SVAR 模型中的某一或某几个随机时间序列（包括内生、外生变量）是否对另一时间序列具有Granger 因果性的检验上去。 VAR（p）模型的脉冲响应函数与方差分解在实际应用中，由于通常所设定的VAR 模型都是非经济理论性的简化式模型，出它无需对变量作任何先验性约束，因此，在分析应用中，往往并不利用VAR 模型去分析某一变量的变化对另一变量的影响如何，而是分析 当某一扰动项发生变化，或者说模型受到某种冲击时，对系统的动态影响，这钟分析方法称为脉冲响应函数方法（Impulse Response Function,IRF）。 7.2.1 脉冲响应函数基本思想对VAR 模型采用脉冲响应函数分析扰动项发生变化，或者说模型受到某种冲击时，对系统的动态影响，就是分析 扰动项发生变化是如何传播到各变量的。设12()tttyyy为一2维随机时间序列，滞后阶数p=2，12()tttuuu为一2维随机扰动的时间序列，则有 2元VAR 模型为(1)(1)(2)(2)111111221111212221(1)(1)(2)(2)221112221211222222ttttttttttttyayayayayuyayayayayu1,2,.,tT（721）扰动项满足白噪声假设条件，即精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - - ()0,1,2,.,tE utT；()(),1,2,.,tttijCov uE u utT；(,)()0(), ,1,2,.,tstsCov u uE u uts t sT现在假设上述 VAR 模型系统从0t时期开始运行，并设1, 11, 22, 12, 20yyyy，在0t时给定扰动项102010,uu、并且其后120,(1,2,.)ttuut，即在0t时给定1ty一脉冲，我们来讨论12ttyy、的响应。由于102010,uu、由（721），在0t时，于是有，1,02,010yy、；将上述结果再代入（721），在1t时，于是有，(1)(1)1,12,121yaya11、；再将上述结果代入（1521），在t2时，于是有，(1)(1)(2)(1)(1)(1)(1)(2)(1)1,21211212,22111222121(,yaaaayaaaaa211)如此下去，可求得结果1,01,11,21,3,.yyyy，称此结果为由1y的冲脉冲引起的1ty的响应函数；所求得的2,02,12,22,3,.yyyy，称为由1y的冲脉冲引起的2ty的响应函数。反过来，也可求得在0t时，给定扰动项102001,uu、并且其后120,(1,2,.)ttuut，即在0t给定2ty一脉冲时，由2y的冲脉冲引起的1ty、2ty的响应函数。7.2.2 VAR模型的脉冲响应函数假设有 VAR(p)模型1122.tttptptyA yA yA yu，1,2,.,tT（7 22）引入滞后算子B，表示成( ),1,2,.,ttA L yutT（7.2. 3）其中 : 212( ).pkpA LIALA LA L, 为滞后算子多项式.在满足特征方程212det ( ).0pkpA LIALA LA L的根全在单位园外条件下，则VAR(p)是可逆的，即可将ty表示成白噪声tu滑动和形式( )ttyC L u（7.2. 4）其中：120120()( ).,(kC LA LCC LC LCIk阶单位阵）（7.2. 4）中第i方程为(0)(1)(2)121(.),1,2,.kitijjtijjtijjtjycucucutT（7. 2. 5）当2k时, (7.2.4)为(0)(0)(1)(1)(2)(2)111112111211121112(0)(0)(1)(1)(2)(2)222122212221222122.ttttttttyuuuccccccyuuucccccc1,2,.,tT（726）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 现在假定在基期给1y一个单位脉冲 , 即11,00,0ttut而20,0,1,2,.tut则可求得由1y的脉冲引起2y的响应函数为：(0)2021(1)2121(2)22210,1,2,tyctyctycM由此可看出，对于（7.2. 4）式的一般情形，由jy的脉冲引起iy的响应函数 为：(0)0(1)1(2)20,1,2,iijiijiijtyctyctycM由jy的脉冲引起iy的累积响应函数为：()0qijqc由（ 7. 2. 4）式 , 其中的qC中的第i行、第j列元素可表示为( )/,0,1,2,.;1,2,.,qijitqjtcyuqtT（7. 2. 7）作为q的函数，它描述了在时期t，其他变量和早期变量不变的情况下，itqy对jty的一个冲击的反应，称为脉冲响应函数。用矩阵可表示为qC=/tqtyu（7. 2. 8）即qC中的第i行、第j列元素等于时期t的第j变量扰动项增加一个单位，其它时期扰动项为常数时，对时期tq的第i个变量值的影响。723 方差分解VAR 模型的脉冲响应函数是用来描述VAR 模型中一个内生变量的冲击给其它内生变量所带来的影响的，它是随时间的推移，观察模型中各变量对于冲击是如何反应的。而方差分解是要通过分析每一结构冲击对内生变量变化（通常用方差来度量）的贡献度，进一步 评价不同结构冲击的重要性的，与脉冲响应函数相比，方差分解是一种比较粗糙的把握变量间关系的方法，它给出的是对VAR 模型中的变量产生影响的每个扰动项的相对重要信息。方差分解的基本思想是：由（ 7. 2. 5）式(0)(1)(2)121(.),1,2,.,;1,2,.kitijjtijjtijjtjycucucuik tT（7. 2. 9）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 可知，左边括号内为是第j扰动项ju从过去无限远至现在时点对第i内生变量iy影响的总和。在()0jE u，ju无序列相关的假设下，对其求方差，可得(0)(1)(2)2()2120(.)(),1,2,.,qijjtijjtijjtijjjqE cucucuci jk（7. 2. 10）它是把第j扰动项ju从过去无限远至现在时点对第i内生变量iy影响总和，用方差加以评价的结果。如果ov()()tttCuE u u为对角阵，则ity的方差为()210()(),1,2,., ;1,2,.,kqitijjjjqVar ycjktT（7. 2. 11）由此可知，ity的方差可分解成k个不相关的()20()qijjjqc（1,2,.,jk）的影响。由此，可测定出各个扰动项对ity方差的相对方差贡献率为()2( )200( )210()()()()()qqijjjijjjqqkjiqitijjjjqccRVCVar yc（7. 2. 12）,1,2,.,i jk在实际应用计算中，不可能从过去无限远的( )qijc来评价。 在模型满足平稳性条件下，由于( )qijc随着q的增大是按几何级数衰减的，故只要取前s有限项计算即可。其近似相对方差贡献率为1( )201( )210()( )()sqijjjqksjiqijjjjqcRVCsc，,1,2,.,i jk（7. 2. 13）( )JIRVCs有如下性质：0( )1jiRVCs（7. 2. 14）1( )1,1,2,.,kjijRVCsik（ 7. 2. 15）如果( )JIRVCs大，则意味着第j变量（第j扰动项）对第i变量iy影响大，反之，则相反。 Johansen 协整检验与向量误差修正模型(VEC)前面我们已经介绍了单方程的协整检验与误差修正模型。且其协整检验方法是以回归模型为基础的基于回归残差序列的ADF 检验法进行检验的。现在我们把它推广到VAR 模型上去，并给出以VAR 模型为基础基于回归系数的协整检验方法。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 在单方程协整检验中，由于是基于回归残差序列进行，故在第一阶段需要采用OLS 进行回归分析，应用很不方便。为此，Johansen（1988）及 Juselius(1990)提出了一个 以VAR 模型为基础的基于回归系数的特别适合于多变量的协整检验法。731 Johansen 协整检验 1 、协整定义 ：设12(,.,)tttktyyyy为一k维随机时间序列，t1,2,., T，如果( ),tyI d且每一( )ityI d，1,2,.,ik存在非零向量=12(,.,)k，使(),0tyI dbbd则称ty为协整，记为( , )tyCI d b，为协整向量。若ty为协整，则最多存在1k个线性无关的协整向量。即若记由ty的所有协整向量组成的矩阵为A，则A秩，0()1rant Ark。例如，k=2，12(,)tttyyy，12,(1)ttyyI，若有1c使112(0)ttyc yI，按照上述，最多存在1211k个线性无关的协整向量，则协整向量11(1),)cc唯一。因为若有2122(0),ttcyc YI也使得则112ttyc y（）-122212)(0)tttyc YccyI（）（这与已知2(1)tyI矛盾，故12cc，即11(1),)cc唯一。2、Johansen协整检验基本思想设12(,.,)tttktyyyy为一k维随机时间序列，t1,2,., T，且(1),tyI即每一(1)ityI，1,2,.,ik，受d维外生的时间序列12(.)tttdtxxxx影响（限制），则首先可建立VAR 模型1122.tttptpttyA yA yA yDxu，1,2,.,tT（731）将上式进行差分变换，也称为协整变换，可写成111pttitittiyyyDxu（732）其中，11,ppiijij iAIA（733）在（732）中，由于(1),tyI所以(0)tyI、(0),0,1,.,tjyIjp，11(0)pitiiyI因此，只要1(0),tyI则11211,.,ttktyyy，亦即12,.,ttktyyy之间具有协整关系，而11211,.,ttktyyy之间是否具有协整关系取决于kk阶矩阵的秩()rank。因为，与模型全部参数阵12,.,pAAA有关，故称为压缩矩阵（影响矩阵）。设()rankr，则r有3种情况：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 如果rk，这意味着是一列满秩阵，则只有当11211,.,ttktyyy(0)I时，才能保证1 (0),tyI但这与已知(1)tyI相矛盾，故,rk 只能有 rk.如果0r，则0,由（ 732），这时用不着讨论11211,.,ttktyyy之间是否具有有协整关系。除上述两种极端情形外，一般情况是：如果0rk，这意味着12,.,ttktyyy中一定存在r个协整关系（协整组合），其余kr个关系仍然为(1)I关系。在这种情况下，可将分解成两个kr阶阵、的乘积且()rankr、()rankr。将其代入到（ 742）式中，有111pttitittiyyyDxu（734）上式要求，1ty (0)I向量，其每一行都是(0)I变量，即12(.)r的每一列都是一协整向量，所以决定了11211,.,ttktyyy之间协整向量的个数和形式，故称称为协整向量阵，r为协整向量个数。的每一行是出现在上述每一方程中的r个协整组合的一组权数，故称为调整参数阵，或修正参数阵。显然，在(1)tyI假定条件下，最大可能1rk，这就是对于k维向量12(,.,)tttktyyyy最大可能存在1k个线性无关的协整向量的道理。根据上述分析，可知欲检验12(,.,)tttktyyyy是否具有协整关系，就转化为对矩阵的秩数的检验，由于()rank=的非零特征根的个数，因此，就可以通过检验的非零特征根的个数，来检验()rank，从而来判定12(,.,)tttktyyyy是否具有协整关系。这就是Johansen协整检验的基本思想。3、 Johansen 协整检验现在假设的k个特征根为12.k。Johansen协整检验有两种方法： 1 、特征根迹检验（trace 检验）由于r个最大特征根可得到r个协整向量，而对于其余kr个非协整组合而言，应该有12.0rrk，因此，检验()rank是否等于r，等价地检验假设0111:0,0;:0,0,1,2,.,1rrrrrHHrk可用于检验的特征根迹统计量为1ln(1),0,1,2,.,1krii rTrk（73 5）具体显著性检验程序如下：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 当0某一显著性水平下的Johansen分布临界值， 即不显著时， 接受00(0)Hr，表明有k个特征根， 0个协整向量，即12(,.,)tttktyyyy不存在协整关系。当0某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即显著时，拒绝00(0)Hr，表明至少有1协整向量。这时必须接着检验1。当1某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即不显著时，接受10(1)Hr，表明只有 1个协整向量。依次进行下去， 直到接受0rH，说明存在r个协整向量时为止。这时， 这r个协整向量就是最大的r个特征根所对应的经过正规化的特征向量。显然整个检验过程应该是序贯进行的，整个序贯检验过程如下：当0某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即不显著时，接受00(0)Hr，表明只有 0个协整向量（即不存在协整关系）。当0某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即显著时，拒绝00(0)Hr，表明至少有1协整向量。这时必须接着检验1。当1某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即不显著时，接受10(1)Hr，表明只有 1个协整向量。当1某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即显著时，拒绝10(1)Hr，表明只少 2个协整向量。M当r某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即不显著时，接受0rH，表明只有r个协整向量。2、最大特征根检验由于r个最大特征根可得到r个协整向量，而对于其余kr个非协整组合而言，应该有12.0rrk，因此，最大特征根检验用于检验假设0111:0;:0,0,1,2,.,1rrrrHHrk用于检验的最大特征根检验的统计量为1ln(1),0,1,2,.,1rrTrk（