空间向量练习题.doc

. .1假设A0，2，B1，1，C2，1，是平面内的三点，设平面的法向量=x，y，z，那么x：y：z=A2：3：4B1：1：1C：1：1D3：2：42假设=1，2，2是平面的一个法向量，那么以下向量能作为平面法向量的是A1，2，0B0，2，2C2，4，4D2，4，43平面的法向量为=2，2，4，=3，1，2，点A不在内，那么直线AB与平面的位置关系为AABBABCAB与相交不垂直DAB4假设平面、的法向量分别为=2，3，5，=3，1，4，那么ABC、相交但不垂直D以上均不正确5平面的法向量为1，0，1，平面的法向量为0，1，1，那么平面与平面所成二面角的大小为6如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACAB，AB=2AA1，M是AB的中点，A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点1假设DE平面A1MC1，求；2求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值7在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且COABB1A1平面1证明：BCAB1；2假设OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABC=90°，AB=4，AA1=6，点M时BB1中点1求证；平面A1MC平面AA1C1C；2求点A到平面A1MC的距离9如图，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ABCD，BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM证明：BM平面PAD；假设AD=2，PD=3，求点D到平面PBC的距离10如图，平面QBC与直线PA均垂直于RtABC所在平面，且PA=AB=AC求证：PA平面QBC；PQ平面QBC，求二面角QPBA的余弦值11如下图，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F证明：EFB1C；求二面角EA1DB1的余弦值12如图，正方体ABCDA1B1C1D1，边长为1，E为CC1上一点，且EC=1证明：B1D1平面BDE；2求二面角EBDC大小；3证明：平面ACC1A1平面BDE13如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1=2，ABC=45°1求直三棱柱ABCA1B1C1的体积；2假设D是AC的中点，求异面直线BD与A1C所成的角14如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，1证明：BC1面A1B1CD；2求直线A1B和平面A1B1CD所成的角15如图，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，ACDGEF且DA=DE=DG=2，AC=EF=1求证：四点B、C、G、F共面；求二面角DBCF的大小16如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，ABC=1证明：ABA1C；2求二面角AA1CB的正弦值17如图，在四棱锥OABCD中，OA底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA=2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点证明：DN平面OAQ；求点B到平面DMN的距离18如图，在棱长AB=AD=2，AA1=3的长方体ABCDA1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1内动点，点F是CD的中点试确定E的位置，使D1E平面AB1F；求平面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小19如图，边长为1的正三角形SAB所在平面与直角梯形ABCD所在平面垂直，且ABCD，BCAB，BC=1，CD=2，E、F分别是线段SD、CD的中点I求证：平面AEF平面SBC；求二面角SACF的大小20如图，在三棱锥DABC中，ADC，ACB均为等腰直角三角形AD=CD=，ADC=ACB=90°，M为线段AB的中点，侧面ADC底面ABC求证：BC平面ACD；求异面直线BD与CM所成角的余弦值；求二面角ACDM的余弦值21如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=6，PD=3，E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点求证：ACDE；求EF与平面PAB所成角的正弦值22如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和A1B1的中点1求异面直线AE和BF所成角的余弦值；2求平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值23正四棱柱ABCDA1B1C1D1AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点1证明EF为BD1与CC1的公垂线；2求点D1到面BDE的距离24如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E为A1B1的中点在求证：AE平面BCE；II求二面角DBEC的余弦值1假设A0，2，B1，1，C2，1，是平面内的三点，设平面的法向量=x，y，z，那么x：y：z=A2：3：4B1：1：1C：1：1D3：2：4选A2假设=1，2，2是平面的一个法向量，那么以下向量能作为平面法向量的是A1，2，0B0，2，2C2，4，4D2，4，4选C3平面的法向量为=2，2，4，=3，1，2，点A不在内，那么直线AB与平面的位置关系为AABBABCAB与相交不垂直DAB选：D4假设平面、的法向量分别为=2，3，5，=3，1，4，那么ABC、相交但不垂直D以上均不正确选；C5平面的法向量为1，0，1，平面的法向量为0，1，1，那么平面与平面所成二面角的大小为或解：设平面的法向量为=1，0，1，平面的法向量为=0，1，1，那么cos，=，=平面与平面所成的角与，相等或互补，与所成的角为或6如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACAB，AB=2AA1，M是AB的中点，A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点1假设DE平面A1MC1，求；2求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值解：1取BC中点N，连结MN，C1N，1分M，N分别为AB，CB中点MNACA1C1，A1，M，N，C1四点共面，且平面BCC1B1平面A1MNC1=C1N，又DE平面BCC1B1，且DE平面A1MC1，DEC1N，D为CC1的中点，E是的中点，2连结B1M，因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，AA1平面ABC，AA1AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，M是AB的中点，B1MA1M，又A1C1平面ABB1A1，A1C1B1M，从而B1M平面A1MC1，MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，B1C1与平面A1MC1所成的角为B1C1M，又B1C1BC，直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角10分设AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形，那么MC1=2，cos=，直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为12分7在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且COABB1A1平面1证明：BCAB1；2假设OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值【解答】I证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=2，AA1=2，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tanAB1B=，在直角三角形ABD中，tanABD=，所以AB1B=ABD，又BAB1+AB1B=90°，BAB1+ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故BOA=90°，即BDAB1，又因为CO侧面ABB1A1，AB1侧面ABB1A1，所以COAB1所以，AB1面BCD，因为BC面BCD，所以BCAB1解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，那么A0，0，B，0，0，C0，0，B10，0，D，0，0，又因为=2，所以所以=，0，=0，=，=，0，设平面ABC的法向量为=x，y，z，那么根据可得=1，是平面ABC的一个法向量，设直线CD与平面ABC所成角为，那么sin=，所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为12分8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABC=90°，AB=4，AA1=6，点M时BB1中点1求证；平面A1MC平面AA1C1C；2求点A到平面A1MC的距离【解答】证明：1以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意A10，4，6，M0，0，3，C4，0，0，A0，4，0，=0，4，3，=4，0，3，=0，0，6，=4，4，0，设平面A1MC的法向量为=x，y，z，那么，取x=3，得=3，3，4，设平面AA1C1C的法向量=a，b，c，那么，取a=1，得=1，1，0，=0，平面A1MC平面AA1C1C解：2=0，0，6，平面A1MC的法向量=3，3，4，点A到平面A1MC的距离：d=9如图，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ABCD，BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM证明：BM平面PAD；假设AD=2，PD=3，求点D到平面PBC的距离【解答】证明：1过M作MOCD，交CD于O，连结BO，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ABCD，BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM，MOPD，OD=，ODAB，ADBO，ADPD=D，BOMO=O，AD、PD平面ADP，BO、MO平面BOM，平面ADP平面BOM，BM平面BOM，BM平面PAD解：2AD=2，PD=3，ABCD，BAD=，AB=1，CD=3，BD=，BD2+AB2=AD2，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，B，1，0，P0，0，3，C0，3，0，D0，0，0，=，=，=0，3，3，设平面PBC的法向量=x，y，z，那么，取x=2，得=2，3，3，点D到平面PBC的距离d=10图，平面QBC与直线PA均垂直于RtABC所在平面，且PA=AB=AC求证：PA平面QBC；PQ平面QBC，求二面角QPBA的余弦值解：I证明：过点Q作QDBC于点D，平面QBC平面ABC，QD平面ABC，又PA平面ABC，QDPA，又QD平面QBC，PA平面QBC，PA平面QBC方法一：PQ平面QBC，PQB=PQC=90°，又PB=PC，PQ=PQ，PQBPQC，BQ=CQ点D是BC的中点，连接AD，那么ADBC，AD平面QBC，PQAD，ADQD，四边形PADQ是矩形设PA=2a，PB=2a，过Q作QRPB于点R，QR=，=，取PB中点M，连接AM，取PA的中点N，连接RN，PR=，MARNPA=AB，AMPB，RNPBQRN为二面角QPBA的平面角连接QN，那么QN=又，cosQRN=即二面角QPBA的余弦值为方法二：PQ平面QBC，PQB=PQC=90°，又PB=PC，PQ=PQ，PQBPQC，BQ=CQ点D是BC的中点，连AD，那么ADBCAD平面QBC，PQAD，ADQD，四边形PADQ是矩形分别以AC、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系Oxyz不妨设PA=2，那么Q1，1，2，B0，2，0，P0，0，2，设平面QPB的法向量为=1，1，0，=0，2，2令x=1，那么y=z=1又平面PAB的法向量为设二面角QPBA为，那么|cos|=又二面角QPBA是钝角11如下图，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F证明：EFB1C；求二面角EA1DB1的余弦值【解答】证明：B1C=A1D且A1B1=CD，四边形A1B1CD为平行四边形，B1CA1D，又B1C平面A1EFD，B1C平面A1EFD，又平面A1EFD平面B1CD1=EF，EFB1C；解：以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Axyz如图，设边长为2，AD1平面A1B1CD，=0，2，2为平面A1B1CD的一个法向量，设平面A1EFD的一个法向量为=x，y，z，又=0，2，2，=1，1，0，取y=1，得=1，1，1，cos，=，二面角EA1DB1的余弦值为12如图，正方体ABCDA1B1C1D1，边长为1，E为CC1上一点，且EC=1证明：B1D1平面BDE；2求二面角EBDC大小；3证明：平面ACC1A1平面BDE【解答】1证明：在正方体ABCDA1B1C1D1，DD1BB1且DD1=BB1那么：四边形DD1B1B是平行四边形BDB1D1B1D1平面BDE，BD平面BDE，所以：B1D1平面BDE2连接AC和BD交于点O，连接OE，所以：ACDB，又EC平面ABCD，DB平面ABCD所以：BD平面COE那么：OEBD那么：EOC是二面角EBDC的平面角由于正方体的边长为1，EC=，解得：那么：tanEOC=1那么：EOC=45°即二面角EBDC大小为45°3在正方体中，A1A平面ABCD，ACBD，那么：BD平面A1ACC1BD平面BDE所以：平面ACC1A1平面BDE13如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1=2，ABC=45°1求直三棱柱ABCA1B1C1的体积；2假设D是AC的中点，求异面直线BD与A1C所成的角解：1AB=AC=2，ABC=45°，BAC=90°，又AA1=2，直三棱柱ABCA1B1C1的体积V=SABC×AA1=2×2=4直三棱柱ABCA1B1C1的体积为42取AA1的中点M，连接DM，BM，D是AC的中点，DMA1C，BDM是异面直线BD与A1C所成的角在BDM中，即异面直线BD与A1C所成的角为142021秋XX期中如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，1证明：BC1面A1B1CD；2求直线A1B和平面A1B1CD所成的角解：1连接B1C交BC1于点O，连接A1O在正方体ABCDA1B1C1D1中因为A1B1平面BCC1B1所以A1B1BC1又BC1B1C，又BC1B1C=OBC1平面A1B1CD 2因为BC1平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角设正方体的棱长为a在RTA1BO中，A1B=a，BO=a，所以BO=A1B，BA1O=30°，即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°15如图，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，ACDGEF且DA=DE=DG=2，AC=EF=1求证：四点B、C、G、F共面；求二面角DBCF的大小【解答】证明：取DG的中点M，连接AM，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，ACDGEF且DA=DE=DG=2，AC=EF=1BFAM，AMCG，BFCG，四点B、C、G、F共面以DE为x轴，以DG为y轴，以DA为z轴，建立空间直角坐标系，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，ACDGEF且DA=DE=DG=2，AC=EF=1D0，0，0，B2，0，2，C0，1，2F2，1，0，设平面DBC的法向量，那么，解得=1，2，1，设平面FBC的法向量，那么，解得=1，2，1，设二面角DBCF的平面角为，那么cos=|cos，|=|=二面角DBCF的大小为arccos16如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，ABC=1证明：ABA1C；2求二面角AA1CB的正弦值解：1证明：在ABC中，由正弦定理可求得ABAC以A为原点，分别以AB、AC、AA1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图那么A0，0，0B2，0，0即ABA1C2由1知设二面角AA1CB的平面角为，=17如图，在四棱锥OABCD中，OA底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA=2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点证明：DN平面OAQ；求点B到平面DMN的距离解：由题意，可知AO，AB，AD两两垂直，于是可如图建立空间直角坐标系，从而可得以下各点的坐标：A0，0，0，B2，0，0，D0，2，0，O0，0，2，M0，0，1，N2，1，0，Q1，2，0，即AQDN又知OADN，DN平面OAQ设平面DMN的法向量为，由得即，令x=1，得平面DMN的法向量，点B到平面DMN的距离18如图，在棱长AB=AD=2，AA1=3的长方体ABCDA1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1内动点，点F是CD的中点试确定E的位置，使D1E平面AB1F；求平面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小解：以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，A0，0，0，F1，2，0，B12，0，3，D10，2，3，设E2，y，z，那么，4分由D1E平面AB1FE2，1， 为所求 6分方法一：当D1E平面AB1F时，=，又是平面A1AB1的法向量，且8分面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小12分方法二：取AB的中点G，可证：FG平面ABB1A1，过点G作GHAB1于H点，连接FH，那么FHAB1，所以GHF为所求二面角的平面角9分在GHF中，FG=2，FH面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小12分19如图，边长为1的正三角形SAB所在平面与直角梯形ABCD所在平面垂直，且ABCD，BCAB，BC=1，CD=2，E、F分别是线段SD、CD的中点I求证：平面AEF平面SBC；求二面角SACF的大小【解答】证明：fF别是CD的中点，FC=CD=1又AB=1，所以FC=ABFCAB，四边形ABCF四边形AFBCE是SD的中点EFSC又AFEF=F，BCSC=C平面AEF平面SBC解：II取AB的中点O，连接SO，SOSAB，以O为原点，建立如下图的空间坐标系Oxyz那么有A0，0，C1，0，S0，0，F1，0，=1，1，0，=0，7分设平面SAC的法向量为=x，y，z，由，即取x=1，得=1，1，平面FAC的法向量为=0，0，110分cosm，n=而二面角二面角SACF的大小为钝角，二面角二面角SACF的大小为arccos20如图，在三棱锥DABC中，ADC，ACB均为等腰直角三角形AD=CD=，ADC=ACB=90°，M为线段AB的中点，侧面ADC底面ABC求证：BC平面ACD；求异面直线BD与CM所成角的余弦值；求二面角ACDM的余弦值解：证明：因为ACBC，平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABC=AC，BC平面ABC，所以BC平面ACD取AC的中点为O，连接DO，OM建立空间直角坐标系Oxyz如下图那么A1，0，0，C1，0，0，D0，0，1，B1，2，0，M0，1，0，所以异面直线BD与CM所成角的余弦值为平面ACD的法向量为，设平面MCD的法向量为，由，得，取x=1，得y=z=1，所以所以，二面角ACDM的余弦值为21如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=6，PD=3，E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点求证：ACDE；求EF与平面PAB所成角的正弦值【解答】证明：PD面ABCD，AC面ABCDPDAC四边形ABCD是菱形，BDAC又PDBD=D，PD，BD面PBDAC面PBD又DE面PBDACDE 以点O为坐标原点，OB、OC所在的直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，那么AC=6，BD=6，PD=3，E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点P3，0，3，A0，3，0，B3，0，0，C0，3，0，=2，0，=1，0，=+=1，设平面PAB的法向量=x，y，z，由=3，3，3，=6，0，3得，即令z=2，那么=，2那么EF与平面PAB所成角满足sin=，即为EF与平面PAB所成角的正弦值8分22如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和A1B1的中点1求异面直线AE和BF所成角的余弦值；2求平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值解：以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，那么A0，0，0，B2，0，0，E0，1，2，F1，0，2，C12，2，21那么=0，1，2，=1，0，2设异面直线AE和BF所成角为那么cos=即异面直线AE和BF所成角的余弦值为2=2，0，0为平面BDD1的一个法向量，设向量为平面BFC1的一个法向量那么，即令z=1，那么向量为平面BFC1的一个法向量cos=sin=平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值为23正四棱柱ABCDA1B1C1D1AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点1证明EF为BD1与CC1的公垂线；2求点D1到面BDE的距离解：1取BD中点M连接MC，FMF为BD1中点，FMD1D且FM=D1D又ECCC1且ECMC，四边形EFMC是矩形EFCC1又FM面DBD1EF面DBD1BD1面DBD1EFBD1故EF为BD1与CC1的公垂线解：连接ED1，有VEDBD1=VD1DBE由知EF面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d那么AA1=2，AB=1，故点D1到平面DBE的距离为24如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E为A1B1的中点在求证：AE平面BCE；II求二面角DBEC的余弦值解：证明：在长方体ABCDA1B1C1D1中，BC侧面ABB1A1，AE侧面ABB1A1，AEBC，在ABE中，AB=2a，a，那么有AB2=AE2+BE2，AEB=90°，AEEB，又BCEB=BAE平面BCE6分II以点D为坐标原点，建立如下图的坐标系Dxyz那么D0，0，0，B2a，a，0，Ea，a，a，A0，a，0，=a，a，a，设平面BDE的法向量为，那么由=0，得，令x=1，得，又由IAE平面BCE，=a，0，a为平面BCE的法向量，cos即所求二面角DBEC的余弦值为. 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