2022届高考数学总复习教学案函数的奇偶性及周期性.docx
第四节函数的奇偶性及周期性知识能否忆起一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二、周期性1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期小题能否全取1(2022·广东高考)以下函数为偶函数的是()Aysin xByx3CyexDyln 解析：选D四个选项中的函数的定义域都是R.ysin x为奇函数幂函数yx3也为奇函数指数函数yex为非奇非偶函数令f(x)ln ，得f(x)ln ln f(x)所以yln为偶函数2f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab 的值是()AB.C.D解析：选Bf(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.3(教材习题改编)定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，那么f(8)的值为()A1 B0C1 D2解析：选Bf(x)为奇函数且f(x4)f(x)，f(0)0，T4.f(8)f(0)0.4假设函数f(x)x2|xa|为偶函数，那么实数a_.解析：法一：f(x)f(x)对于xR恒成立，|xa|xa|对于xR恒成立，两边平方整理得ax0，对于xR恒成立，故a0.法二：由f(1)f(1)，得|a1|a1|，故a0.答案：05(2022·广东高考)设函数f(x)x3cos x1.假设f(a)11，那么f(a)_.解析：观察可知，yx3cos x为奇函数，且f(a)a3cos a111，故a3cos a10.那么f(a)a3cos a11019.答案：91.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；(3)假设奇函数f(x)在x0处有定义，那么f(0)0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反2假设函数满足f(xT)f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(nZ且n0)也是函数的周期函数奇偶性的判断典题导入例1(2022·福州质检)设Q为有理数集，函数f(x)g(x)，那么函数h(x)f(x)·g(x)()A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数也是偶函数D既不是偶函数也不是奇函数自主解答当xQ时，xQ，f(x)f(x)1；当xRQ时，xRQ，f(x)f(x)1.综上，对任意xR，都有f(x)f(x)，故函数f(x)为偶函数g(x)g(x)，函数g(x)为奇函数h(x)f(x)·g(x)f(x)·g(x)f(x)g(x)h(x)，函数h(x)f(x)·g(x)是奇函数h(1)f(1)·g(1)，h(1)f(1)·g(1)1×，h(1)h(1)，函数h(x)不是偶函数答案A由题悟法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否那么要举出反例)注意判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性以题试法1判断以下函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)3x3x；(3)f(x)；(4)f(x)解：(1)由得x±1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)±f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)f(x)的定义域为R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数(3)由得2x2且x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x<0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(0)0，也满足f(x)f(x)故该函数为奇函数函数奇偶性的应用典题导入例2(1)(2022·上海高考)yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.假设g(x)f(x)2，那么g(1)_.(2)(2022·烟台调研)设偶函数f(x)在(0，)上为减函数，且f(2)0，那么不等式>0的解集为()A(2,0)(2，)B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(0,2)自主解答(1)yf(x)x2是奇函数，且x1时，y2，当x1时，y2，即f(1)(1)22，得f(1)3，所以g(1)f(1)21.(2)f(x)为偶函数，>0.xf(x)>0.或又f(2)f(2)0，f(x)在(0，)上为减函数，故x(0,2)或x(，2)答案(1)1(2)B本例(2)的条件不变，假设n2且nN*，试比较f(n)，f(1n)，f(n1)，f(n1)的大小解：f(x)为偶函数，所以f(n)f(n)，f(1n)f(n1)又函数yf(x)在(0，)为减函数，且0<n1<n<n1，f(n1)<f(n)<f(n1)f(n1)<f(n)<f(n1)f(1n)由题悟法函数奇偶性的应用(1)函数的奇偶性求函数的解析式利用奇偶性构造关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式(2)带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法：利用f(x)±f(x)0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反以题试法2(1)(2022·徐州模拟)函数f(x)为奇函数，那么ab_.(2)定义在R上的奇函数满足f(x)x22x(x0)，假设f(3a2)>f(2a)，那么实数a的取值范围是_解析：(1)当x<0时，那么x>0，所以f(x)x2x，f(x)ax2bx，而f(x)f(x)，即x2xax2bx，所以a1，b1，故ab0.(2)因为f(x)x22x在0，)上是增函数，又因为f(x)是R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，要使f(3a2)>f(2a)，只需3a2>2a，解得3<a<1.答案：(1)0(2)(3,1)函数的周期性及其应用典题导入例3(2022·浙江高考)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x0,1时，f(x)x1，那么f_.自主解答依题意得，f(2x)f(x)，f(x)f(x)，那么fff1.答案由题悟法1周期性常用的结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)假设f(xa)f(x)，那么T2a；(2)假设f(xa)，那么T2a；(3)假设f(xa)，那么T2a.2周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用以题试法3设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式解：(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8.又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,41以下函数中，既是奇函数又是减函数的是()Ayx3Bysin xCyxDyx答案：A2(2022·考感统考)设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，那么f()ABC.D.解析：选A由题意得ffff.3(2022·北京海淀区期末)函数f(x)x|x|2x，那么以下结论正确的选项是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)解析：选C将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减4(2022·吉林模拟)函数f(x)|xa|xa|(a0)，h(x)那么f(x)，h(x)的奇偶性依次为()A偶函数，奇函数 B奇函数，偶函数C偶函数，偶函数 D奇函数，奇函数解析：选Df(x)|xa|xa|xa|xa|f(x)，故f(x)为奇函数画出h(x)的图象可观察到它关于原点对称或当x>0时，x<0，那么h(x)x2x(x2x)h(x)，当x<0时x>0，那么h(x)x2x(x2x)h(x)x0时，h(0)0，故h(x)为奇函数5(2022·杭州月考)函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xm(m为常数)，那么f(1)的值为()A3 B1C1 D3解析：选A函数f(x)为定义在R上的奇函数，那么f(0)0，即f(0)20m0，解得m1.那么f(x)2x2x1，f(1)212×113，f(1)f(1)3.6假设函数f(x)为奇函数，那么a()A.B.C.D1解析：选Af(x)是奇函数，f(1)f(1)，a13(1a)，解得a.7(2022·孝感模拟)f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)x2x，那么当x>0时，f(x)_.解析：x>0，x<0，f(x)f(x)(x)2(x)x2x，故x>0时，f(x)x2x.答案：x2x8.(2022·“江南十校联考)定义在2,2上的奇函数f(x)在(0,2上的图象如下列图，那么不等式f(x)>x的解集为_解析：依题意，画出yf(x)与yx的图象，如下列图，注意到yf(x)的图象与直线yx的交点坐标是和，结合图象可知，f(x)>x的解集为.答案：9函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且x时，f(x)log2(3x1)，那么f(2 011)_.解析：f(2 011)f(3×6701)f(1)f(1)log2(31)2.答案：210函数f(x)x2(x0，常数aR)(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)假设f(1)2，试判断f(x)在2，)上的单调性解：(1)当a0时，f(x)x2，f(x)f(x)，函数是偶函数当a0时，f(x)x2(x0，常数aR)，取x±1，得f(1)f(1)20；f(1)f(1)2a0，即f(1)f(1)，f(1)f(1)故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)假设f(1)2，即1a2，解得a1，这时f(x)x2.任取x1，x22，)，且x1<x2，那么f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).由于x12，x22，且x1<x2.故x1x2<0，x1x2>，所以f(x1)<f(x2)，故f(x)在2，)上是单调递增函数11函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)假设函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x<0，那么x>0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x<0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,312函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x1对称(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)假设f(x)(0<x1)，求x5，4时，函数f(x)的解析式解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x1对称，得f(x1)f(1x)，即有f(x)f(x2)又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(x)f(x)故f(x2)f(x)从而f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)0.x1,0)时，x(0,1，f(x)f(x)，又f(0)0，故x1,0时， f(x).x5，4，x41,0，f(x)f(x4).从而，x5，4时，函数f(x).1设f(x)是奇函数，且在(0，)内是增函数，又f(3)0，那么x·f(x)<0的解集是()Ax|3<x<0，或x>3Bx|x<3，或0<x<3Cx|x<3，或x>3Dx|3<x<0，或0<x<3解析：选D由x·f(x)<0，得或而f(3)0，f(3)0，即或所以x·f(x)<0的解集是x|3<x<0，或0<x<32(2022·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，bR.假设ff，那么a3b的值为_解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以ff，且f(1)f(1)，故ff，从而a1,3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，故b2a.由得a2，b4，从而a3b10.答案：103(2022·烟台模拟)函数f(x)的定义域是(0，)，且满足f(xy)f(x)f(y)，f1，如果对于0<x<y，都有f(x)>f(y)，(1)求f(1)；(2)解不等式f(x)f(3x)2.解：(1)令xy1，那么f(1)f(1)f(1)，f(1)0.(2)f(x)f(3x)2f，f(x)ff(3x)f0f(1)，fff(1)，ff(1)，那么解得1x<0.故不等式的解集为1,0)1f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)g(x)x，那么f(1)，g(0)，g(1)之间的大小关系是_解析：在f(x)g(x)x中，用x替换x，得f(x)g(x)2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此得f(x)g(x)2x.于是解得f(x)，g(x)，于是f(1)，g(0)1，g(1)，故f(1)>g(0)>g(1)答案：f(1)>g(0)>g(1)2关于yf(x)，给出以下五个命题：假设f(1x)f(1x)，那么yf(x)是周期函数；假设f(1x)f(1x)，那么yf(x)为奇函数；假设函数yf(x1)的图象关于x1对称，那么yf(x)为偶函数；函数yf(1x)与函数yf(1x)的图象关于直线x1对称；假设f(1x)f(1x)，那么yf(x)的图象关于点(1,0)对称填写所有正确命题的序号_解析：由f(1x)f(1x)可知，函数周期为2，正确；由f(1x)f(1x)可知，yf(x)的对称中心为(1,0)，错；yf(x1)向左平移1个单位得yf(x)，故yf(x)关于y轴对称，正确；两个函数对称时，令1x1x得x0，故应关于y轴对称，错；由f(1x)f(1x)得yf(x)关于x1对称，错，故正确的应是.答案：3f(x)是偶函数，且f(x)在0，)上是增函数，如果f(ax1)f(x2)在x上恒成立，求实数a的取值范围解：由于f(x)为偶函数，且在0，)上为增函数，那么在(，0上为减函数，由f(ax1)f(x2)，那么|ax1|x2|，又x，故|x2|2x，即x2ax12x.故x3ax1x,1a1，在上恒成立由于min0，max2，故2a0.
