福建省厦门外国语学校2022届高三数学上学期12月月考试题理含解析.doc

福建省厦门外国语学校2022届高三数学上学期12月月考试题 理含解析一选择题每题只有一个选项，每题5分，共60分1.全集，集合，那么等于 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题设条件先求出集合A，再由补集的运算求出，然后再由交集的运算求【详解】解：，又，应选：C【点睛】此题考查集合的交集、补集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数性质的灵活运用2.，那么的值为 A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】先利用诱导公式求解，再利用二倍角公式求解即可【详解】因为，所以，所以.应选.【点睛】此题考查诱导公式和二倍角公式，熟记公式是关键，是根底题3.2022年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年.为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康知识竞赛活动.下面的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，那么以下说法正确的选项是 A. 甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B. 甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C. 甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D. 甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差【答案】D【解析】【分析】先分析处理茎叶图的信息，再结合平均数、中位数、方差的概念进行运算即可得解【详解】解：由茎叶图可知：甲组选手得分的平均数，乙组选手得分的平均数，应选项A错误；甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，即甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数，即选项B、选项C错误，因为甲组选手得分的方差：，乙组选手得分的方差：，即选项D正确，应选：D【点睛】此题考查了茎叶图及平均数、中位数、方差的运算，属中档题4.执行右图所示的程序框图，那么输出的 A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】第一次执行循环体后，n1，不满足退出循环的条件， 第二次执行循环体后，n2，不满足退出循环的条件， 第三次执行循环体后，n3，不满足退出循环的条件， 第四次执行循环体后，n4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，n5，满足退出循环的条件，故输出的n值为5，应选C【点睛】此题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题5.使命题：，为假命题的一个充分不必要条件为 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求命题的等价条件，结合充分不必要条件的定义转化为集合真子集关系进行求解即可【详解】解：假设命题：，为假命题，那么命题命题：，为真命题，那么，即，解得，命题的等价条件为，那么对应的充分不必要条件为的一个真子集，应选：B【点睛】此题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合真子集关系是解决此题的关键6.假设，那么的大小关系 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数函数的性质，以及微积分定理与比较即可.【详解】，应选：D【点睛】此题考查实数大小比较，考查对数函数的性质，微积分定理，考查利用中间量比较大小，属于常考题型.7.数列满足是首项为1,公比为等比数列,那么A. B. C. D. 【答案】C【解析】数列满足是首项为1,公比为的等比数列，=2n1，an=a1××××=1×21×22××2n1=，a101=25050.应选C.8.以下列图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形假设铜钱，寓意富贵桔祥在圆内随机取一点，那么该点取自阴影区域内阴影局部由四条四分之一圆弧围成的概率是 A. B. C. D. 【答案】C【解析】令圆的半径为1，那么，应选C9.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，那么该多面体各外表所在平面互相垂直的有 A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对【答案】C【解析】【分析】画出该几何体的直观图，易证平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，从而可选出答案【详解】该几何体是一个四棱锥，直观图如以下列图所示，易知平面平面，作POAD于O，那么有PO平面ABCD，POCD，又ADCD，所以，CD平面PAD，所以平面平面，同理可证：平面平面，由三视图可知：POAOOD，所以，APPD，又APCD，所以，AP平面PCD，所以，平面平面，所以该多面体各外表所在平面互相垂直的有4对【点睛】此题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题10.直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，假设的面积为，那么双曲线的离心率为A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】通过双曲线和圆的对称性，将的面积转化为的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立与的关系，从而推导出离心率.【详解】由题意可得图像如以下列图所示：为双曲线的左焦点为圆的直径 根据双曲线、圆的对称性可知：四边形为矩形又，可得：此题正确选项：【点睛】此题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.11.中，,为线段上任意一点，那么的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先设PAx，x0，利用向量数量积的运算性质可求，结合二次函数的性质即可求解【详解】ABC中，设PAx，x0，那么xx×cos180°+2x×cos45°x2x+4，x0，由二次函数的性质可知，当x时，有最小值；当x0时，有最大值4，所求的范围是，4应选C【点睛】此题主要考查了向量的根本定理及向量的数量积的运算性质，二次函数的性质等知识的简单应用，属于中档题12.定义在上的连续可导函数无极值，且，假设在上与函数的单调性相同，那么实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】根据连续可导且无极值，结合，判断出为单调递减函数.对求导后别离常数，利用三角函数的值域求得的取值范围.【详解】由于连续可导且无极值，故函数为单调函数.故可令，使成立，故，故为上的减函数.故在上为减函数.即在上恒成立，即，由于，故，所以，应选A.【点睛】本小题主要考查函数的单调性与极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题.二、填空题共4小题，20分13.复数，其中，为虚数单位，且，那么_【答案】【解析】【分析】利用复数代数形式的除法运算先化简，再根据复数的模的计算公式求【详解】解：，又，故答案为：【点睛】此题考查复数代数形式的除法运算与复数的模，属于常考题14.圆锥的顶点为，底面圆周上的两点、满足为等边三角形，且面积为，又知圆锥轴截面的面积为8，那么圆锥的侧面积为_.【答案】【解析】【分析】由等边SAB面积求出母线l的值，再求出圆锥底面半径r和高h，从而求得圆锥的侧面积【详解】解：设圆锥母线长为l，由SAB为等边三角形，且面积为，所以，解得l=4；又设圆锥底面半径为r，高为h，那么由轴截面的面积为8，得rh=8；又，解得，所以圆锥的侧面积故答案为：【点睛】此题考查了圆锥的结构特征应用问题，也考查了三角形边角关系应用问题，是中档题15.点在轴上，点是抛物线的焦点，直线与抛物线交于， 两点，假设点为线段的中点，且，那么_【答案】8【解析】【分析】设，又，由为的中点，求得，直线的方程代入，得，求得点N的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解【详解】设，又，因为为的中点，所以点的坐标为，那么，即，又由，那么，即，直线的方程为，代入，得，设，那么，解得，由抛物线的定义得：，解得：【点睛】此题主要考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和抛物线的定义合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题16.在中，内角的对边分别为，角为锐角，且，那么的取值范围为_【答案】【解析】设，那么，由，得,.由余弦定理得由角为锐角得，所以，所以，即.故答案为三、解答题解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤，共6大题，70分17.数列的前项和为，满足：，数列为等比数列，满足， 求数列，的通项公式；假设数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小【答案】；. .【解析】【分析】由题意可得数列为首项和公差均为1的等差数列，即可得到所求的通项公式；再由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到的通项公式；由，运用裂项相消求和可得，由等比数列的求和公式可得，由不等式的性质即可得到大小关系【详解】，可得，即数列为首项和公差均为1的等差数列，可得；数列为等比数列，满足，设公比为，可得，可得，即有时，可得；不成立，舍去，那么；， ；，那么，即有【点睛】此题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题18.在多面体中，且平面平面.1设点为线段的中点，试证明平面；2假设直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】1详见解析2【解析】【分析】1由四边形为平行四边形.，再结合平面，即可证明平面；2由空间向量的应用，建立以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴的空间直角坐标系，再求出平面的法向量，平面的法向量，再利用向量夹角公式求解即可.【详解】1证明：取的中点，连接，在中，.由平面平面，且交线为得平面.，分别为，的中点，且.又，且.四边形为平行四边形.，平面.2平面，以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.那么，.平面，直线与平面所成的角为.可取平面的法向量，设平面的法向量，那么，取，那么，.，二面角的余弦值为.【点睛】此题考查了线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的大小，重点考查了空间想象能力，属中档题.19.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下20,30)30,40)40,50)50,60)60,7070以上使用人数312176420未使用人数003143630现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数,求随机变量的分布列及数学期望；为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.假设某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.【答案】详见解析2200【解析】【分析】随机抽取的100名顾客中，年龄在30，50且未使用自由购的有3+1417人，由概率公式即可得到所求值；所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值【详解】解：在随机抽取的100名顾客中，年龄在30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在30,50)且未使用自由购的概率为所有的可能取值为1,2,3，,.所以的分布列为123所以的数学期望为.在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.【点睛】此题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，比较综合20.椭圆的方程为，点为长轴的右端点为椭圆上关于原点对称的两点直线与直线的斜率满足：1求椭圆的标准方程；2假设直线与圆相切，且与椭圆相交于两点，求证：以线段为直径的圆恒过原点【答案】12见证明【解析】【分析】1由可得的值，从而得到椭圆的标准方程；2原问题等价于，联立方程，利用韦达定理即可得到结果.【详解】解：1设那么 由得， 由，即得， 所以，所以即椭圆的标准方程为： 2设由得： 又与圆C相切，所以即 所以所以，即所以，以线段为直径的圆经过原点.【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法1假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；2从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意21.，函数(1)讨论函数的单调性；(2)假设是的极值点，且曲线在两点，处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为、，求的取值范围.【答案】1见解析；2【解析】【分析】1根据导数和函数的关系即可求出函数的单调区间，2由x2是fx的极值点，以及导数的几何意义，可求出相对应的切线方程，根据切线平行可得，同理，求出b1b2，再构造函数，利用导数，即可求出b1b2的取值范围【详解】1，当a0时，f'x0在x0，+上恒成立，fx在0，+上单调递减；当a0时，时f'x0，时，f'x0，即fx在上单调递减，在单调递增；2x=2是fx的极值点，由1可知，a=1，设在Px1，fx1处的切线方程为，在Qx2，fx2处的切线方程为假设这两条切线互相平行，那么，且0x1x26，x13，4令x=0，那么，同理，【解法一】，设，gx在区间上单调递减，即b1-b2的取值范围是【解法二】，令，其中x3，4函数gx在区间3，4上单调递增，b1-b2的取值范围是【解法三】x1x2=2x1+x2，设，那么，g'x0，函数gx在区间上单调递增，b1-b2的取值范围是【点睛】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力，属于难题22.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，曲线的极坐标方程为，过点作直线的垂线，分别交曲线于，两点.1写出曲线和直线的直角坐标方程；2假设，成等比数列，求实数的值.【答案】1 ；2【解析】【分析】1利用极坐标和直角坐标的互化公式来求解；2根据，成等比数列，建立等量关系，利用参数的几何意义求解.【详解】1由，得.得曲线的直角坐标方程为 的直角坐标为又直线的斜率为1.且过点.故直线的直角坐标方程为2在直角坐标系中，直线参数方程为为参数.代入得，即，解得，【点睛】此题主要考查参数方程和极坐标，极坐标与直角坐标的相互转化要熟记公式，利用参数的几何意义能简化求解过程.23.函数(1)当时,有解,求实数b的取值范围；(2)假设的解集包含,求实数a的取值范围【答案】(1)；(2).【解析】【分析】当时,利用绝对值三角不等式求出的最小值,由有解,可知；由的解集包含,化为对恒成立,再分和两种情况求出a的范围【详解】解：当时,，当且仅当,即时取等号，,有解,只需，的取值范围是；当时,的解集包含,对恒成立,当时,不等式化为,解得；当时,不等式化为,解得；综上,a的取值范围是【点睛】此题考查了绝对值三角不等式和不等式恒成立问题,也考查了转化思想和分类讨论思想,是中档题- 20 -