巧解双曲线的离心率.doc
. .巧解双曲线的离心率离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。经常考察：求离心率的值，求离心率的取值X围，或由离心率求参数的值等。下面就介绍一下常见题型和巧解方法。1、求离心率的值1利用离心率公式，先求出，再求出值。2利用双曲线离心率公式的变形：，先整体求出，再求出值。例1 双曲线的一条渐近线方程为，那么双曲线的离心率为_.分析：双曲线的渐近线方程为，由可得解答：由可得，再由，可得.3构造关于的齐次式，再转化成关于的一元二次方程，最后求出值，即“齐次化。例如：例2 设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_.分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。解答：因为两条直线垂直， 所以负舍2、求离心率的取值X围求离心率的取值X围关键是建立不等关系。1直接根据题意建立的不等关系求解的取值X围。例3假设双曲线，那么双曲线离心率的取值X围是_.分析：注意到的条件解答：2利用平面几何性质建立不等关系求解的取值X围。例4双曲线的两个焦点为，假设为其上非顶点的一点，且，那么双曲线离心率的取值X围为_.分析：由双曲线上非顶点的点和两个焦点构成三角形，利用三角形性质构建不等式。解答：因为，而，又因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以。3利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解的取值X围。例5双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，那么此双曲线离心率e的取值X围是_.分析：此题和上题类似，但也可以换一种方法找不等关系。解答：由可得，又因为点P在双曲线的右支上，即，所以.4运用数形结合思想建立不等关系求解的取值X围。例6双曲线的右焦点为，假设过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此双曲线离心率的取值X围是_分析：由直线和双曲线的位置关系得到不等关系解答：由图象可知渐近线斜率，再由 。5运用函数思想求解的取值X围。例7设，那么双曲线的离心率的取值X围是_.分析：把离心率表示成关于的函数，然后求函数的值域解答：把或表示成关于的函数，然后用求函数值域的方法求解，。小结：通过以上例题，同学们应该体会到求离心率的值或取值X围有很多种方法，求值不一定非要先求出的值，能够得到中某两者的关系即可；求取值X围关键就是找到不等关系建立不等式，不等关系可以来自条件、可以来自图形特点、也可以来自双曲线本身的性质。总之，要认真审题、分析条件，巧解离心率。练习：1设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，那么C的离心率为()A.B.C2 D3解：设双曲线C的方程为1，焦点F(c,0)，将xc代入1可得y2，所以|AB|2×2×2a，b22a2，答案：B2双曲线C：1(a>0，b>0)的离心率为，那么C的渐近线方程为()Ay±xBy±xCy±xDy±x解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为y±x，又离心率为e，所以，所以双曲线的渐近线方程为y±x.答案：C3双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，假设l2PF1，l2PF2，那么双曲线的离心率是()A.B2 C.D.图1解：如图1，由l2PF1，l2PF2，可得PF1PF2，那么|OP|F1F2|c，设点P的坐标为，那么 mc，解得ma，即得点P的坐标为(a，b)，那么由KPF2，可得2ac，即e2.答案：B4假设双曲线1的离心率为，那么m的值为_解：由题意，双曲线的焦点在x轴上，所以e，所以m2.答案：2图25如图2，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点假设M，O，N将椭圆长轴四等分，那么双曲线与椭圆的离心率的比值是_A3 B2 C.D.解:设双曲线的方程为1，椭圆的方程为1，由于双曲线与椭圆有公共焦点且M，O，N将椭圆长轴四等分，所以a22a1，又e1，e2，所以2.答案：26设点P在双曲线1(a>0，b>0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，假设|PF1|4|PF2|，那么双曲线离心率的取值X围是_解：由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，所以4|PF2|PF2|2a，|PF2|a，|PF1|a，所以整理得ac，所以，即e，又e1，所以1e.答案：7点F是双曲线1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，假设ABE是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e的取值X围为_解：由题意知，ABE为等腰三角形假设ABE是锐角三角形，那么只需要AEB为锐角根据对称性，只要AEF<即可直线AB的方程为xc，代入双曲线方程得y2，取点A，那么|AF|，|EF|ac，只要|AF|<|EF|就能使AEF<，即<ac，即b2<a2ac，即c2ac2a2<0，即e2e2<0，即1<e<2.又e>1，故1<e<2.答案：(1,2)8如图3，F1，F2分别是双曲线C：1(a>0，b>0)的左，右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.假设|MF2|F1F2|，求C的离心率.图3解：依题意，知直线F1B的方程为yxb，联立方程得点Q，联立方程得点P，所以PQ的中点坐标为.所以PQ的垂直平分线方程为y.令y0，得xc，所以c3c.所以a22b22c22a2，即3a22c2.所以e.答案：9双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解：设点A的坐标为(x0，y0)，直线AO的斜率满足·()1，x0y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程，得3yyc2，即y0c，x0c，点A的坐标为，代入双曲线方程，得1，即b2c2a2c2a2b2，又a2b2c2，将b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，348240，(3e22)(e22)0，e1，e.双曲线的离心率为.答案：10如图4，双曲线1(a0，b0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.假设以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.求双曲线的离心率e；菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值.图4解：由题意可得a=bc，a43a2c2c40，e43e210，e2，e.设sin ，cos ，e2.答案：；. .word.
