八年级数学下册知识点复习专题讲练勾股定理及逆定理的综合应用含解析.doc

勾股定理及逆定理的综合应用一、勾股定理的逆定理逆定理如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。逆定理说明：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形来确定三角形的可能形状。在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比拟，假设它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形；假设时，以，为三边的三角形是钝角三角形；假设时，以，为三边的三角形是锐角三角形。二、实际应用定理中的注意问题1. 定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如假设三角形三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边；2. 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。三、勾股定理逆定理的几种典型应用总结：1. 理解勾股定理与勾股定理逆定理之间的关系；2. 掌握好数形结合的思想及方程思想的应用。例题1 如图，ABC中，AB=15，AC=8，AD是中线，且AD=8.5，那么BC的长为 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18解析：延长AD至E使ED=AD，利用好“AD是中线这个条件，再根据题中数据的特点正好符合勾股定理逆定理，得到直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质就可以求出BD的长度了，再根据BC=2BD，所以BC的长也就求出了。答案：解：延长AD至E，使DE=AD；连接BE，AD=8.5，AE=2×8.5=17，在ADC和EDB中，ADDEADCEDB BDCD，ADCEDBSAS，BE=AC=8，BE2+AB2=82+152=289，AE2=172=289，ABE=90°，在RtBED中，BD是中线，BD=AE=8.5，BC=2BD=2×8.5=17。应选C。例题2 勾股定理是几何中的一个重要定理。在我国古算书?周髀算经?中就有“假设勾三，股四，那么弦五的记载。如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理。图2是由图1放入矩形内得到的，BAC=90°，AB=2，AC=3，那么D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，那么长方形KLMJ的面积为 A. 50 B. 52 C. 54 D. 56解析：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解。答案：解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=2+3=5，所以，KL=2+5=7，LM=3+5=8，因此，矩形KLMJ的面积为7×8=56。应选D。 利用勾股定理计算角度例题 如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将ABE绕点B顺时针旋转90°到CBE的位置。假设AE=1，BE=2，CE=3，那么BEC= 度。解析：首先根据旋转的性质得出EBE=90°，BE=BE=2，AE=EC=1，进而根据勾股定理的逆定理求出EEC是直角三角形，进而得出答案。答案：解：连接EE，将ABE绕点B顺时针旋转90°到CBE的位置，AE=1，BE=2，CE=3，EBE=90°，BE=BE=2，AE=EC=1，EE=2，BEE=45°，EE2+EC2=8+1=9，EC2=9，EE2+EC2=EC2，EEC是直角三角形，EEC=90°，BEC=135°。故答案为：135。开放性试题开放性试题是与封闭性试题相对的、没有固定答案或唯一结论的一种试题形式，它在很大程度上弥补了封闭性试题的种种缺乏，特别在考查学生思维的灵活性和广泛性，考查学生的实践能力和创新意识，以及情感、态度、价值观等方面有着封闭性试题所无法取代的优点。可使同学们的主观能动性得到极好的发挥。例题 如图，一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形。请给出4种不同拼法，并求所拼等腰三角形的周长。解析：根据三角形的三边关系、勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定来作图；利用图形，分别求得每一个等腰三角形的周长。答案：解：4种不同拼法周长不等的等腰三角形如下图：图1：拼成的等腰三角形的周长为10+6+4+=20+4；图2：拼成的等腰三角形的周长为10+10+12=32；图3：根据图示知，64+x2=x+62，解得，x=，拼成的等腰三角形的周长为2×+6+10=26；图4：拼成的等腰三角形的周长为10+10+8+8=36。答题时间：45分钟一、选择题1. 有下面的判断：假设ABC中，a2+b2c2，那么ABC不是直角三角形。ABC是直角三角形，C=90°，那么a2+b2=c2。假设ABC中，a2b2=c2，那么ABC是直角三角形。假设ABC是直角三角形，那么a+bab=c2。以上判断正确的有 A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2. 假设ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，那么此为 A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定*3. 正实数a、b、c满足=k，以2k，2k+1，2k1为三边的三角形面积是 A. 12 B. 6 C. D. 3*4. 如图，以ABC的每一条边为边作三个正三角形ABD、BCE和ACF。这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影局部的面积和等于丙、丁阴影局部的面积和，那么FCE= A. 130°B. 140°C. 150°D. 160°*5. 如图，正方形ABED与正方形BCFE，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，那么这样的直角三角形共有 A. 10个B. 12个C. 14个D. 16个二、填空题*6. 如图，RtABC中，C=90度。将ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，假设BE=4，那么AC的长为 。*7. 如图，在4×5的方格中，A、B为两个格点，再选一个格点C，使ACB为直角，那么满足条件的点C个数为 个。*8. 如图，在ABC中，CE平分ACB，CF平分ACD，且EFBC交AC于M，假设CM=5，那么CE2+CF2= 。三、解答题9. 阅读以下解题过程：a，b，c为ABC的三边，且满足a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC的形状。错解：a2c2b2c2=a4b4，c2a2b2=a2b2a2+b2，c2=a2+b2问：1上述解题过程，从哪一步开始发现错误？请写出该步的代号 。2错误的原因是 。3此题正确的结论是 。*10. 如图，点D是ABC内一点，把ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到CBE，假设AD=4，BD=3，CD=5。1判断DEC的形状，并说明理由；2求ADB的度数。*11. 如图，四边形ABCD中，AD=DC，ABC=30°，ADC=60°。试探索以AB、BC、BD为边，能否组成直角三角形，并说明理由。*12. ：ABC的周长是4+2，AB=4，AC=+。1判断ABC的形状；2假设CD是AB上的中线，DEAB，ACB的平分线交DE于E，交AB于F，连接BE。求证：DC=DE，并求DBE的面积。1. C 解析：c不一定是斜边，故错误；正确；正确；假设ABC是直角三角形，c不是斜边，那么a+babc2，故错误。共2个正确。应选C。2. C 解析：ABC是直角三角形。理由是：a2+b2+c2=10a+24b+26c338，a52+b122+c132=0，a5=0，b12=0，c13=0，即a=5，b=12，c=13。52+122=132，ABC是直角三角形。应选C。3. B 解析：，cb+c=aa+b，ba+b=ca+c，化简后得：caa+b+c=0，cba+b+c=0，a+b+c0，a=b=c，k=2，以2k，2k+1，2k1为三边分别为4，5，3；32+42=52，三角形为直角三角形，直角边的长分别为3，4，根据直角三角形的面积公式，S=×3×4=6。应选B。4. C 解析：由题意，得SACF+SBCE=SABD，即AC2+BC2AB2。从而AC2+BC2=AB2。所以ACB=90°，FCE=360°90°+60°+60°=150°。应选C。5. C 解析：可得到14个直角三角形，分别为ABE、ADE、ABD、BED、BCE、CFE、BCF、BEF、ACF、ADF、ACD、CDF、AEC、DBF。应选C。6. 6 解析：根据题意，得DE垂直平分AB，那么AE=BE，得A=ABE。根据折叠，得ABE=CBE，再根据直角三角形的两个锐角互余得A=ABE=CBE=30°CE=BE =2，那么AC=4+2=6。7. 6 解析：如图，根据勾股定理知AB2=12+32=10。12+32=10，2+22=10，2+2=10，符合条件的点C有6个。8. 100 解析：CE平分ACB，CF平分ACD，ACE=ACB，ACF=ACD，即ECF=ACB+ACD=90°，又EFBC，CE平分ACB，CF平分ACD，ECB=MEC=ECM，DCF=CFM=MCF，CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100。9. 解：1c2a2b2=a2b2a2+b2应有c2a2b2a2b2a2+b2=0得到a2b2c2a2+b2=0，a2b2=0或c2a2+b2=0，即a=b或a2+b2=c2，根据等腰三角形得定义和勾股定理的逆定理，知三角形为等腰三角形或直角三角形。故填。2不能确定a2b2是否为0。3ABC为等腰三角形或直角三角形。10. 解：1根据图形的旋转不变性，AD=EC，BD=BE，又因为DBE=ABC=60°，所以ABC和DBE均为等边三角形，于是DE=BD=3，EC=AD=4，又因为CD=5，所以DE2+EC2=32+42=52=CD2；故DEC为直角三角形。2因为DEC为直角三角形，所以DEC=90°，又因为BDE为等边三角形，所以BED=60°，故BEC=90°+60°=150°，即ADB=150°。11. 解：以AB、BC、BD为边，能够组成直角三角形。理由如下：以BC为边作等边BCE，连接AE、AC。如下列图所示。ABC=30°，CBE=60°，ABE=90°，AB2+BE2=AE2，AD=DC，ADC=60°，ADC是等边三角形，在DCB和ACE中，DC=AC，DCB=DCA+ACB=ECB+ACB =ACE，又BC=CE，DCBACE，BD=AE，BC=BE，由式，可得BD2=AB2+BC2。以AB、BC、BD为边，能够组成直角三角形。12. 1解：ABC是直角三角形。ABC的周长是4+2，AB=4，AC=+，BC=4+24+=，+2+242，AC2+BC2=AB2，ABC是直角三角形；2证明：过点C作CMAB交AB于M，DEAB，CMDE，DEF=MCF，又AD=CD，A=ACD，BCM=A，ACD=BCM，CE平分ACB，ACE=BCE，DCF=MCF，DCF=DEF，DC=DE=AB=2，DBE的面积=2×2÷2=2。