2022年人教版七级数学上册有理数知识点汇总A4打印版.pdf

名师推荐精心整理学习必备第一章有理数1.1 正数与负数1.正数和负数的概念正数：大于0 的数叫正数。 （根据需要，有时在正数前面也加上“+”）负数：在以前学过的0 以外的数前面加上负号“”的数叫负数。与正数具有相反意义。0 既不是正数也不是负数。0 是正数和负数的分界，是唯一的中性数。注意：字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时， -a 是负数； 当 a 表示负数时， -a 是正数； 当 a 表示 0时， -a 仍是 0。 （如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）正数有时也可以在前面加“+” ，有时“ +”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。2. 具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上 8表示为： +8；零下 8表示为： -8 3.0 表示的意义0 表示“没有” ，如教室里有0 个人，就是说教室里没有人；0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数，也不是负数。如：（3） 0 表示一个确切的量。如：0以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0 米就表示海平面。注意：搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等1.2 有理数有理数1. 有理数的概念正整数、 0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数）正分数和负分数统称为分数正整数， 0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解 ：只有能化成分数的数才是有理数。是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8也是偶数， -1,-3,-5也是奇数。2. 有理数的分类按有理数的意义分类按正、负来分正整数正整数整数0 正有理数负整数正分数有理数有理数0（0 不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数）负整数、 0 统称为非正整数正有理数、 0 统称为非负有理数负有理数、 0 统称为非正有理数数轴数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；同一数轴上的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备单位长度要统一；数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2. 数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0 用原点表示。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点不是有理数）3. 利用数轴表示两数大小在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。4. 数轴上特殊的最大（小）数最小的自然数是0，无最大的自然数；最小的正整数是1，无最大的正整数；最大的负整数是-1 ，无最小的负整数5.a 可以表示什么数a0 表示 a 是正数；反之，a 是正数，则a0；a0 表示 a 是负数；反之，a 是负数，则a0 时， -a0（正数的相反数是负数）当 a0（负数的相反数是正数）当 a=0 时， -a=0， （0 的相反数是0）绝对值绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数 a 的点与 原点 的距离叫做a 的绝对值，记作|a| 。2. 绝对值的代数定义一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0. 可用字母表示为：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备如果 a0，那么 |a|=a ；如果 a0，那么 |a|=-a ；如果 a=0，那么 |a|=0 。可归纳为： a0， |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）a0， |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）经典考题如数轴所示，化简下列各数 |a|, |b| , |c| , |a-b|, |a-c| , |b+c| 解：由题知道，因为a0 ，b0，c0, a-c0, b+c0，所以|a|=a ,|b|=-b, |c|=-c ,|a-b|=a-b , |a-c|=a-c ,|b+c|=-(b+c)=-b-c 3. 绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a 取任何有理数，都有|a| 0。即 0 的绝对值是 0；绝对值是0 的数是 0. 即：a=0 |a|=0；一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0. 即： |a| 0；任何数的绝对值都不小于原数。即：|a| a；绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a （a0） ，则 x=a；互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若 a+b=0，则 |a|=|b|；绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则 a=b 或 a=-b；若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即 |a|+|b|=0，则 a=0 且 b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）经典考题已知|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,求 a+b+c 的值解：因为 |a+3|0，|2b-2|0，|c-1|0，且|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0 所以|a+3|=0 ，|2b-2|=0 ，|c-1|=0 即 a=-3 ,b=1 ,c=1 所以 a+b+c=-3+1+1=-1 4. 有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。5. 绝对值的化简当 a0 时， |a|=a ；当 a0 时， |a|=-a 6. 已知一个数的绝对值，求这个数一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离，一般地， 绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为 0 的数是 0，没有绝对值为负数的数。如： |a|=5 ，则 a=土 5 1.3 有理数的加减法有理数的加减法1. 有理数的加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为零；一个数与零相加，仍得这个数。2. 有理数加法的运算律加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法”；符号相同的两个数先相加“同号结合法”；分母相同的数先相加“同分母结合法”；几个数相加得到整数，先相加“凑整法”；整数与整数、小数与小数相加“同形结合法”。3. 加法性质精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0 后的和等于原数。即：当 b0 时， a+ba 当 b0 时， a+ba 当 b=0 时， a+b=a 4. 有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。5. 有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法：按这个式子表示的意义读作“负8、负 7、负 6、正 5 的和”按运算意义读作“负8 减 7 减 6 加 5”6. 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：. 把符号相同的加数相结合（同号结合法） (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法）=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号）=(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合）=-49+41 （运用加法法则一进行运算）=-8 （运用加法法则二进行运算）. 把和为整数的加数相结合（凑整法） (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8 （运用加法法则进行运算）=7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算）=-2.2 （得出结论）. 把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）-53-21+43-52+21-87原式=(-53-52)+(-21+21)+(+43-87) =-1+0-81=-181. 既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） (+0.125)-(-343)+(-381)-(-1032)-(+1.25) 原式=(+81)+(+343)+(-381)+(+1032)+(-141) =81+343-381+1032-141=(343-141)+(81-381)+1032=221-3+1032=-3+1361精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备=1061. 把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）-351+10116-12221+4157原式=(-3+10-12+4)+(-51+157)+(116-221) =-1+154+2211=-1+308+3015-307. 分组结合2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69 原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69) =0 . 先拆项后结合（1+3+5+7+99）- （2+4+6+8+100）有理数加法法则：1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。3、一个数同0 相加，仍得这个数。加法的交换律和结合律有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。1.4 有理数的乘除法1. 有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（ “同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）法则二：任何数同0 相乘，都得0；法则三：几个不是0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0, 则积等于 0. 2. 倒数乘积是 1 的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为aa1=1（a0） ，就是说a 和a1互为倒数，即 a 是a1的倒数，a1是 a 的倒数。注意： 0 没有倒数；求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；倒数等于它本身的数是1 或-1, 不包括 0。3. 有理数的乘法运算律乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc). 乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac 4.有理数的除法法则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备（1）除以一个不等0 的数，等于乘以这个数的倒数。（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于0 的数，都得0 5.有理数的乘除混合运算（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照先乘除，后加减的顺序进行。有理数的乘方1.乘方的概念求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在na中， a 叫做底数， n 叫做指数。2.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。（2）正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是0。有理数的混合运算做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。科学记数法把一个大于10 的数表示成na10的形式（其中101a， n 是正整数），这种记数法是科学记数法。从一个数的左边第一个非0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。四舍五入遵从精确到哪一位就从这一位的下一位开始，而不是从数字的末尾往前四舍五入。比如：3.5449 精确到 0.01 就是 3.54 而不是 3.55. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -