大一高数期末考试题精.doc

. .二、填空题本大题有4小题，每题4分，共16分1. .2. .3. .4. .三、解答题本大题有5小题，每题8分，共40分5. 设函数由程确定，求以及.6.7.8. 设函数连续，且，为常数. 求并讨论在处的连续性.9. 求微分程满足的解.四、 解答题本大题10分10. 上半平面一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线程.五、解答题本大题10分11. 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一所得旋转体的体积V.六、证明题本大题有2小题，每题4分，共8分12. 设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.13. 设函数在上连续，且，.证明：在至少存在两个不同的点，使提示：设二、填空题本大题有4小题，每题4分，共16分5. . 6.7. . 8.三、解答题本大题有5小题，每题8分，共40分9. 解：程两边求导，10. 解：11. 解：12. 解：由，知。，在处连续。13. 解：，四、 解答题本大题10分14. 解：由且，将此程关于求导得特征程：解出特征根：其通解为代入初始条件，得故所求曲线程为：五、解答题本大题10分15. 解：1根据题意，先设切点为，切线程：由于切线过原点，解出，从而切线程为：那么平面图形面积2三角形绕直线x = e一所得圆锥体体积记为V1，那么曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一所得旋转体体积为V2D绕直线x = e旋转一所得旋转体的体积六、证明题本大题有2小题，每题4分，共12分16. 证明：故有：证毕。17.证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在上可导。，且由题设，有，有，由积分中值定理，存在，使即综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在和，使及，即. 高等数学I 解答一、单项选择题在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中(本大题有4小题, 每题4分, 共16分)1. 当时，都是无穷小，那么当时 D 不一定是无穷小. (A)(B) (C)(D) 2. 极限的值是 C .A 1BeCD3. 在处连续，那么a = D .A 1 B 0 CeD 4. 设在点处可导，那么 A .AB (C) D 二、填空题本大题有4小题，每题4分，共16分5. 极限的值是.6. 由确定函数y(x)，那么导函数 .7. 直线过点且与两平面都平行，那么直线的程为 .8. 求函数的单调递增区间为¥，0和1，+¥.三、解答题本大题有4小题，每题8分，共32分9. 计算极限.解：10. ：，求。解： ，11. 设在a，b上连续，且，试求出。解：12. 求解：四、解答题本大题有4小题，每题8分，共32分13. 求.14. 求函数的极值与拐点.解：函数的定义域¥，+¥令得 x 1 = 1, x 2 = -1 x 1 = 1是极大值点，x 2 = -1是极小值点极大值，极小值令得x 3 = 0, x 4 = , x 5 = -x(-¥,-)(-,0)(0, )(,+¥)+故拐点-，-，0，0，15. 求由曲线与所围成的平面图形的面积.16. 设抛物线上有两点，在弧A B上，求一点使的面积最大.解：六、证明题本大题4分17. 设，试证.证明：设，因此在0，+¥递减。在0，+¥，在0，+¥递减，在0，+¥，即亦即当x>0时，。二 填空题本大题有4小题，每题4分，共16分1. 设2. 设那么3. 直线程，与xoy平面，yoz平面都平行，那么的值各为 4. 三 解答题本大题有3小题，每题8分，共24分1. 计算2. 设试讨论的可导性，并在可导处求出3. 设函数连续，在x¹0时二阶可导，且其导函数的图形如下列图，给出的极大值点、极小值点以及曲线的拐点。dycbOax四 解答题本大题有4小题，每题9分，共36分1. 求不定积分2. 计算定积分3. 直线,求过直线l1且平行于直线l2的平面程。4. 过原点的抛物线及y=0,x=1所围成的平面图形绕x轴一的体积为，确定抛物线程中的a，并求该抛物线绕y轴一所成的旋转体体积。五、综合题本大题有2小题，每题4分，共8分1. 设，其中在区间1,2上二阶可导且有，试证明存在使得。2.（1） 求的最大值点；（2） 证明：二、填空题本大题有4小题，每题4分，共16分5. .6. .7. .8. .三、解答题本大题有3小题，每题8分，共24分9. (8分)计算极限.解：10. (8分)设，试讨论的可导性，并在可导处求出.解：当；当故f (x)在x=0处不可导。11. (8分)设函数在连续，在时二阶可导，且其导函数的图形如图.给出的极大值点、极小值点以及曲线的拐点. dycbOax解：极大值点：极小值点：拐点四 解答题本大题有4小题，每题9分，共36分12. (9分)求不定积分.解：原式=13. (9分)计算定积分.解：原式=14. (9分)直线，,求过直线l1且平行于直线l2的平面程.解：取直线l1上一点M1(0,0,1) 于是所求平面程为15. (9分)过原点的抛物线及y=0, x=1所围成的平面图形绕x轴一的体积为. 求a，并求该抛物线绕y轴一所成的旋转体体积.解：由得故a = 9 抛物线为：绕y轴一所成的旋转体体积：五 综合题每题4分，共8分16. (4分)设，其中在区间1,2上二阶可导且有. 证明：存在使得。证明：由在1，2上二阶可导，故F (x)在1，2二阶可导，因f (2)=0,故F (1)=F (2) = 0在1，2上用罗尔定理，至少有一点使得在1，x0上对用罗尔定理，至少有点17. (4分).解：1为的最大值点。，当，；当，。为极大值，也为最大值。2高等数学上B07解答一、 填空题：共24分，每题4分1，那么。2，=_1_。3。4过原点的切线程为。5，那么=。6，时，点是曲线的拐点。二、计算以下各题：共36分，每题6分1求的导数。解：2求。解：3求。解：4设在点处可导，那么为值？解：5求极限。解：=6求过点且与两直线和平行的平面程。解：两直线的向向量分别为，平面的法向量。平面程为。三、解答以下各题：共28分，每题7分1设，求。解：2求在上的最大值和最小值。解：最大值为，最小值为。3设由程确定，求。解：程两边同时对x求导将代入上式4求由与围成的图形绕轴旋转所得的旋转体的体积。解：四、证明题：(共12分，每题6分)1证明过双曲线任一点之切线与二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。证明：双曲线上任一点的切线程为切线与轴、轴的交点为故切线与二个坐标轴所围成的三角形的面积为2设函数与在闭区间上连续，证明：至少存在一点使得证明：令，由Rolle定理，存在一点，使，即高等数学上解答07一、 单项选择题每题4分，共16分1是 A 。A奇函数； B期函数；C有界函数； D单调函数2当时，与 B 是同阶无穷小量。A； B； C； D3直线与平面的位置关系是 C 。A直线在平面；B平行； C垂直； D相交但不垂直。4设有三非零向量。假设，那么 A 。A0； B-1； C1； D3二、 填空题每题4分，共16分1曲线上一点P的切线经过原点，点P的坐标为。2。3程确定隐函数，那么 0 。4曲线、与轴所围图形绕轴旋转一所得旋转体的体积为。三、 解以下各题每题6分，共30分1，求。解：2求不定积分。解: 3计算定积分。 解：4求不定积分。 解：5，且，求。 解：令，四、 8分设对任意有，且。求。 解：由，五、8分证明：当时，。证明：只需证明。 令，在单调递增。 ，当时，。即。六、 8分，连续，且当时，与为等价无穷小量。求。解： 七、 8分设有曲线和直线。记它们与轴所围图形的面积为，它们与直线所围图形的面积为。问为值时，可使最小？并求出的最小值。解： 令，得。，为最小值点。 八、设在的点处取得最大值，且。证明：证明： 在对应用拉格朗日定理在对应用拉格朗日定理二、填空题将正确答案填在横线上(本大题分5小题, 每题3分, 共15分)1、23、设空间两直线与相交于一点，那么_。4、5、三、解答以下各题( 本大题4分 )设平面与两个向量和平行，证明：向量与平面垂直。四、解答以下各题( 本大题8分 )五、解答以下各题( 本大题11分 )六、解答以下各题( 本大题4分 )求过与平面平行且与直线垂直的直线程。七、解答以下各题( 本大题6分 )八、解答以下各题( 本大题7分 )九、解答以下各题( 本大题8分 )十、解答以下各题( 本大题5分 )。十一、解答以下各题( 本大题4分 )十二、解答以下各题( 本大题5分 )重量为的重物用绳索挂在两个钉子上，如图。设，求所受的拉力。十三、解答以下各题( 本大题6分 )十四、解答以下各题( 本大题7分 )二、填空题将正确答案填在横线上(本大题分5小题, 每题3分, 共15分)1、 2、5分10分3、4、-15、10分三、解答以下各题( 本大题4分 )平面法向量4分与平行8分从而平面与垂直。10分四、解答以下各题( 本大题8分 )5分7分10分五、解答以下各题( 本大题11分 )3分7分10分3分5分7分10分六、解答以下各题( 本大题4分 )的法向量为的向向量为3分所求直线向向量为7分从而所求直线程为10分七、解答以下各题( 本大题6分 )3分7分10分八、解答以下各题( 本大题7分 )4分7分10分九、解答以下各题( 本大题8分 )2分5分8分10分十、解答以下各题( 本大题5分 )4分8分10分十一、解答以下各题( 本大题4分 )4分8分10分十二、解答以下各题( 本大题5分 )按点受力平衡，应有，即解得(10分)十三、解答以下各题( 本大题6分 )2分4分10分十四、解答以下各题( 本大题7分 ) 3分5分8分10分二、填空题将正确答案填在横线上(本大题分4小题, 每题3分, 共12分)1、2、_.3、4、直线与平面的交点为_。三、解答以下各题(本大题共2小题，总计12分)1、(本小题6分)2、(本小题6分)指出锥面被平行于平面的平面所截得的曲线的名称。四、解答以下各题(本大题共5小题，总计24分)1、(本小题1分)2、(本小题2分)3、(本小题5分)4、(本小题5分)5、(本小题11分)五、解答以下各题(本大题共2小题，总计14分)1、(本小题7分)2、(本小题7分)试证：对角线向量是的平行四边形是菱形，并计算其边长。六、解答以下各题(本大题共3小题，总计20分)1、(本小题6分)2、(本小题6分)3、(本小题8分)七、解答以下各题(本大题共2小题，总计6分)1、(本小题1分)2、(本小题5分)二、填空题将正确答案填在横线上(本大题分4小题, 每题3分, 共12分)1、2、3、=10分4、三、解答以下各题(本大题共2小题，总计12分)1、(本小题6分)7分10分2、(本小题6分)用所截得的曲线为 4分故时为一对相交直线时为双曲线 10分四、解答以下各题(本大题共5小题，总计24分)1、(本小题1分)10分2、(本小题2分)7分10分3、(本小题5分)3分7分10分4、(本小题5分)4分6分8分10分5、(本小题11分)2分10分五、解答以下各题(本大题共2小题，总计14分)1、(本小题7分)2分6分8分10分2、(本小题7分)因为，故因此这个平行四边形的对角线是垂直的，于是它是菱形。6分边长=10分六、解答以下各题(本大题共3小题，总计20分)1、(本小题6分)4分8分10分(注如用切线平行于直线解也可以)2、(本小题6分)3分5分10分3、(本小题8分)3分6分10分七、解答以下各题(本大题共2小题，总计6分)1、(本小题1分)4分10分2、(本小题5分)4分6分10分二、填空题将正确答案填在横线上(本大题分3小题, 每题3分, 共9分)1、_.2、3、对于的值，讨论级数1当_时，级数收敛2当_时，级数发散三、解答以下各题(本大题共3小题，总计13分)1、(本小题4分)2、(本小题4分)级数是否收敛，是否绝对收敛？3、(本小题5分)设是以为期的函数，当时，。又设是的以为期的Fourier级数之和函数。试写出在的表达式。四、解答以下各题(本大题共5小题，总计23分)1、(本小题2分)2、(本小题2分)3、(本小题4分)4、(本小题7分)5、(本小题8分)试将函数在点处展开成泰勒级数。五、解答以下各题( 本大题5分 )如果幂级数在处条件收敛，那么该级数的收敛半径是多少? 试证之.六、解答以下各题(本大题共2小题，总计16分)1、(本小题7分)2、(本小题9分)七、解答以下各题( 本大题6分 )八、解答以下各题( 本大题6分 )九、解答以下各题( 本大题12分 )二、填空题将正确答案填在横线上(本大题分3小题, 每题3分, 共9分)1、10分2、10分3、时收敛时发散三、解答以下各题(本大题共3小题，总计13分)1、(本小题4分)4分8分10分2、(本小题4分)记由于 6分故原级数绝对收敛，从而收敛 10分3、(本小题5分)对作期为的延拓，在的表达式为 (3分)满足Fourier级数收敛的充分条件。 (5分)故 (10分)注：只要写出的表达式即可得10分。四、解答以下各题(本大题共5小题，总计23分)1、(本小题2分)5分8分10分2、(本小题2分)5分10分3、(本小题4分)4分6分8分10分4、(本小题7分)5分10分5、(本小题8分)因为 3分而 5分所以五、解答以下各题( 本大题5分 )由题意,知:当时, 级数绝对收敛； 4分当时, 级数不可能收敛. 8分故收敛半径是2. 10分六、解答以下各题(本大题共2小题，总计16分)1、(本小题7分)3分6分8分10分2、(本小题9分)3分6分8分10分七、解答以下各题( 本大题6分 )3分5分10分八、解答以下各题( 本大题6分 )5分10分九、解答以下各题( 本大题12分 )4分6分8分10分一、 一、             填空1. 1.        设当a=时，x=0是f(x)的连续点。解：2。解：3A，那么a=，b=，A=。解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于是有1a+b=0，用一次罗必达法那么分子仍为无穷小，有a+4b=0解出：a=-4/3 b=1/3 代入求得极限A8/34函数的极小值点为。解：驻点,在驻点处y>0,故驻点为极小值点。5设f (x) = x lnx在x0处可导，且f(x0)=2,那么f (x0)= 。解：那么f(x)在x=0取得填极大值或极小值。解：二、是否连续？是否可导？并求f(x)的导函数。解：当x>0及x<0时，f(x)为初等函数，连续。三、 三、             解以下各题1解：原式.2；解：原式3,求此曲线在x=2 的点处的切线程,及。解： 四、 四、           试确定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在点(1,-1)处有拐点，且在x=0处有极大值为1，并求此函数的极小值。解：五、 五、             假设直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。解：设所给直角边为x,斜边与其之和为L，那么六、 六、             证明不等式：七、 七、             y=f(x)与y=sin(x)在原点相切，求极限八、 八、             设f (x)在0,1上连续且在 (0,1 ) 可导，且f (0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1. 证明：(1)至少有一点(1/2,1)，使得f()=;(2)"lÎR ，存在hÎ(0,x)，使得f(h)-lf(h)-h=1证：1令F(x)=f(x)-x,那么f在0,1连续，在(0,1)可导，F1/2=f(1/2)-1/2>0F(1)=f(1)-1=0-1<0,在(1/2,1)至少有一点x，使Fx=0,即f (x)=x.。(2)证：一、 一、    选择题每题4分，共16分1 D 。A、； B、； C、； D、2设在处可导，且，那么 B 。A、； B、； C、； D、。3假设是的一个原函数，那么 D 。A、； B、；C、； D、。4函数在处取得极值，那么 B 。A、且为函数的极小值点；B、且为函数的极小值点；C、且为函数的极大值点；D、且为函数的极大值点。二、填空题每题5分，共20分1。2。3。4设为向量，为实数。假设，那么。三、计算以下各题每题9分，共45分1求极限。解：2函数由程确定，求。解： 又，得。3求定积分。解：4求过点且与平面和平行的直线程。解：，。5设，求。解：，四、7分长为的铁丝切成两段，一段围成正形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各为多长时，正形的面积与圆的面积之和最小？解：设正形的边长为，那么正形的面积与圆的面积之和为。，。所以两段铁丝分别为时，正形的面积与圆的面积之和最小。五、解答以下各题每题4分，共12分1设曲线，轴以及轴所围区域被曲线分成面积相等的两局部，求。解：由，2设函数在上连续，且。判断程在有几个实根？并证明你的结论。解：，在上连续，所以在有一个零点。又，在上是单调递增的，所以在有唯一零点，即在有唯一实根。3、设函数在上可导，且，求证在至少存在一点，使得。解：，在上可导。由，存在，使得，即。由Roll定理，存在，使得，即。高等数学第一学期半期试题解答05一 一            共20分试解以下各题：1。解：2。解：3设。那么a= 4 , A= -6 4函数的极小值点。5. 二 二            10分假设是奇函数且x=0在可导,在x=0是什么类型的连续点？说明理由。三 三            共20分求以下极限1；解：原式2.；解：原式3,求此曲线在x=2 的点处的切线程,及。四 四            10分证明：当时，。五 五            10分求接于椭圆，且底边与x轴平行的等腰三角形之面积的最大值。解：六 六            10分证明：程在0，1上必有唯一的实根(n>2)，并求。证：七 七            10分确定常数a、b,使极限存在，并求出其值。解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于是有1a+b=0，用一次罗必达法那么分子仍为无穷小，有a+4b=0解出：a=-4/3 b=1/3 代入求得极限为8/3 八 八            10分设f (x)在a,b上连续，在(a,b)可微，且f (a) = f (b) =0,证明：对。 证明：构造函数F(x)=e-lx f (x) 那么F(x)在a,b上连续，在(a,b)可微F (a) = F (b) =0由罗尔定理即有证毕。. .word.zl.