高等数学下册知识点.doc

. .第八章 向量与解析几何向量代数两点间的距离公式：方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作或模向量的模记作和差单位向量，那么方向余弦设与轴的夹角分别为，那么方向余弦分别为点乘数量积，为向量a与b的夹角叉乘向量积为向量a与b的夹角向量与，都垂直定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦投影向量在非零向量上的投影 曲面、空间曲线及其方程1、曲面及其方程: F(x, y, z) = 0，旋转曲面【绕谁不换谁，正负根号里没有谁；作图时先画母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母线特点得柱面】，二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】；要熟悉常见的曲面及其方程并会作2、旋转曲面：面上曲线，绕轴旋转一周：绕轴旋转一周：1、 柱面：表示母线平行于轴，准线为的柱面2、 二次曲面:椭圆锥面： 椭球面：旋转椭球面： 单叶双曲面：双叶双曲面： 椭圆抛物面：双曲抛物面马鞍面： 椭圆柱面：双曲柱面： 抛物柱面：空间曲线及其方程:一般方程： 参数方程：如螺旋线：空间曲线在坐标面上的投影，消去，得到曲线在面上的投影3:曲线曲面或空间立体在坐标面上的投影：投谁便消去谁平面方程与直线方程平面直线法向量 点方向向量 点方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式一般式点法式点向式三点式参数式截距式两点式面面垂直线线垂直面面平行线线平行线面垂直线面平行点面距离面面距离面面夹角线线夹角线面夹角第九章 多元函数微分法及其应用（一） 根本概念距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。1、 多元函数：，图形：2、 极限：3、 连续：4、 偏导数：5、 方向导数： 其中为的方向角。6、 梯度：，那么。7、 全微分：设，那么（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342、 闭区域上连续函数的性质有界性定理，最大最小值定理，介值定理3、 微分法1） 定义： 2） 复合函数求导：链式法那么 假设，那么 ，3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程组（三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数的极值解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令， 假设，函数有极小值，假设，函数有极大值； 假设，函数没有极值； 假设，不定。2） 条件极值：求函数在条件下的极值令： Lagrange函数解方程组 2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线，那么上一点对应参数为处的切线方程为：法平面方程为：2） 曲面的切平面与法线曲面，那么上一点处的切平面方程为： 法线方程为：空间曲线：切向量切“线方程：法平“面方程：切向量切“线方程：法平“面方程：空间曲面：法向量切平“面方程：法“线“方程：或切平“面方程：法“线“方程：第十章重积分重积分积分类型计算方法典型例题二重积分平面薄片的质量质量=面密度面积（1） 利用直角坐标系X型 Y型 P141例1、例32利用极坐标系 使用原那么(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段 )；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含,为实数)P147例53利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，关于x轴对称时，有类似结论P141例2应用该性质更方便计算步骤及考前须知1 画出积分区域2 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易别离3 确定积分次序 原那么：积分区域分块少，累次积分好算为妙4 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域5 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性三重积分空间立体物的质量质量=密度面积(1) 利用直角坐标投影P159例1P160例2有先一后二和先二后一之分（2） 利用柱面坐标相当于在投影法的根底上直角坐标转换成极坐标适用X围:积分区域外表用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体被积函数用柱面坐标表示时变量易别离.如P161例33利用球面坐标适用X围:积分域外表用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.被积函数用球面坐标表示时变量易别离.如，P16510-(1)4利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分曲形构件的质量质量=线密度弧长参数法转化为定积分123P189-例1P1903平面第二类曲线积分变力沿曲线所做的功（1） 参数法转化为定积分P196-例1、例2、例3、例42利用格林公式转化为二重积分条件：L封闭，分段光滑，有向左手法那么围成平面区域DP，Q具有一阶连续偏导数结论：应用：P205例4P214-5(1)(4)3利用路径无关定理特殊路径法等价条件：与路径无关，与起点、终点有关具有原函数特殊路径法，偏积分法，凑微分法 P211-例5、例6、例74两类曲线积分的联系空间第二类曲线积分变力沿曲线所做的功1参数法转化为定积分2利用斯托克斯公式转化第二类曲面积分条件：L封闭，分段光滑，有向P，Q，R具有一阶连续偏导数结论：应用：P240-例1第一类曲面积分曲面薄片的质量质量=面密度面积投影法：投影到面类似的还有投影到面和面的公式P217-例1、例2第二类曲面积分流体流向曲面一侧的流量1投影法：，为的法向量与轴的夹角前侧取“+，；后侧取“，：，为的法向量与轴的夹角右侧取“+，；左侧取“，：，为的法向量与轴的夹角上侧取“+，；下侧取“，P226-例22高斯公式右手法那么取定的侧条件：封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧P，Q，R具有一阶连续偏导数结论：应用：P231-例1、例23两类曲面积分之间的联系转换投影法：P228-例3所有类型的积分：定义：四步法分割、代替、求和、取极限；性质：对积分的X围具有可加性，具有线性性；对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。第十二章 级数无穷级数常数项级数傅立叶级数幂级数一般项级数正项级数用收敛定义，存在常数项级数的根本性质常数项级数的根本性质 假设级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. 两个收敛级数的和差仍收敛.注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性. 假设级数收敛, 那么对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。 推论: 如果加括号后所成的级数发散, 那么原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛.必要条件 如果级数收敛, 那么莱布尼茨判别法假设且，那么收敛那么级数收敛.和都是正项级数，且.假设收敛，那么也收敛；假设发散，那么也发散.比拟判别法比拟判别法的极限形式和都是正项级数，且，那么假设,与同敛或同散;假设,收敛,也收敛；如果，发散，也发散。比值判别法根值判别法是正项级数，,那么时收敛；()时发散；时可能收敛也可能发散.收敛性和函数展成幂级数,缺项级数用比值审敛法求收敛半径的性质在收敛域上连续;在收敛域内可导，且可逐项求导;和函数在收敛域上可积分，且可逐项积分.(不变,收敛域可能变化).直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式 收敛定理 是连续点,收敛于;是连续点,收敛于周期延拓为奇函数，正弦级数，奇延拓；为偶函数，余弦级数、偶延拓.交织级数. .word.