概率论及数理统计复习提纲.doc

. .第一章 随机事件及其概率一、随机事件及其运算1. 样本空间、随机事件样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示；样本空间：样本点的全集，用表示；注：样本空间不唯一.随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,表示；必然事件就等于样本空间；不可能事件是不包含任何样本点的空集；根本领件就是仅包含单个样本点的子集。2. 事件的四种关系包含关系：，事件A发生必有事件B发生；等价关系：， 事件A发生必有事件B发生，且事件B发生必有事件A 发生；互不相容互斥： ，事件A与事件B一定不会同时发生。对立关系互逆：，事件发生事件A 必不发生，反之也成立；互逆满足注：互不相容和对立的关系对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。3. 事件的三大运算事件的并：，事件A与事件B至少有一个发生。假设，那么；事件的交：，事件A与事件B都发生；事件的差：，事件A发生且事件B不发生。4. 事件的运算规律交换律：结合律：分配律：德摩根De Morgan定律： 对于n个事件，有二、随机事件的概率定义和性质1公理化定义：设试验的样本空间为，对于任一随机事件都有确定的实值P(A)，满足以下性质：(1) 非负性：(2) 规X性：(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件，有.那么称P(A)为随机事件A的概率.2概率的性质假设，那么注：性质的逆命题不一定成立的.如假设那么。×假设，那么。×三、 古典概型的概率计算古典概型：假设随机试验满足两个条件：只有有限个样本点,每个样本点发生的概率一样，那么称该概率模型为古典概型,。典型例题：设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，那么(1)在放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品不妨设事件A1的概率为(2)在不放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品不妨设事件A2的概率为四、条件概率及其三大公式1.条件概率：2.乘法公式：3.全概率公式：假设，那么。4.贝叶斯公式：假设事件如全概率公式所述，且 .五、事件的独立1. 定义：.推广：假设相互独立，2. 在四对事件中，只要有一对独立，那么其余三对也独立。3. 三个事件A, B, C两两独立：注：n个事件的两两独立与相互独立的区别。相互独立两两独立，反之不成立。4.伯努利概型：1.事件的对立与互不相容是等价的。X2.假设那么。X3.。(X)4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为。()5. n个事件假设满足，那么n个事件相互独立。(X)6. 当时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。第二章 随机变量及其分布一、随机变量的定义：设样本空间为，变量为定义在上的单值实值函数，那么称为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质1. 定义：设随机变量，对于任意实数，函数称为随机变量的概率分布函数，简称分布函数。注：当时，(1)X是离散随机变量，并有概率函数那么有(2) X连续随机变量，并有概率密度f (x)，那么.2. 分布函数性质：1F(x)是单调非减函数，即对于任意x1 <x2，有；2；且；3离散随机变量X，F (x)是右连续函数, 即；连续随机变量X，F(x)在-，+上处处连续。注：一个函数假设满足上述3个条件，那么它必是某个随机变量的分布函数。三、离散随机变量及其分布1. 定义. 设随机变量X只能取得有限个数值，或可列无穷多个数值且，那么称X为离散随机变量,pi(i=1,2,)为X的概率分布，或概率函数 (分布律).注：概率函数pi的性质:2.几种常见的离散随机变量的分布：1超几何分布，XH(N,M,n)，2二项分布，XB(n.,p)，当n=1时称X服从参数为p的两点分布或01分布。假设Xi(i=1,2,n)服从同一两点分布且独立，那么服从二项分布。3泊松(Poisson)分布，四、连续随机变量及其分布1.定义.假设随机变量X的取值X围是某个实数区间I，且存在非负函数f(x)，使得对于任意区间，有那么称X为连续随机变量; 函数f (x)称为连续随机变量X的概率密度函数，简称概率密度。注1：连续随机变量X任取某一确定值的概率等于0,即注2：2. 概率密度f (x)的性质：性质1：性质2：注1：一个函数假设满足上述2个条件，那么它必是某个随机变量的概率密度函数。注2：当时，且在f(x)的连续点x处，有3.几种常见的连续随机变量的分布：(1) 均匀分布，(2) 指数分布,(3) 正态分布，1.概率函数与密度函数是同一个概念。 X 2.当N充分大时，超几何分布H (n, M, N)可近似成泊松分布。( X )3.设X是随机变量，有。( X )4.假设的密度函数为=，那么 ( X )第三章 随机变量的数字特征一、期望或均值1定义：2期望的性质：3. 随机变量函数的数学期望4. 计算数学期望的方法(1) 利用数学期望的定义；(2) 利用数学期望的性质；常见的根本方法：将一个比拟复杂的随机变量X拆成有限多个比拟简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.(3)利用常见分布的期望；1方差注：D(X)=EX-E(X)20；它反映了随机变量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。2方差的性质(4) 对于任意实数CR，有 E ( X-C )2D( X )当且仅当C = E(X)时, E ( X-C )2取得最小值D(X).(5) (切比雪夫不等式):设X的数学期望E(X) 与方差D(X) 存在,对于任意的正数有或 3. 计算(1) 利用方差定义；(2) 常用计算公式(3) 方差的性质；(4) 常见分布的方差.注：常见分布的期望与方差1.假设XB(n, p), 那么E(X)=np, D(X) = npq;2. 假设3. 假设XU(a, b), 那么4. 假设5. 假设三、原点矩与中心矩总体X的k阶原点矩：总体X的k阶中心矩：1.只要是随机变量，都能计算期望和方差。( X )2.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。()3.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。( X )4.方差的实质是随机变量函数的期望。()5.对于任意的X,Y，都有成立。(X)第四章 正态分布一、正态分布的定义1. 正态分布概率密度为其分布函数为注：.正态密度函数的几何特性：2. 标准正态分布当时，其密度函数为且其分布函数为的性质：3.正态分布与标准正态分布的关系定理：假设 那么.定理：设那么二、正态分布的数字特征设那么1. 期望E(X)2.方差D(X)3.标准差三、正态分布的性质1线性性. 设那么；2可加性. 设且X和Y相互独立，那么3线性组合性 设，且相互独立，那么四、中心极限定理1.独立同分布的中心极限定理设随机变量相互独立，服从一样的分布，且那么对于任何实数x，有定理解释：假设满足上述条件，有1；32. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理设那么定理解释：假设当n充分大时，有1；21.假设那么 X 2.假设那么 3.设随机变量X与Y均服从正态分布：4.连续随机变量X的概率密度函数为那么X的数学期望为_1_; X的方差为_1/2_.第五章 数理统计的根本知识一、总体 个体 样本1.总体：把研究对象的全体称为总体 (或母体).它是一个随机变量，记X.2.个体：总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值.3.样本：从总体X中，随机地抽取n个个体, 称为总体X的容量为n的样本。注： 样本是一个n维的随机变量； 本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满足2个特性： 代表性：中每一个与总体X有一样的分布. 独立性：是相互独立的随机变量.4.样本的联合分布设总体X的分布函数为F(x)，那么样本的联合分布函数为(1) 设总体X的概率密度函数为f (x), 那么样本的联合密度函数为(2) 设总体X的概率函数为, 那么样本的联合概率函数为二、统计量1. 定义 不含总体分布中任何未知参数的样本函数称为统计量,是的观测值.注：1统计量是随机变量； 2统计量不含总体分布中任何未知参数； 3统计量的分布称为抽样分布.2. 常用统计量1样本矩：样本均值 ； 其观测值 .可用于推断：总体均值E(X).样本方差 ; 其观测值 可用于推断：总体方差D(X).样本标准差其观测值 样本k 阶原点矩其观测值 样本k 阶中心矩其观测值 注：比拟样本矩与总体矩，如样本均值和总体均值E(X)；样本方差与总体方差D(X)；样本k阶原点矩与总体k阶原点矩；样本k阶中心矩与总体k阶原点矩. 前者是随机变量，后者是常数.(2)样本矩的性质:设总体X的数学期望和方差分别为，为样本均值、样本方差，那么3.抽样分布：统计量的分布称为抽样分布.三、 3大抽样分布： 定义.设相互独立，且，那么注：假设那么2性质可加性设相互独立，且那么2. t分布： 设X 与Y 相互独立,且那么注：t分布的密度图像关于t=0对称；当n充分大时，t分布趋向于标准正态分布N(0,1).3. F分布: 定义. 设X与Y相互独立，且那么(2) 性质. 设那么.四、分位点定义：对于总体X和给定的假设存在，使得那么称为X分布的分位点。注：常见分布的分位点表示方法1分布的分位点 2分布的分位点 其性质：3分布的分位点其性质4N(0,1)分布的分位点有第六章 参数估计一、点估计:设为来自总体X的样本，为X中的未知参数，为样本值，构造某个统计量作为参数的估计，那么称为的点估计量，为的估计值.2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.二、矩估计法1.根本思想: 用样本矩原点矩或中心矩代替相应的总体矩.2.求总体X的分布中包含的m个未知参数的矩估计步骤： 求出总体矩,即； 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程： 解上述方程或方程组得到的矩估计量为：的矩估计值为：3. 矩估计法的优缺点： 优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式. 缺点：没有充分利用总体分布提供的信息；矩估计量不具有唯一性；可能估计结果的精度比其它估计法的低三、最大似然估计法1. 直观想法：在试验中，事件A的概率P(A)最大, 那么A出现的可能性就大；如果事件A出现了，我们认为事件A的概率最大.2. 定义 设总体X的概率函数或密度函数为或，其中参数未知，那么X的样本的联合概率函数或联合密度函数或称为似然函数.3. 求最大似然估计的步骤：1求似然函数:X离散：X连续：2求和似然方程：3解似然方程，得到最大似然估计值：4最后得到最大似然估计量：4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比拟优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.四、 估计量的评价标准1.无偏性:设是未知参数的估计量，假设，那么是的无偏估计量，是的无偏估计值。有效性:设和是未知参数的无偏估计量，假设，那么称比有效。1.假设是来自总体X的样本，那么相互独立. 2.不含总体X的任何未知参数的样本函数就是统计量. ( )3.样本矩与总体矩是等价的。 X 4.矩估计法的根本思想是用总体矩代替样本矩，故矩估计量不唯一.( X )设总体，那么估计量分别是的无偏估计量.( X ). .word.