人教版数学必修1_复习知识点归纳.doc

- .必修1 第一章 集合与函数概念1.1集合【1.1.1】集合的含义与表示1集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.2常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.3集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.4集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合.描述法：|具有的性质，其中为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.5集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合间的根本关系6子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集或A中的任一元素都属于B(1)AA(2)(3)假设且，那么(4)假设且，那么或真子集AB或BA，且B中至少有一元素不属于A1A为非空子集(2)假设且，那么集合相等A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BA7集合有个元素，那么它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.【1.1.3】集合的根本运算8交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集且123BA并集或123BA补集1234A【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法1含绝对值的不等式的解法不等式解集或把看成一个整体，化成，型不等式来求解2一元二次不等式的解法判别式二次函数的图象一元二次方程的根其中无实根的解集或的解集1.2函数及其表示【1.2.1】函数的概念1函数的概念设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法那么，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应包括集合，以及到的对应法那么叫做集合到的一个函数，记作函数的三要素:定义域、值域和对应法那么只有定义域一样，且对应法那么也一样的两个函数才是同一函数2区间的概念及表示法设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须3求函数的定义域时，一般遵循以下原那么：是整式时，定义域是全体实数是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1中，零负指数幂的底数不能为零假设是由有限个根本初等函数的四那么运算而合成的函数时，那么其定义域一般是各根本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：假设的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进展分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义4求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法根本上是一样的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小大数，这个数就是函数的最小大值因此求函数的最值与值域，其实质是一样的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比拟简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值围确定函数的值域或最值判别式法：假设函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，那么在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用根本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换到达化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2】函数的表示法5函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系6映射的概念设、是两个集合，如果按照某种对应法那么，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应包括集合，以及到的对应法那么叫做集合到的映射，记作给定一个集合到集合的映射，且如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象1.3函数的根本性质【1.3.1】单调性与最大小值1函数的单调性定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o1利用定义2利用函数的单调性3利用函数图象在某个区间图 象上升为增4利用复合函数如果对于属于定义域I某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数y=f(X)yxoxx2f(x )f(x )2111利用定义2利用函数的单调性3利用函数图象在某个区间图象下降为减4利用复合函数在公共定义域，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数，令，假设为增，为增，那么为增；假设为减，为减，那么为增；假设为增，为减，那么为减；假设为减，为增，那么为减2打“函数的图象与性质yxo分别在、上为增函数，分别在、上为减函数3最大小值定义一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：1对于任意的，都有；2存在，使得那么，我们称是函数的最大值，记作一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：1对于任意的，都有；2存在，使得那么，我们称是函数的最小值，记作【1.3.2】奇偶性4函数的奇偶性定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域任意一个x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做奇函数1利用定义要先判断定义域是否关于原点对称2利用图象图象关于原点对称如果对于函数f(x)定义域任意一个x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数1利用定义要先判断定义域是否关于原点对称2利用图象图象关于y轴对称假设函数为奇函数，且在处有定义，那么奇函数在轴两侧相对称的区间增减性一样，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域，两个偶函数或奇函数的和或差仍是偶函数或奇函数，两个偶函数或奇函数的积或商是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积或商是奇函数补充知识函数的图象1作图利用描点法作图：确定函数的定义域； 化解函数解析式；讨论函数的性质奇偶性、单调性； 画出函数的图象利用根本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种根本初等函数的图象平移变换伸缩变换对称变换第二章 根本初等函数()2.1指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算1根式的概念如果，且，那么叫做的次方根当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时，2分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：且0的正分数指数幂等于0正数的负分数指数幂的意义是：且0的负分数指数幂没有意义注意口诀：底数取倒数，指数取相反数3分数指数幂的运算性质【2.1.2】指数函数及其性质4指数函数函数名称指数函数定义0101函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限，越大图象越高；在第二象限，越大图象越低2.2对数函数【2.2.1】对数与对数运算1对数的定义假设，那么叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：2几个重要的对数恒等式，3常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即其中4对数的运算性质如果，那么加法：减法：数乘：换底公式：【2.2.2】对数函数及其性质5对数函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象0101定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的 影响在第一象限，越大图象越靠低；在第四象限，越大图象越靠高(6)反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成7反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式中反解出；将改写成，并注明反函数的定义域8反函数的性质原函数与反函数的图象关于直线对称函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域假设在原函数的图象上，那么在反函数的图象上一般地，函数要有反函数那么它必须为单调函数2.3幂函数1幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数2幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点 单调性：如果，那么幂函数的图象过原点，并且在上为增函数如果，那么幂函数的图象在上为减函数，在第一象限，图象无限接近轴与轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当其中互质，和，假设为奇数为奇数时，那么是奇函数，假设为奇数为偶数时，那么是偶函数，假设为偶数为奇数时，那么是非奇非偶函数图象特征：幂函数，当时，假设，其图象在直线下方，假设，其图象在直线上方，当时，假设，其图象在直线上方，假设，其图象在直线下方3幂函数的图象补充知识二次函数1二次函数解析式的三种形式一般式：顶点式：两根式：2求二次函数解析式的方法三个点坐标时，宜用一般式抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大小值有关时，常使用顶点式假设抛物线与轴有两个交点，且横线坐标时，选用两根式求更方便3二次函数图象的性质二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，二次函数当时，图象与轴有两个交点4一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要容，这局部知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理韦达定理的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程的两实根为，且令，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：对称轴位置：判别式：端点函数值符号kx1x2x1x2kx1kx2af(k)0k1x1x2k2有且仅有一个根x1或x2满足k1x1或x2k2f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合k1x1k2p1x2p2此结论可直接由推出 5二次函数在闭区间上的最值 设在区间上的最大值为，最小值为，令当时开口向上最小值 假设，那么假设，那么xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)假设，那么xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)最大值 假设，那么，那么xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)()当时(开口向下)最大值假设，那么假设，那么xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)假设，那么最小值假设，那么，那么xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)- . 可修编.