2019-2020学年高考数学一轮复习-与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题导学案.doc

2019-2020学年高考数学一轮复习 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题导学案 知识梳理 教学重、难点 作业完成情况 典题探究例1 在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x5)2y29外，且对C1上任意一点M，M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y0±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值例2如图，椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分(1)求椭圆C的方程；(2)求ABP面积取最大值时直线l的方程 例3如图，椭圆的中心为原点O，离心率e，且2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P满足：2，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为.问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由例4在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e ，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由 演练方阵A档（巩固专练）1已知点,抛物线的焦点是,若抛物线上存在一点,使得最小,则点的坐标为（）ABCD2已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,则该椭圆的离心率是（）ABCD3抛物线的焦点为,点为抛物线上的动点,点为其准线上的动点,当为等边三角形时,其面积为AB4C6D4已知抛物线的焦点到其准线的距离是，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则的面积为（）A32B16C8D45点是抛物线上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横坐标为（）A2B3C4D5 6已知直线和直线，抛物线上一动点到直线 和直线的距离之和的最小值是（）ABCD7抛物线的准线方程是_;该抛物线的焦点为,点在此抛物线上,且,则_. 8已知椭圆:的两个焦点分别为,离心率为,且过点.()求椭圆的标准方程;(),是椭圆上的四个不同的点,两条都不和轴垂直的直线和分别过点,且这两条直线互相垂直,求证:为定值. 9已知椭圆和点,垂直于轴的直线与椭圆交于两点,连结交椭圆于另一点.()求椭圆的焦点坐标和离心率;()证明直线与轴相交于定点.10已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,一个顶点为,且其右焦点到直线的距离等于3.()求椭圆的方程;()是否存在经过点,斜率为的直线,使得直线与椭圆交于两个不同的点,并且?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由. B档（提升精练）1双曲线的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于（）ABCD2抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（）ABCD3已知双曲线的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）ABCD4已知，分别是双曲线：的两个焦点，双曲线和圆：的一个交点为，且，那么双曲线的离心率为（）ABCD5已知P是中心在原点，焦距为的双曲线上一点，且的取值范围为，则该双曲线方程是（）ABCD6已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则的面积为（）A4B8C16D32 7方程的曲线是（）A一个点B一条直线C两条直线D一个点和一条直线8已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（）ABCD 9已知直线和直线，抛物线上一动点到直线 和直线的距离之和的最小值是（）ABCD10椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（） A. B. C. D.C档（跨越导练）1已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18 B24 C36 D482设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)3若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则O·F的取值范围为()A32，) B32，)C. D.4定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离已知曲线C1：yx2a到直线l：yx的距离等于曲线C2：x2(y4)22到直线l：yx的距离，则实数a_.5已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为()A2 B C1 D06抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是()A. B. C. D37设抛物线C：y24x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A，B两点(1)设L的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：·是一个定值8在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由9抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M(0，2)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足(4，12)(1)求直线l和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P从点A运动到点B时，求ABP面积的最大值10已知动点与一定点的距离和它到一定直线的距离之比为.() 求动点的轨迹的方程；（）已知直线交轨迹于、两点，过点、分别作直线的垂线，垂足依次为点、.连接、，试探索当变化时，直线、是否相交于一定点？若交于定点，请求出点的坐标，并给予证明；否则说明理由. 成长足迹 课后检测 学习（课程）顾问签字： 负责人签字： 教学主管签字： 主管签字时间： 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题参考答案典题探究例1(1)解法一设M的坐标为(x，y)，由已知得|x2|3.易知圆C2上的点位于直线x2的右侧，于是x20，所以x5.化简得曲线C1的方程为y220x.法二由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x5的距离因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x5为准线的抛物线故其方程为y220x.(2)证明当点P在直线x4上运动时，P的坐标为(4，y0)，又y0±3，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为yy0k(x4)，即kxyy04k0.于是3.整理得72k218y0ky90.设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程的两个实根，故k1k2.由得k1y220y20(y04k1)0.设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程的两个实根，所以y1y2.同理可得y3y4.于是由，三式得y1y2y3y46 400.所以，当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6 400.例2解(1)设椭圆左焦点为F(c,0)，则由题意得得所以椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x0，与不过原点的条件不符，舍去故可设直线AB的方程为ykxm(m0)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120，(1)则64k2m24(34k2)(4m212)0，所以线段AB的中点M.因为M在直线OP：yx上，所以.得m0(舍去)或k.此时方程(1)为3x23mxm230，则3(12m2)0，所以|AB|·|x1x2|·.设点P到直线AB距离为d，则d.设ABP的面积为S，则S|AB|·d·.其中m(2 ，0)(0,2 )令u(m)(12m2)(m4)2，m2 ，2 ，u(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1)(m1)所以当且仅当m1，u(m)取到最大值故当且仅当m1，S取到最大值综上，所求直线l方程为3x2y2 20.例3解(1)由e，2，解得a2，c，b2a2c22，故椭圆的标准方程为1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由2，得(x，y)(x1，y1)2(x2，y2)(x12x2，y12y2)，即xx12x2，yy12y2.因为点M、N在椭圆x22y24上，所以x2y4，x2y4，故x22y2(x4x4x1x2)2(y4y4y1y2)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知kOM·kON，因此x1x22y1y20，所以x22y220.所以P点是椭圆1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|PF2|为定值，又因c，因此两焦点的坐标为F1(，0)，F2(，0)例4满分解答(1)由e ，得ab，椭圆C：1，即x23y23b2，设P(x，y)为C上任意一点，则|PQ| ，byb.若b1，则b1，当yb时，|PQ|max 3，又b0，得b1(舍去)，若b1，则b1，当y1时，|PQ|max 3，得b1.椭圆C的方程为y21.(6分)(2)法一假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有n21，即n21，m.由题意可得SAOB|OA|·|OB|sinAOBsinAOB，当AOB90°时取等号，这时AOB为等腰直角三角形，此时圆心(0,0)到直线mxny1的距离为，则，得m2n22，又n21，解得m2，n2，即存点M的坐标为，满足题意，且AOB的最大面积为.(12分)法二假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有n21，即n21，m，又设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由，消去y得(m2n2)x22mx1n20，把n21代入整理得(32m2)x26mxm20，则8m2(3m2)0，而SAOB|OA|·|OB|sinAOBsinAOB，当AOB90°，SAOB取得最大值，此时·x1x2y1y20，又y1y2·，x1x20，即33m(x1x2)(32m2)·x1x20，把代入上式整理得2m49m290，解得m2或m23(舍去)，m±，n± ±，M点的坐标为，使得SAOB取得最大值.演练方阵A档（巩固专练）1答案：D2答案：D3答案：D4答案：A解：由题意知，所以抛物线方程为，焦点,准线方程，即,设, 过A做垂直于准线于M,由抛物线的定义可知,所以,即,所以，整理得，即，所以，所以,5答案：B解：抛物线的准线为，根据抛物线的对应可知，到该抛物线焦点的距离等于到该准线的距离，即，所以，即点的横坐标为3，选B.6答案：B解：因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。所以设到准线的距离为,则。到直线的距离为，所以,其中为焦点到直线的距离，所以，所以距离之和最小值是2，选B.7答案：,;8解析：()解:由已知, 所以. 所以. 所以:,即. 因为椭圆过点, 得,. 所以椭圆的方程为. ()证明:由()知椭圆的焦点坐标为,. 根据题意, 可设直线的方程为, 由于直线与直线互相垂直,则直线的方程为. 设,. 由方程组消得 . 则 . 所以=. 同理可得. 所以. 9解析：()由题意知: 所以 所以,焦点坐标为; 离心率 ()由题意知:直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为 , ,则, 由 得 则 (1) 直线AE的方程为, 令,得 (2) 又 , 代入(2)式,得 (3) 把(1)代入(3)式,整理得 所以直线AE与轴相交于定点 10解析:()设椭圆的方程为,其右焦点的坐标为. 由已知得.由得,所以 所以,椭圆的方程为 ()假设存在满足条件的直线,设, 的中点为 由得, 则,且由得 由得,所以, 即, 所以,将代入解得 , 所以 故存在满足条件的直线,其方程为 B档（提升精练）答案： D答案： B答案： D答案： D答案： C6答案：D解：双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为，所以，即。所以抛物线方程为，焦点,准线方程，即,设, 过A做垂直于准线于M,由抛物线的定义可知,所以,即,所以，整理得，即，所以，所以,选D.7答案：C【解析】由得，即，为两条直线，选C.8答案：D 【解析】由题意知三角形为等腰直角三角形，所以，所以点，代入双曲线方程，当时，得，所以由，的，即，所以，解得离心率，选D. 9答案：B 解析：因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。所以设到准线的距离为,则。到直线的距离为，所以,其中为焦点到直线的距离，所以，所以距离之和最小值是2，选B. 10答案：D解：当点P位于椭圆的两个短轴端点时，为等腰三角形，此时有2个。,若点不在短轴的端点时，要使为等腰三角形，则有或。此时。所以有，即，所以，即，又当点P不在短轴上，所以，即，所以。所以椭圆的离心率满足且，即，所以选D.C档（跨越导练）1答案： C解析：不妨设抛物线的标准方程为y22px(p0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x.代入y22px得y±p，即|AB|2p，又|AB|12，故p6，所以抛物线的准线方程为x3，故SABP×6×1236.2答案：C解析：x28y，焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y2.由抛物线的定义知|MF|y02.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2(y2)2(y02)2.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故4y02，y02.3答案：B如图，由c2得a214，a23，双曲线方程为y21. 设P(x，y)(x)，O·F(x，y)·(x2，y)x22xy2x22x1x22x1(x)令g(x)x22x1(x)，则g(x)在，)上单调递增g(x)ming()32.O·F的取值范围为32，)4答案:解析因曲线C2：x2(y4)22到直线l：yx的距离为 2 ，则曲线C1与直线l不能相交，即x2ax，x2ax0.设C1：yx2a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d，所以a.答案5答案： A解析：由已知得A1(1,0)，F2(2,0)设P(x，y)(x1)，则·(1x，y)·(2x，y)4x2x5.令f(x)4x2x5，则f(x)在1，)上单调递增，所以当x1时，函数f(x)取最小值，即·取最小值，最小值为2.6答案： A可知过抛物线点的切线与直线4x3y80平行时，所求的距离最小，y2x.令2x，解得x，从而切点坐标为，切线方程为y，即4x3y0，由两平行线间距离公式，得点到直线的距离的最小值为d7(1)解F(1,0)，直线L的方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x26x10，x1x26，x1x21.|AB|··8.(2)证明设直线L的方程为xky1，由得y24ky40.y1y24k，y1y24，(x1，y1)，(x2，y2)O·x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143.·是一个定值8解(1)由已知，得直线l的方程为ykx，代入椭圆方程，得(kx)21，整理，得x22kx10，直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k24×4k220，解得k或k，即k的取值范围为.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由方程，得x1x2，又y1y2k(x1x2)2.而A(，0)，B(0,1)，(，1)，所以与共线等价于x1x2(y1y2)，将代入上式，解得k，由(1)知k或k，故没有符合题意的常数k.9解答：(1)根据题意可设直线l的方程为ykx2，抛物线方程为x22py(p0)由得x22pkx4p0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.所以(4，12)，所以解得故直线l的方程为y2x2，抛物线方程为x22y.(2)设P(x0，y0)，依题意，知当抛物线过点P的切线与l平行时，ABP的面积最大对yx2求导，得yx，所以x02，即x02，y0x2，即P(2，2)此时点P到直线l的距离d.由得x24x40，则x1x24，x1x24，|AB| · ·4 .于是，ABP面积的最大值为×4 ×8 .10解：()由题意得，化简并整理，得 .所以动点的轨迹的方程为椭圆. （）当时，、，、直线的方程为：，直线的方程为：，方程联立解得，直线、相交于一点.假设直线、相交于一定点. 证明：设，则，由消去并整理得，显然，由韦达定理得，. 因为，所以 所以，所以、三点共线， 同理可证、三点共线，所以直线、相交于一定点.