微分几何第四版习题答案梅向明.docx
精品名师归纳总结% snvord H J1JH .Ö. Ö. naaarxaa»aczsxoa»«r-ü.s: «5 sass. x» ='»a.se « = » x = o.&Z.H Z xr=Ö. Ü .r= Ar äJTR&'A Z = A 'a+ ,1ä', T&rx "r, = A' » x a' . sie -o aa x «'. ar-oe,%tearsrs.a 4o ».x » x s , x » » »' ;'=»'a"- » - »'=a". & sAxis;eir.-s»'= o. «»' =é .$ a » eac. so.raais:sa a.o Bixak&9ka4am «a «-1 .« &/täiZ H Zr &BTläiR3'& . iitö 03'JIö &4-&ki£iäJR. fi. ü.t n fi&. &.9-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结* = o . éib:&BB& r' - n = o .#'r- -i ii= o ,&ö ¥ . .r' .P' BBTä14t¥fiL r.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax.p r- r'r” 1 =0,gig»r' = 0a» X » x0 . r Y »=0 ,itj1&& i»rx«noza, nse»+aoea. s« r «a, ssaasas«. x«, sr'-6.+ y z' x '',ai xé . r/a1 I,+= x 'Ca+s«»«A ä =rx:+'=y -x -« », +a» »-a. a+a» » aaaz». «1+ a. o f»1.&&RRHz= cosr.J'=sin r r=r & 11, 0, 01 &äJHTlR4'&.§ cos/=t, sÄ / =0,t <I 1é t=0,/'0j= sÄ /, cos/, L =0,f.t, Iäi6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ó¿,3rrg可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iir$O üH' ïï ï1 cos f , °sin li , ó8 Jz liè it lat Y fïI -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tot- °flï=i-a sin8, a cos8 ,b1, i& 1.J $à 'üz iÍò i JÏí J-J g.i.'I cos g ó-, ,-ï ó,1 + sÓü -.»:sa 4 = / .cor m «/ =0 x« ooc».可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ï¡$z'I.suA .|z|=costt j«./ = nsioti .=cosü.*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9 .fi.ï1.t. = 3'*z-,'2.*- = '*' ïLT.ïi.'°D »9a :.Lí1èJtú 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3n'2.r2222&illiïï/útfifiïl »t7- n = . , “ .=ax=3a,i"= 1,“ « .v = 9<0.tBó4.6 È= f»cos /.a »ó / b r Ï£.» B ÏÏÏ kà:3». = 9a /ú “x,/ï.Ï F»J ïf可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a sÓ / , a cos /, b ,s = | . ' ú/ ='/gi Q / =+ b'可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sIllr= p0cDs+,y= p8 s+ 8&r'=p' 0cos+ p8+,'» » «» ,*' , -Up +' *, + + + + x.+a+'a$ 4O fnTl$iQl. «&ieats r=acosfi.r=asar.= br &&Sx»«iiiPaaz:e.Qr' = asin r, a cosr, bJ, P' =a cosr, a sili r , 0 Jr ncos rJ' nsin rz b nsin rncosrd= 0 ,& bsig r x-Ibcosrl y+az-abt=0 acos ft osin #0z. 3iB& r= tsin r, t cosr, t » I &Bé&i&iiIP « . ifiP.r. 4tiilSr. o&.Tifi&&9lE t=0 ,i" 0=sig r+i cos r, cosr- tsin r,e +t e ,q=0,l,1,E"0 = t2cos r t cosr, cosr tsin r, 2#+t e",q =12, 0, 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结- -F 1 ¡°="0l,. °, += 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-A l£ YiWi J“l°= 0120r+ i' r= Ovp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 + . = 0- .2 I可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.Y7fiIt In6% .4.i+z=0rl/AféY fi»S = " ll I3.ifi*g QQfA r=a cos/ . =asiJJ / b / 1J1i1f'k6 z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fiEz' = a st /. a cos r, b.“'=a cos /, a sfi /, 0 .COS Z5/3 z & ” a It.'.*. to, o, bi.£IiJJtit4ii1&J5ifJiJte1 z &&fi B'ic1It z '.' ' k ." .-y1/Afé&J可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结& cos o sint.cos o cost,sin o ,I'= cos n cost, cos o sint . O 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. '«I °fl ü itf.,ii, T írT& tüté.á r =a cos r .a sin r .b r J ífi ni í1t£ G fi tJttkiil «tít$íWiíñ/'= a siu /, a cos/./"= acos/, a 31 /0z'¥:7'= n6s1 /, ÓcOs /,r 7J al i/.t1Aú .f .1 fít6id:1-,t/. f' P ñ RI í:t.*J. IYj .if:k »* fi. Y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SIH r " =i íBfi éi áü-COSrNt < .r' + i" = ór' °可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 4í.JT il2í$J9J tlf 'b élÑ&t1n cosh r, rsinll r, nrJ ,.n3r r' ,3<rz . r3r+0 -g¡i II ñ' = rzsuili r, n cosh r, r . ” = ncosh r, <sinli r,0 .E“ ' = risiuh r. cosh r,0.I é l l'/'t«cosl /2ncosk' /可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Zi x r" = l8<r l,2r, r 2 + 1.k =7-'xZl8< «/Í r2 + 1 1l r' 1'27n 2 2çÑr' + l'3rr' + l'可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结í'xí-18 2 nx 2r' + l 23nr + l 28.iz < & = cos' r, s»'r, cos 2ri .»iñiÁ:ól«. a, £, r :li& v cix+ :.»iii el . = _3 cos2 /sü /,3 sin ' /cos/.2 sin 2/ = süt /cos/3 cos /,3sic /,4 ,=6SZC *#i#sin*tos*70Lúó=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a =:ffi :fr= 1$S1fI f, COS f,II .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zfrJr5 sÓ feos r4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ooword bjÇj3b.Óma ê»1=w4. aætøesa«e- e«y=wy +ax'-x r'.a«a, saacsø»ea«sæasa=«. eaawas.»s- aaaa»,. cao»aañ -«. aaaæaaoæaoaaé .a = Aïã&Ø&J#BA , ØR,ña=Aâ « O&&6:-=a'aæ. ea'+«ë+z+ë=aRa.k.ee xaa'+=«sx4- c-o. IætaQaæ.a esw aaoe«ssæææwsoaa. aaaoææea.e »æ-. æsaaøssawsacaøæaa-«aaeaaoøæeaeäaAo «r«r «-«. -«6 «r«r «-«. P z P'JÆ. & øMØØ z -fiÛ&&ÄQ:m- aeA»æsaAaesa. aa»s:mw»=«. aæecaøaee»waa p- ¿-« . aøP -<:¿-o . eæa»ea«x a aasea»wé« w« r'« =«. aæ«1r1xr 4= . a » r ræ &U.£'PÄ D.Ñ£ R. ÔØÃÎ R&À * A +z', - A+“ &2t ',-I£B &Rr= 0 ARRQ:ß4*ØÄQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ü .i.J 1111” J;.'i'. »"i: i 11I l¿ ll J ll-I”' I“.' 11/.<l." t. IllI °.y .'i'. .+II U :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结' J i; at ” , : -77r' . l: ” t: ”. ”'.” ”“i. I ”ll ” ' I' '.' ”.rJy”z'r'J J .”.” t. /; :r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 JI t t° :" t i I"= .°-t. z - 1 v-. .t.î ' = .0.L l”iJ . . r ="=6.1 J, i J i JJ ”i Li“ X“' '"I , I-FijI j” - = ip=yi”:.z" = ,. y . i ”./"'J . 0.0 .t.IU.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.” L l” J û ”t. l.lJ :.«-ü - l»z"i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.i,.,.' f ,1., ”,. .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结_ci<.L. .<_ z /jJ« = «-/fJ '“ = 0' i I. r- u '”- .-.'. ' i'« illJ-',.-i”'.I L'I-. 11 laiil . .iJ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 i «Jil° .III- »+, I . r.“K ” I”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结;-' = a. -a.' /fr.'lt x. -r ;' p, -i /J 'i , i l.ll /' - /i. .l i' t * a.*; .'- ,i.i;.J-J x.'J ;s'可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 I 1.g * .r -I .t-.”1-ct*it sxi1.- sui /3J“ ' = .s ,tlit ci°s1.-cvt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sulcos.ff cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结% snvord H il JH à .firfl ü i=r2k+l.k .-JêiÍ9ll Y-'-4iát JunIB.rú ã I i& ü1 . e t.: 7“ = .-x _É”.f. ;r", ôj . iJg”.õ, F, -i- Ax. úi 7"x, -i- &r;f,22*o*6rj + s, às ã+ Jx,A«'I :+ iú+/.a«i»-»'»Il xz, + ô 31 »1+ow 1IJ+lTi .»: v+i+iIí1"i ih fà lÊé:t.l1Â141 Ti11lá A.tf1n-I, 3ifllhéJi1 l1 w. j¿ú:rd.: zt ¿Álzlú/.i¿1Áfi¿. UI /"g' =0 . t.iiiáif.t 7'g=0 .7-" ' ü =0 .j.¡ fl ü',.".p"' zéJvJ:-iái.i” « 7" .°' .°' = o . aG-¿ r i 141 »tãi r =o.nJ t ei11 +ílii7.£l.ps IBükú:z't»/.ó, :t J-¥JéiJí1tt.ü1”ú:fl IJüTi4I i&II.1tú- iht1./ i" . - 7 «.J At&f1Õ PJ 3tt£i.i,. = . + A /x;/.u ktà' tr.ã. « fú J /1  & .tz«Y /I' 6f/Y,õ, fúü liZt4fúv  R « .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结”'a r /p1/ +a.-rJ ,ó'/ ,” gc .«/ï»:.,a' = a p .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4" =ó ï ü « + «1¿»a. u a" i =- '= , i« x »i«可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r n .- ï “ I' "ï. a I* ”"* '.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -§1 曲面的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 求正螺面 r = ucosv ,usin v , bv 的坐标曲线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 u-曲线为 r =u cosv0 ,usin v0 ,bv 0 = 0,0 ，bv 0 u cosv0 ,sin v0 ,0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为曲线的直母线。 v- 曲线为 r = u0cosv ,u0 sin v ,bv 为圆柱螺线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明双曲抛物面r a（ u+v）, b （u-v ）,2uv 的坐标曲线就是它的直母线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证 u-曲线为 r = a（u+v0 ）,b（u-v0 ）,2uv0 =a v0 , b v0 ,0+ua,b,2v0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结表示过点 av0 , bv0 ,0 以a,b,2v0 为方向向量的直线 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结v- 曲线为 r =a（ u0 +v）, b（ u 0-v ）,2u 0 v=a u0 , b u 0,0 +va,-b,2u 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结表示过点 a u0 , bu 0 ,0 以a,-b,2u 0 为方向向量的直线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3求球面 r = a cossin, a cossin, a sin 上任意点的切平面和法线方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解r=a sincos,a sinsin, a cos， r=a cossin, a coscos,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结任意点的切平面方程为x a cos a sin a coscos cos siny a cos a sina cossin sin cosz a sina cos00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 xcoscos+ ycossin+ zsin- a = 0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法线方程为x a coscosy a cossinz a sin。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结coscoscossinsin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4求椭圆柱面221 在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线， 此ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结曲面只有一个切平面。x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解椭圆柱面221 的参数方程为x = cos, y = asin, z = t ,ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ra sin, b cos,0 ,rt 0,0,1。所以切平面方程为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xa cos a sin0y b sin b cos0z t00 ，即 x bcos+ y asin a b = 01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此方程与 t无关，对于的每一确定的值，确定唯独一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。a 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5证明曲面 r数。 u, v, uv的切平面和三个坐标平面所构成的四周体的体积是常可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证ru1,0,a32， rv 0,1,a 3x。切平面方程为：2yuv3 z3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结u vuvuva可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与三坐标轴的交点分别为3u,0,0,0,3v,0,0,0,23a 。于是，四周体的体积为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uv3V1 3| u |3 | v | 3a9 a3 是常数。6| uv |2§ 曲面的第一基本形式2221. 求双曲抛物面 r a（ u+v）, b （u-v ） ,2uv 的第一基本形式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222解ru a, b,2v, rv a,b,2u, Eruab4v 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Frur va 2b 24uv, Grvab4u 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 I =a 2b 24v 2 du 22 a 2b 24uvdudva 2b24u 2 dv2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求正螺面 r = u cosv ,u相垂直。sin v ,bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线互可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解rucos v,sin v,0, rvu sin v,u cosv, b ， Eru1 ， Frurv0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222Grvub 2 ，I =du2u 2b 2 dv2 ，坐标曲线相互垂直。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在第一基本形式为I =的弧长。du 2sinh 2udv 2 的曲面上，求方程为u = v的曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 由条件ds2du 2sinh 2 udv 2 , 沿曲线u = v有 du=dv ，将其代入ds2 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ds 2du 2sinh 2udv 2 = cosh2vdv 2，ds = coshvdv ,在曲线 u = v 上，从v1 到 v2 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结弧长为 |v 2cosh vdv |v1| sinh v2sinh v1 | 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22224设曲面的第一基本形式为I =duu= 0 ,u v = 0的交角。a
