微分方程总结.docx

精品名师归纳总结第十章: 微分方程总结姓名:刘桥学号:40905237班级:工商 49 班小组:第八小组组长:刘洪材一、 微分方程的基本概念1. 微分方程及其阶的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结微分方程 : 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程、分类 1: 常微分方程 未知函数为一元函数的微分方程 dydxaxy , a为常数dydxpxyQx偏微分方程 未知函数为多元函数 , 从而显现偏导数的微分方程 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2u2ux2y2fx, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2uux24y微分方程的阶 、:微分方程中显现的未知函数导数或微分的最高阶数、分类 2:一阶微分方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F x,y, y0, yf x, y;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结高阶n微分方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F x,y, y ,Ln , y0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yn f x, y, y ,L, y n1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分类 3:线性与非线性微分方程、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yP x yQx,x y 22 yyx0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分类 4:单个微分方程与微分方程组、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dy3 y dx2 z,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dz2 yz, dx2. 微风方程的解微分方程的解 : 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数、微分方程解的分类 : 通解 微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同、 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 yy, 通解ycex ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yy0, 通解yc1 sinxc2 cos x;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特解确定了通解中任意常数以后的解、 初始条件 : 用来确定任意常数的条件、初值问题 :求微分方程满意初始条件的解的问题、积分曲线 : 微分方程的任一特解的图形都就是一条曲线, 称为微分方程的积分曲线二、 一阶微分方程1. 可分别变量的方程可分别变量的微分方程 : 形如:g ydyf xdx 的一阶微分方程、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题回味 : 求方程x29 dydy yey0 的通解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分别变量得 , yey dy两边同时积分得 ,1dxx29yeydy1dxx29可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于就是得到通解为 , 12. 齐次方程y ey1 arctan xc 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dyy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如一阶微分方程可化为 形如f 的方程, 那么久称之为 齐次方程 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法: 作变量代换 udxxy , 或yxu, x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两边分求微分得 ,dyudxxdu,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入原式得 , ux dudxf u , 即x dudxf uu.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如f uu0, 就对上式分别变量得 ,dudx 、fuux可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两边分别积分得 ,dudxfuux可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求出积分后 ,将 uy 代入, 就求得了原微分方程的通解、x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题回味 : 求解微分方程 xy cosydxx cosy dy0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解, 令uxxy,就 dyxduudx,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xux cosudxx cosuudxxdu0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosududx , sin uxln xC,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结微分方程的解为 sin yx3. 一阶线性微分方程ln xC.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形如 dyp xyq x dx的方程称为 一阶线性微分方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当Q x0, 称方程式为非齐次线性微分方程dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当Q x0, 称方程dxp x yq x为齐次线性微分方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法:1、 线性齐次方程 分别变量法 2、 线性非齐次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题回味 :求方程 y1 ysinx 的通解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解P x1dx1 ,Q xxsin xsin x , x1dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yexe xdxCx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e ln xsin x xelnx dxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1sin xdxC x4. 伯努利方程1cos xC . x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形如 dyPx yQ x yn n 为常数的方程称为 伯努利方程、dx三、 高阶微分方程1. n 阶线性微分方程解的结构可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 阶线性微分方程的一般形式 :y na x y n 1Lan 1 x yan x yfx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1当 f x0时,称方程式为 非齐次线性方程 ,当 f x0时,称方程式为 齐次线性方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义:对于定义在区间 a,b 上的函数组y1 x, y2x , ykx ,假如存在不全为 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的常数c1, c2 , ck ,使得等式c1 y1xc2 y2xck ykx0在区间 a,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上恒成立 , 就称函数 y1x , y2x , ykx 在区间 a,b 上线性相关 , 否就,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称线性无关、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理: 、假如函数y1 x, y2x , ynx 都就是其次线性方程式的解 ,就她们的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线性组合fxc1 y1xc2 y2xcn ynx 也就是齐次线性方程式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的解,其中 c1, c2,cn 就是 n 个任意常数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 假如 y1x , y2x , ynx 就是 n 阶齐次线性方程式的两个线性无关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的特解 , 就方程式的通解为ycxc1y1xc2 y2xcn ynx 、其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中 c1 ,c2, cn 就是 n 个任意常数 ,而且方程式的任意解都可以表示成这个形式。、 设 y x 就是 n 阶非齐次线性方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1yn a x yn 1Lan 1 x yan x yfx. 的一个特解 ,ycx 就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对应的齐次方程式c1 y1xc2 y2xck ykx0 的通解, 就非齐次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线性微分方程的通解为 y xy xycx 、 设非齐次方程 2的右端 就是几个函数之与 , 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yPx yQ x yf xf x 而 y* 与 y* 分别就是方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结程, yP x yQ x yf1 x ,yP x yQ x yf 2 x的特解, 那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*y1y2 就就是原方程的特解、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 二阶常系数线性方程n 阶常系数线性微分方程的标准形式 :yn1P y n 1Ln1nPyP yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二阶常系数齐次线性方程的标准形式 :ypyqy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二阶常系数非齐次线性方程的标准形式:ypyqyf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特点根情形 :1 特点方程有两个不相等的实根 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特点根为 r1pp2224q ,rpp2224q ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两个线性无关的特解 y1er1x ,yer2 x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得齐次方程的通解为yC er1xC er2 x;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122 特点方程有两个相等的实根 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特点根为r1r2p , 一特解为2yer1x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1设另一特解为yuxer1x , 将 y , y , y代入原方程并化简,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结u2 rpur 2prqu0,知 u0,取 u xx,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1112就 yxer1 x , 得齐次方程的通解为 y12CC xer1 x;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 特点方程有一对共轭复根 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特点根为r1i,r2i,yei x ,yei x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1222i112212重新组合 y1 yy e x cosx,y1 yy e x sinx,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得齐次方程的通解为ye x C cosxC2 sinx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1特点方程法步骤 :1写出所给方程的特点方程 ;(2) 求出特点根 ;(3) 依据特点根的三种不怜悯形 , 写出对应的特解 , 并写出其通解、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题回味 : 求方程 y2y5y0 的通解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特点方程为r 22r50 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 r1,212i ,12其对应的两个线性无关的特解为y1 = e-x cos2x, y2 = e-x sin2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故所求通解为ye x Ccos 2xCsin 2x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、 微分方程在经济中的应用 略可编辑资料 - - - 欢迎下载