惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式 .docx

精品名师归纳总结惯性矩的运算方法及常用截面惯性矩运算公式截面图形的几何性质一. 重点及难点： 一. 截面静矩和形心1. 静矩的定义式如图 1 所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dSy dSxxdA ydAxdA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整个图形对 y、z 轴的静矩分别为x ×C y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ySxdAA（I-1）0A yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SxydAA2. 形心与静矩关系图 I-1设平面图形形心 C 的坐标为 yC , zC 就 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ySx， x ASy（ I-2 ）A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 1 假如 y 轴通过形心（即 x0 ），就静矩 Sy0 。同理，假如 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结轴通过形心（即 y0 ），就静矩 Sx0 。反之也成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 2 假如 x、y 轴均为图形的对称轴，就其交点即为图形形心。假如y 轴为图形对称轴，就图形形心必在此轴上。3. 组合图形的静矩和形心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设截面图形由几个面积分别为A1, A2, A3An 的简洁图形组成，且一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直各族图形的形心坐标分别为x1 , y1。 x2 , y2。 x3 , y3，就图形对 y 轴和 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结轴的静矩分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nSySyii 1 nSxSxinAi xii 1 nAi yi（ I-3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i 1i 1截面图形的形心坐标为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nAi xinAi yi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，xyi 1inAi1（ I-4）nAi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i 1i 14. 静矩的特点(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 静矩有的单位为m 3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，如图形对某一轴的静矩为零，就该轴必通过图形的形心。(4) 如已知图形的形心坐标。就可由式（I-1 ）求图形对坐标轴的静矩。如已知图形对坐标轴的静矩，就可由式（I-2 ）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3 ）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（ I-4）求出其形心坐标。（二） .惯性矩 惯性积 惯性半径1. 惯性矩定义 设任意外形的截面图形的面积为A（图 I-3），就图形对 O 点的极惯性矩定义为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ip2dAA（ I-5）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图形对 y 轴和 x 轴的光性矩分别定义为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y，xIx 2dAIAy2 dAA（I-6）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结惯性矩的特点（1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的。轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 极惯性矩和轴惯性矩的单位为m 4 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。（4） 图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ip2dAA x2Ay 2 dAI yI x（ I-7）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） 组合图形（图 I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩， 分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之 和，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nII in， I yI yi， IxnI xi（I-8 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i 1i 1i 1yx1 C1 A1yx2 C2xdAA2yxn Cn An y10x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0yn y22. 惯性积x图 I-2图 I-3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 设任意外形的截面图形的面积为A（图 I-3），就图形对 y 轴和 x 轴的惯性积定义为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I xyxydAA（I-9 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结惯性积的特点（1） 界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 惯性积的单位为m4 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 惯性积的数值可正可负，也可能等于零。如一对坐标周中有一轴为图形的对称轴，就图形对这一对称轴的惯性积必可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等于零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重且不肯定有图形的对称轴。（4） 组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组分图形对同一坐标轴的惯性积之和，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nI xyI xyi（I-10）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i 13. 惯性半径定义： 任意外形的截面图形的面积为 A（图 I-3 ）,就图形对 y 轴和x 轴的惯性半径分别定义为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I yi y，AiI x（I-11）xA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结惯性半径的特点（1） 惯性半径是对某一坐标轴定义的。（2） 惯性半径的单位为 m。（3） 惯性半径的数值恒取证之。（三） .惯性矩和惯性积的平行移轴公式平行移轴公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I xI xCa2 A2（I-12）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I yI yCb A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I xyI xCyCabA（I-13）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平行移轴公式的特点（1） 意外形界面光图形的面积为 A（图（ I-4 ）。xC， yC轴为图形的形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结心轴。 x，y 轴为分别与 xC ，yC 形心轴相距为 a和 b 的平行轴。（2） ）两对平行轴之间的距离 a 和 b 的正负，可任意选取坐标轴x，y或形心 xC，yC 为参考轴加以确定。（3） ）在全部相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不肯定是最小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yyCdAbCxCa0x图 I-4 四 、惯性矩和惯性积的转轴公式. 主惯性轴主惯性矩转轴公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I xI y1I x2I xI y2cos 2I xy sin 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I xI y1I y2I xI y2cos2I xy sin 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I x yI xI ysin 2I xy cos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结转轴公式的特点(1) 角度 的正负号，从原坐标轴 x,y转至新坐标轴x1 , y1 ，以逆时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结针转向者为正（图 5）。(2) 原点 O为截面图形平面内的任意点，转轴公式与图形的形心无关。(3) 图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I xI yI x 1I y1I P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结主惯性轴、主惯性矩任意外形截面图形对以某一点O为坐标原点的坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结标轴 x0 、y0 的惯性积为零（I x y0 ），就坐标轴x0 、y0 称为图形通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 000过点 O 的主惯性轴 图 6 。截面图形对主惯性轴的惯性矩 I x , I y ，称为主惯性矩。主惯性轴、主惯性矩的确定(1) 对于某一点 O，如能找到通过点 O 的图形的对称轴，就以点 O 为坐标原点，并包含对称轴的一队坐标轴，即为图形通过点 O 的一对主惯性轴。对于具有对称轴的图形（或组合图形），往往已知其通过自身形心轴的惯性矩。于是，图形对通过点 o 的主惯性轴的主惯性矩，一般即可由平行移轴公式直接运算。(2) 如通过某一点 o 没有图形的对称轴，就可以点 o 为坐标原点， 任作一坐标轴 x，y 为参考轴，并求出图形对参考轴 x，y 的惯性矩 I x , I y 和惯性积 I xy 。于是，图形通过点o 的一对主惯性轴方位及主惯性矩分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan 22I xy（ I-16 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结02I xI y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I x 0I y 0I xI y22I xI y2I xyI-17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结主惯性轴、主惯性矩的特点（ 1）图形通过某一点 O 至少具有一对主惯性轴，而主惯性局势图形对通过同一点 O全部轴的惯性矩中最大和最小。（ 2）主惯性轴的方位角0 ，从参考轴 x，y 量起，以逆时针转向为正。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）如图形对一点 o 为坐标原点的两主惯性矩相等，就通过点 o 的全部轴均为主惯性轴，且全部主惯性矩都相同。（ 4）以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴，称为形心主惯性轴。图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。yyy1 x1 y0x00x0xA0图 I-5图 I-6二.典型例题分析例 I-a 试运算图示三角形截面对于与其底边重合的x 轴的静矩。解：运算此截面对于 x 轴的静矩 Sx 时，可以去平行于 x 轴的狭长条 见图作为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面积元素（因其上各点的y 坐标相等），即 dA可知:b ydy。由相像三角形关系，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b yb h hy ,因此有 dAb h hydy 。将其代入公式（ I-1）的其次式，即得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SxydAAh bhydy0 hyhbydy0bh yh 02dybh 26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dyh byy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0xb例题 I-a 图解题指导 ：此题为积分法求图形对坐标轴的静矩。例 I-2 试确定图示 -b截面形心 C 的位置解：将截面分为 .、两个矩形。为运算便利，取 x 轴和 y 轴分别与界面的底边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结和左边缘重合（见图）。先运算每一个矩形的面积下：Ai 和形心坐标（xi , yi ）如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩形 .A101201200mm2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1025mm ， y120260mm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩形 A1070700mm2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1070245mm， y105mm 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将其代入公式（ I-4），即得截面形心 C 的坐标为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x A xA x AAy A yA y AA37500190075500190020mm40mm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解题指导 ： 此题是将不规章图形划分为两个规章图形利用已有的规章图形的面积和形心， 运算不规章图形的形心。y 10.120· xy·10xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结80图-b例 I-3 试求图 I-c 所示截面对于对称轴 x 轴的惯性矩 I x解：此截面可以看作有一个矩形和两个半圆形组成。设矩形对于x 轴的惯性矩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 I x，每一个半圆形对于x 轴的惯性矩为I x ，就由公式（ I-11）的第一式可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结知，所给截面的惯性矩：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I xI x2I x（ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩形对于 x 轴的惯性矩为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d 2a 3I x1280200 3125330104 mm 4（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结半圆形对于 x 轴的惯性矩可以利用平行移轴公式求得。为此，先求出每个半圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形对于与 x 轴平行的形心轴xC （图 b）的惯性矩I xC 。已知半圆形对于其底边的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结惯性矩为圆形对其直径轴 x （图 b）的惯性据之半，即d 4I x。而半圆形的128可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面积为 A2d，其形心究竟边的距离为82 d （图 b）。故由平行移轴公式（ I-3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10a），可以求出每个半圆形对其自身形心轴xC 的惯性矩为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I xC2dI x3 2 Ad 4128 2d 2d238（3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由图 a 可知，半圆形形心到 x 轴距离为 a个半圆形对于 x 轴的惯性矩为：2d ，故在由平行移轴公式，求得每3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2I xI xCa2d 2 A 3d 4128 2d 2d238 a2d 2d 38可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2dd 2432a 22ad23a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 d=80mm、 a=100mm （图 a）代入式（ 4），即得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结80 2I x480 232100 222100380 3460104 mm4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结44将求得的I x 和 I x代入式（ 1），便得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4I x53301023460 101225010mm4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解题指导 ： 此题是将不规章图形划分为如干个规章图形，利用已有的规章图形的面积、形心及对自身形心轴的惯性矩，结合平行移轴公式运算组合截面图形对组合截面形心的惯性矩。图 I-c2 d32 d3xcdx图 I-c40a=100a100x40d=80可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结常用截面惯性矩运算公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载