-不等式与不等式的性质 .docx

精品名师归纳总结学科数学年级八年级老师同学课程新授授课时间2021 年 7 月 6 日（ 8：00 10： 00）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结授课题目不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集课精前相等关系与等式的基本性质回方程彩顾导授课1、 不等关系（会表示不等关系）学内2、 不等式的基本性质（与等式性质对比）容3、 不等式的解集（数形结合求解集）教案过程1、老师精讲（学问重点、例题解读、方法总结、留意问题）。2、当堂检测（精讲精练，讲练结合）。3、拓展提高（与中、高考结合，加大难度，留意总结解题规律）基础学问回忆一. 不等关系 1. 一般的 ,用符号“ <” 或“” , “ >” 或“” 连接的式子叫做不等式.¤ 2. 要区分方程与不等式 : 方程表示的是相等的关系。不等式表示的是不相等的关系. 3. 精确“翻译”不等式 ,正确懂得“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <=> 大于等于 0 0<=> 0 和正数 <=> 不小于 0非正数 <=> 小于等于 0 0<=> 0 和负数 <=> 不大于 0二. 不等式的基本性质 1. 把握不等式的基本性质,并会敏捷运用 :(1) 不等式的两边加上或减去 同一个整式 ,不等号的方向不变,即:假如 a>b, 那么 a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以 或除以 同一个正数 ,不等号的方向不变 ,即假如 a>b, 并且 c>0, 那么 ac>bc,ab .cc(3) 不等式的两边都乘以 或除以 同一个负数 ,不等号的方向转变 ,即:假如 a>b, 并且 c<0, 那么 ac<bc,abcc 2. 比较大小 :a 、 b 分别表示两个实数或整式一般的 :假如 a>b,那么 a-b 是正数。反过来 ,假如 a-b 是正数 ,那么 a>b。假如 a=b,那么 a-b 等于 0。反过来 ,假如 a-b 等于 0,那么 a=b。假如 a<b,那么 a-b 是负数。反过来 ,假如 a-b 是正数 ,那么 a<b。即:a>b <=> a-b>0a=b <=> a-b=0 a<b <=> a-b<0由此可见 ,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三. 不等式的解集 : 1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。一个不等式的全部解,组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程 ,叫做解不等式 . 2. 不等式的解可以有许多多个,一般是在某个范畴内的全部数,与方程的解不同 .¤ 3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:边界 : 有等号的是实心圆圈 , 无等号的是空心圆圈。方向 : 大向右 , 小向左四. 一元一次不等式 : 1. 只含有一个未知数 ,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是 1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式. 2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特殊要留意 ,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要转变方向.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 3. 解一元一次不等式的步骤:去分母。去括号。移项。合并同类项。系数化为 1 不等号的转变问题 4. 一元一次不等式基本情形为ax>b 或 ax<b当 a>0 时, 解为 xb 。a当 a=0 时, 且 b<0, 就 x 取一切实数。当 a=0 时, 且 b 0, 就无解。当 a<0 时,解为 xb 。a¤ 5. 不等式应用的探究 利用不等式解决实际问题列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:审 :仔细审题 , 找出题中的不等关系 , 要抓住题中的关键字眼, 如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义。设 :设出适当的未知数。列 :依据题中的不等关系, 列出不等式。解 :答 :解出所列的不等式的解集。写出答案 , 并检验答案是否符合题意.五. 一元一次不等式与一次函数六. 一元一次不等式组 1. 定义 : 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组. 2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.假如这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解 .几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定. 3. 解一元一次不等式组的步骤:(1) 分别求出不等式组中各个不等式的解集。(2) 利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集 .两个一元一次不等式组的解集的四种情形a 、b 为实数 , 且 a<b一元一次不等式解集图示表达语言表达可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xaxbxaxbxaxbxaxb精讲精练：x>babx>aaba<x<bab无解ab两大取较大两小取小大小交叉中间找在大小分别没有解是空集 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、教案目标及要求 、懂得不等式的概念和基本性质、会解一元一次不等式，并能在数轴上表示不等式的解集 、会解一元一次不等式组，并能在数轴上表示不等式组的解集。二、技能要求1、会在数轴上表示不等式的解集。2、会运用不等式的基本性质（或不等式的同解原理）解一元一次不等式。3、把握一元一次不等式组的解法，会运用数轴确定不等式组的解集。三、重要的数学思想：1、通过一元一次不等式解法的学习，领悟转化的数学思想。2、通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一步领悟数形结合的思想。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、主要数学才能1、通过运用不等式基本性质对不等式进行变形训练，培育规律思维才能。2、通过一元一次不等式解法的归纳及一元一次方程解法的类比，培育思维才能。3、在一元一次不等式，一元一次不等式组解法的技能训练基础上，通过观看、分析、敏捷运用不等式的基本性质，寻求合理、简捷的解法，培育运算才能。五、类比思想：把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，假如发觉它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。这种数学思想通常称为“类比”，它表达了“不同事物之间存在内部联系”的唯物辩证观点，是发觉数学真理和解题方法的重要手段之一，在数学中有着广泛的运用。在本章中，类比思想的突出运用有：1、不等式与等式的性质类比。对于等式（例如 a=b）的性质，我们比较熟识。不等式（例如a>b 或 a<b）与等式虽然是不同的式子，表达的也是不同的数量关系，但它们在形式上明显有某些相同或类似的的方，于是可推断在性质上两者也可能有某些相同或类似之处。这就是“类比”思想的运用之一，它也是我们探究不等式性质的基本途径。等式有两个基本性质：1、等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，等号不变。（即两边仍旧相等）。2、等式两边都乘以（或除以）同一个不等于0 的数，符号不变（即两边仍旧相等）。按“类比”思想考虑问题，自然会问：不等式是否也具有这样相类似的性质，通过实例的反复检验得到的回答是对的，即有。不等式的性质。 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变（即原先大的一边仍旧大，原先较小的一边仍旧较小）。2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向转变（即原先较大的一边反而较小，原先较小的一边反而较大）。例如： -x>20,两边都乘以 -5 ，得，x<-100 ，（变形依据是不等式基本性质3）。等式的基本性质是等式变形的依据，与此类似，不等式的基本性质是不等式变形的依据。2、不等式的解与方程的解的类比从形式上看，含有未知数的不等式与方程是类似的。按“类比”思想来考虑问题，同样可以仿效方程解的意义来懂得不等式的解的意义。例如： 当 x=3 时，方程 x+4=7 两边的值相等。 x=3 是方程 x+4=7 的解。而当 x=2 时，方程 x+4=7 两边值不相等， x=2 不是方程 x+4=7 的解。类似的当 x=5 不等式 x+4>7 成立，那么 x=5 是不等式 x+4>7 的一个解。如x=2 不等式 x+4>7 不成立，那么 x=2不是不等式 x+4>7 的解。留意： 1、不等式与方程的解的意义虽然特别类似，但它们的解的情形却有重大的区分。一般的说，一元方程只有一个或几个解。而含有未知数的不等式，一般都有许多多个解。例如： x+6=5 只有一个解 x=-1 ，在数轴上表示出来只是一个点，如图:而不等式 x+6>5 就有许多多个解 -大于 -1 的任何一个数都是它的解。它的解集是 x>-1 ，在数轴上表示出来是一个区间，如图:2、符号“”读作“大于或等于”或也可以懂得为“不小于”。符号“”读作“小于或等于”或可以懂得为“不大于”。例如。 在数轴上表示出以下各式：（ 1）x2（ 2） x<-2（ 3）x>1（ 4）x -13、不等式解法与方程的解法类比。从形式上看，一元一次不等式与一元一次方程是类似的。在学习一元一次方程时利用等式的两个基本性质求得一元一次方程解，按“类比”思想考虑问题自然会推断出如用不等式的三条基本性质，采纳与解一元一次方程相类似的步骤去解一元一次不等式，可求得一元一次不等式的解集。例如： 解以下方程和不等式：=+1+1解： 32+x=22x-1+61、去分母：解： 32+x 22x -1+6 6+3x=4x-2+62 、去括号：6+3x4x -2+6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3x-4x=-2+6-63 、移项：3x-4x -2+6-6-x=-24、合并同类项：- x -2x=2 x=2是原方程的解5、系数化为1：x2 x 2是原不等式的解集。留意： 解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同，但是要留意步骤 1 和 5，假如乘数或除数是负数时，解不等式时要转变不等号的方向。六、带有附加条件的不等式：例1 求不等式3x+4-37的最大整数解。分析： 此题是带有附加条件的不等式，这时应先求不等式的解集，再在解集中，找出满意附加条件的解。例 2 x 取哪些正整数时，代数式3-的值不小于代数式的值？例 3， 当 k 取何值时，方程x-2k=3x-k+1的解为负数。分析： 应先解关于 x 的字母系数方程，即找到x 的表达式，再解带有附加条件的不等式。2例 4， 如|3x-6|+2x-y-m=0，求 m为何值时 y 为正数。分析： 目前我们学习过的两个非负数问题，一个是肯定值为非负数，另一个是完全平方数是非负数。由非负数的概念可知，两个非负数的和等于0，就这两个非负数只能为零。由这个性质此题可转化为方程组来解。由此求出y 的表达式再解关于m的不等式。留意： 要明确“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“不超过”、“至多”、“至少”、“非负数”、“正数”、“负数”、“负整数”这些描述不等关系的语言所对应的不等号各是什么。求带有附加条件的不等式时需要先求这个不等式的全部的解，即这个不等式的解集，然后再从中挑选出符合要求的解。2七、有关大小比较的问题例1 依据给定条件，分别求出a 的取值范畴。（比较难） 如 a >a，就 a 的取值范畴是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 （1）比较以下各组数的大小，找规律，提出你的猜想：。 。 。 。 .从上面的各式发觉：一个正分数的分子和分母 ，所得分数的值比原分数的值要 。猜想：设 a>b>0, m>0,就 。（ 2）试证明你的猜想：分析： 1. 易知：前面的各个空都填“< ”.一个正分数的分子和分母都加上同一个正数，所得分数的值比原分数的值要大。2. 欲证<，只要证<0.即证<0,即证<0,证明： a>b>0, b a<0,又 m>0, mb a<0,=<0,<。上面这个不等式有许多有意义的应用。例如，建筑学规定，民用住宅的窗户面积必需小于的板面积，但按采光标准，窗户面积与的板面积的比值应不小于 10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。如同时增加相等的窗户面积和的板面积，住宅的采光条件变好了。设窗户面积为 a，的板面积为 b，如同时增加相等的窗户面积和的板面积 m，由 <可知，住宅的采光条件变好了。课堂总结掌握审核程签字度可编辑资料 - 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