强大导数知识点各种题型归纳方法总结 .docx

精品名师归纳总结导数的基础学问一导数的定义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.1.函数yf x在xx处的导数 : f'x y ' |limf x0xf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00x x0x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.函数yf x的导数 : f2. 利用定义求导数的步骤：' xy 'limx0f xx xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求函数的增量：yf xxf x 。求平均变化率：yf x0xf x0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取极限得导数：f ' xlimy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0（下面内容必记）二、导数的运算：x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：mm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 11nn 1nmnmn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 C '0 C为常数 。 x 'nx。 xn ' x'nx。 x'x'x n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sinx'cos x 。 cos x'sinx ex 'ex a 'ax ln a a0, 且a1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 lnx'1 。 log xx'1a x ln a0, 且a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a法就 1： f xg x'f 'xg ' x 。 口诀：和与差的导数等于导数的和与差.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法就 2： f xg x'f ' xg xf xg ' x 口诀：前导后不导相乘,后导前不导相乘,中间是正号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法就 3： f x'f ' xg xf xg 'x gx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g x g x 2 口诀：分母平方要记牢,上导下不导相乘,下导上不导相乘,中间是负号（ 2）复合函数 yf g x 的导数求法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结换元,令ug x ,就yf u 分别求导再相乘y 'g x 'f u ' 回代ug x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型一、导数定义的懂得题型二：导数运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结'1、已知fxx22xsin,就 f ' 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结322、如fxex sin x,就 fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. f x=ax +3x +2 , f 14 ,就 a=（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 10B. 13C. 16D. 19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三3 导数的物理3意义3 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 求瞬时速度：物体在时刻t0 时的瞬时速度V0 就是物体运动规律 Sft 在 tt0时的导数ft0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即有 V0ft0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结/ s t表示即时速度。 a=v t表示加速度。四导数的几何意义：函数 fx 在 x0 处导数的几何意义, 曲线 yfx 在点P x0,fx0处切线的斜率是kfx0。于是相应的切线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程是：yy0fx0xx0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型三用导数求曲线的切线留意两种情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）曲线 yfx 在点P x0 ,fx0处切线： 性质：k切线fx0。相应的切线方程是：yy0fx0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）曲线 yfx 过点P x0, y0处切线：先设切点,切点为Qa,b, 就斜率 k=f 'a,切点Q a, b在曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yfx 上,切点Qa,b 在切线yy0faxx0上,切点Qa,b 坐标代入方程得关于a,b 的方程组, 解方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结程组来确定切点,最终求斜率 k= f 'a ,确定切线方程。32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题在曲线 y=x+3x +6x-10 的切线中,求斜率最小的切线方程。02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：（ 1） ky'|x x3x 0 26x063 x 013 当 x 0=-1 时, k 有最小值 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x此时 P 的坐标为（ -1 , -14 ）故所求切线的方程为3x-y-11=0五函数的单调性：设函数 yf x 在某个区间内可导,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）（ 2）f 'x0f 'x0f xf x该区间内为增函数。 该区间内为减函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：当f ' x 在某个区间内个别点处为零,在其余点处为正（或负）时,f x在这个区间上仍是递增（或递减）的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）（ 4）f x 在该区间内单调递增f x 在该区间内单调递减f 'x0 在该区间内恒成立。 f 'x0 在该区间内恒成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型一、利用导数证明（或判定）函数f x 在某一区间上单调性：步骤：（ 1）求导数yf x2 判定导函数yf x 在区间上的符号3 下结论 f ' x0f x 该区间内为增函数。 f ' x0f x 该区间内为减函数。题型二、利用导数求单调区间求函数 yf x 单调区间的步骤为 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）分析yf x 的定义域。（2）求导数yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）解不等式（ 4）解不等式f xf x0 ,解集在定义域内的部分为增区间0 ,解集在定义域内的部分为减区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路一 . （ 1）f x 在该区间内单调递增f 'x0 在该区间内恒成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）f x在该区间内单调递减f 'x0 在该区间内恒成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路二 . 先求出函数在定义域上的单调增或减区间,就已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。留意：如函数 f （ x）在（ a, c）上为减函数,在（ c, b）上为增函数 , 就 x=c 两侧使函数 f（ x）变号,即x=c 为函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数的一个极值点,所以f 'c0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题如函数f xln x,如 axf 3, bf 4, cf 5就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. a< b < cB. c < b < aC. c < a < bD. b < a < c六、函数的极值与其导数的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 极值的定义：设函数f x 在点x0 邻近有定义,且如对x0 邻近的全部的点都有f xf x0 （或f xf x0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称 fx0 为函数的一个极大（或小）值,x0 为极大（或微小）值点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可导数f x在极值点 x0 处的导数为 0（即f ' x0 0 ）,但函数f x在某点x0 处的导数为 0,并不肯定函数f x 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0该处取得极值（如求极值的步骤：f xx3 在 x0 处的导数为 0,但f x 没有极值） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一步：求导数其次步：求方程f ' x 。f ' x0 的全部实根。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第三步：列表考察在每个根x0 邻近,从左到右,导数f 'x 的符号如何变化,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f ' x 的符号由正变负,就如 f ' x 的符号由负变正,就f x0 是极大值。f x0 是微小值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f ' x 的符号不变,就f x0 不是极值,x0 不是极值点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、函数的最值：最值的定义： 如函数在定义域D内存x0 ,使得对任意的xD ,都有f xf x0 ,（或f xf x0）就称f x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为函数的最大（小）值,记作ymaxf x0 （或yminf x0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如函数值。yf x 在闭区间 a, b 上的图象是一条连续不间断的曲线,就该函数在闭区间 a, b 上必有最大值和最小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求可导函数f x 在闭区间 a, b上的最值方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一步。求f x 在区间 a,b 内的极值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次步：比较f x 的极值与f a 、f b 的大小：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第三步：下结论 : 最大的为最大值,最小的为最小值。留意： 1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的,函数的最大值和最小值点可以在极值点、不行导点、区间的端点处取得。极值最值。函数fx在区间 a,b上的最大值为极大值和fa、fb中最大的一个。最小值为微小值和fa、fb中最小的一个。2. 函数在定义域上只有一个极值,就它对应一个最值（极大值对应最大值; 微小值对应最小值）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、留意：极大值不肯定比微小值大。如f x1x的极大值为2 ,微小值为 2。/x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：当 x=x 0 时,函数有极值fx 0 0。但是, f x 0 0 不能得到当 x=x 0 时,函数有极值。 判定极值,仍需结合函数的单调性说明。题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与最值的应用 题型四、导数图象与原函数图象关系导函数原函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 'x的符号f x单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f ' x与 x 轴的交点且交点两侧异号f x 极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f ' x的增减性f x的每一点的切线斜率的变化趋势（f x 的图象的增减幅度）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 'x 的增f x 的每一点的切线斜率增大（f x的图象的变化幅度快）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f ' x 减f x 的每一点的切线斜率减小（f x的图象的变化幅度慢）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x例 1.已知 fx=e-ax-1.（ 1）求 fx的单调增区间。（ 2）如 fx ）在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范畴。xx（ 3）是否存在 a, 使 fx在（ - , 0上单调递减,在 0,+）上单调递增如存在,求出a 的值。如不存在,说明理由 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： fx =e -a.（ 1）如 a0,f x =e - a0恒成立,即 fx在 R 上递增 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx如 a>0,e - a0, e a,x lna. fx 的单调递增区间为 lna,+ .（ 2） f （ x）在 R 内单调递增,f x 0在 R 上恒成立 .xxxxe- a0,即 ae在 R 上恒成立 .a（ e ） min,又e >0, a0.0（ 3）由题意知, x=0 为 fx的微小值点 . f 0 =0, 即 e - a=0, a=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32例 2.已知函数 fx=x+ax +bx+c, 曲线 y=fx ）在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0,如 x=322a,b,c的值。（ 2）求 y=fx ）在 -3 , 1上的最大值和最小值.2 时, y=fx ）有极值 . （ 1）求3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解（ 1）由 fx=x+ax+bx+c, 得f x =3x+2ax+b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a+b=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x= 2 时, y=fx有极值,就f 32=0, 可得 4a+3b+4=03可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由解得 a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1, f1=4.1+a+b+c=4.c=5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32（ 2）由（ 1）可得 fx=x+2x - 4x+5, 当 x 变化时, y,y 的取值及变化如下表：f x =3x2+4x-4,令f x =0, 得 x=-2,x=2 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222x-3-3,-2-22, 333 ,11y+0-0+可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单调递增y8单调递减1395单调递增274可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y=f （ x）在 -3 , 1上的最大值为 13,最小值为95 .27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3. 当x0 ,证明不等式x1xln1xx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：f xln x1x, g x1xln x1x ,就f xx1x 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x0 时。f x 在 0,内是增函数,f xf 0 ,即ln1xx0 ,1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 g xx ,当 x1x0 时,g x0 ,g x 在 0,内是减函数,g xg 0 ,即ln1xx0 ,因可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此,当 x0时,不等式x1xln1xx 成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评： 由题意构造出两个函数f xln x1x, g x1xln x1x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用导数求函数的单调区间或求最值,从而导出是解决此题的关键.七定积分求值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 定积分的概念设函数f x在区间 a,b 上连续,就bf xdxnbalimfi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ani 1nn ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 用定义求定积分的一般方法是：分割： n 等分区间a, b 。近似代替： 取点ixi 1, xi。求和：i 1nf i 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取极限：bf xdxnbalimfi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ani 1nbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 曲边图形面积 ： fx0, Sfx dx 。 fxa0, Sfx dxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 x 轴上方的面积取正,下方的面积取负t2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变速运动路程4. 定积分的性质bbSvtdt 。变力做功t1WF r dra可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 1kf xdxakf xdxa（其中 k 是不为 0 的常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 2 f1 xf2 xdxf1 xdxf2 xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaabcb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 3f xdxf xdxf xdxaac其中acb（定积分对积分区间的可加性）bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 定理函数F x 是 a,b 上f x的一个原函数,即f xF x 就f xdxF x |aaF bF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结导数各种题型方法总结（一）关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分别变量。 2 变更主元。 3 根分布。 4 判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在（二）分析每种题型的本质,你会发觉大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范畴。（三）同学们在看例题时,请留意查找关键的等价变形和回来的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值。不等式恒成立。1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一步：令f ' x0 得到两个根。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次步：画两图或列表。 第三步：由图表可知。其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,2、常见处理方法有三种：第一种：分别变量求最值 -用分别变量时要特殊留意是否需分类争论（>0,=0,<0 ） 其次种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-（已知谁的范畴就把谁作为主元） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1：设函数yf x在区间 D 上的导数为f x , f x 在区间 D 上的导数为g x,如在区间 D 上,g x0 恒成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结立,就称函数 yf x 在区间 D 上为“凸函数” ,已知实数 m是常数,f xx4mx33 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）如 yf x 在区间0,3 上为“凸函数” ,求 m的取值范畴。1262可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如对满意m2 的任何一个实数 m ,函数f x在区间a, b 上都为“凸函数” ,求 ba 的最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x4mx33x2x3mx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: 由函数f x1262得 f x3x32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g xx2mx3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） Q yf x 在区间 0,3 上为“凸函数” ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就gxx2mx30 在区间 0,3上恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于g max x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g0030m2g3093m30解法二：分别变量法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 x0 时,g xx2mx330 恒成立 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 0x3 时,gxx2mx30 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等价于x233mxxx3的最大值（ 0x3 ）恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 hxx（ 0xx3 ）是增函数,就hmax xh32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 当 m2 时 fx在区间a, b 上都为“凸函数”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就等价于当m2 时 g xx2mx30 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变更主元法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再等价于F mmxx230 在 m2 恒成立 （视为关于 m的一次函数最值问题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F 202 xx230F 202xx2301x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ba2-22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2：设函数f x1 x 332ax23a 2xb0a1, bR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求函数f （ x）的单调区间和极值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如对任意的xa1, a2, 不等式f xa恒成立,求 a 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（二次函数区间最值的例子）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（）f xx24ax3a2x3axa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Q 0a1f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a3aa3a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 f x令 f x0,得0,得f x 的单调递增区间为（ a,3 a）f x 的单调递减区间为（, a）和（ 3a, +）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x=a 时,f x微小值=3 a 3b;4当 x=3a 时,f x极大值 =b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）由 |f x| a,得：对任意的 x a1, a2,ax24ax3a 2a恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结gmax xa22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 等 价 于g x这 个 二 次 函 数gmin xagxx4 ax3a的 对 称 轴 x2aQ 0a1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1aa2a（放缩法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即定义域在对称轴的右边,g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g xx24 ax3a 2在 a1,a2 上是增函数 .（ 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结gx maxgx ming aga22a1.14a4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是,对任意x a1, a2 ,不等式恒成立,等价于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1,a2ga24a4a,4解得a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2aga12a1a5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 0a1, 4a1.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总