成人高考专升本高等数学二复习教程 .docx

精品名师归纳总结高等数学二复习教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求1. 函数概念与性质函数的基本性质单调、有界、奇偶、周期几类常见函数复合、分段、反、隐、初等函数2. 极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法就求极限3. 连续函数连续左、右连续与间断懂得并会应用闭区间上连续函数的性质最值、有界、介值二、题型与解法A. 极限的求法 1用定义求 2代入法对连续函数，可用因式分解或有理化排除零因子 3变量替换法 4两个重要极限法 5用夹逼定理和单调有界定理求 6等价无穷小量替换法 7洛必达法就与 Taylor 级数法 8其他微积分性质，数列与级数的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. limarctan xxlimarctan xx1 等价小量与洛必达 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0 ln12 x3 x02 x36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知limsin 6xxf x0，求lim 6f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x3x0x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limsin 6xxf xlim6 cos6xf xxy'可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： x0x 3x03x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim36 sin 6 x2 y'xy' 'lim216 cos 6x3 y''xy'''可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x02166 x3 y' ' 006x06y' '072可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim 6f xlimy'limy' '7236洛必达可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x2x0 2 xx0 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. lim 2 x x 1重要极限 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 x1a xb x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 已知 a、b 为正常数，求 lim x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令 taxb x2x3 x , ln t023 ln a xxb x ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim ln tlim3ax ln abx ln b3 ln ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x0 a xbx2变量替换 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tab3 / 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. lim cos x1ln 1x 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令 t12cos x ln1 x , ln t1ln1x 2 lncos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limln tlimtan x1te1 / 2 变量替换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 设x0f ' xx连续，02 xf 020, f ' 00 ，求limx 2f tdt01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 洛必达与微积分性质 lncos x x2 , x0x0 x2xf t dt0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 已知f xa, x0在 x=0 连续，求 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令 alimlncosx / x21 / 2连续性的概念 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、补充习题作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. limex1x3洛必达 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x01xcosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. lim ctgx11 洛必达或 Taylor x0sin xxxt 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xedt3. lim01洛必达与微积分性质 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x21e其次讲 导数、微分及其应用一、理论要求1. 导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导基本公式、四就、复合、高阶、隐、反、参数方程求导会求平面曲线的切线与法线方程2. 微分中值定理懂得 Roll 、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理睬用定理证明相关问题3. 应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会运算曲率半径二、题型与解法A. 导数微分的运算基本公式、四就、复合、高阶、隐函数、参数方程求导xarctan tdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. yy x由 2 yty 2et5 打算，求 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. yy x由ln xyx ysin x 打算，求dy| x 01dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23解：两边微分得x=0 时 y'y cos xy ，将 x=0 代入等式得 y=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. yy x由2 xyxy 打算，就dy |x 0ln 21) dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B. 曲线切法线问题4. 求对数螺线e 在（ ，）（ e/ 2 ,/ 2处切线的直角坐标方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x e解：y eye / 2cos sin, x, y |x/ 20, e/ 2 ,y'|/ 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5.fx 为周期为5 的连续函数，它在x=1 可导，在x=0 的某邻域内满意f1+sinx-3f1-sinx=8x+ox。求 fx 在 6，f6 处的切线方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：需求f 6,f ' 6或f1,f '1，等式取 x->0 的极限有： f1=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf 1sin x3 f 1sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin xtlim f 1tf 13 f 1t f 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t04 f ' 18tf ' 12t2y2x6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C. 导数应用问题6. 已知 yf x对一切x满意xf '' x2x f ' x1e x ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如f ' x00x00 ，求 x0 , y0 点的性质。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令 xx 代入， f '' x ex 0 10, x00，故为微小值点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结000ex0 xx30, x00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. yx1 2，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：定义域x,11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y'0y''0驻点x拐点x0及x 0。x31：铅垂。 yx2：斜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 求函数 y x1e/ 2 arctan x 的单调性与极值、渐进线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：y'x2x1x2 e/ 2 arctan x驻点 x0与x1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结渐： ye x2与yx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D. 幂级数绽开问题dx9.dx 0sin xt 2 dtsin x21xt 2 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinxt 2 xt 21 xt 63.1 1 n2n1. xt 4n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinxxsinxt 2 dtt 2x31 x3t 31 x7 x3.7t) 71) nx 4n1 n 114n12n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结033.74n12n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dxdx 0sinxt 2 dtx21 x63. 1 nx2 2n2n11.sinx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或： xtud0 sin u 2 dx xdudxdx 0sin u2dusin x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 求f xx 2 ln1x在x0处的n阶导数 f n 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： x 2 ln1xx2 xxx2323n 2x 1n 1n2o xn 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E. 不等式的证明=f n 0 1n1n.n2x 4x5x323nx 1 n 1n2o xn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 设x0,1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证（ 1x) ln2 1xx ， 11111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ln 2ln1xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证： 1令g x1x ln 2 1xx 2 , g 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g' x, g' ' x, g'' ' x2 ln1x0, g' 0g'' 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 0,1时g'' x单调下降，g''x0, g' x单调下降可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g' x0, g x单调下降，g x0。得证。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2令h x1ln1x1, x0,1, h' xx0, 单调下降，得证。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F. 中值定理问题12.设函数f x在1，1 具有三阶连续导数，且f 10, f11 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f '00 ，求证：在 -1，1上存在一点，使f '' ' 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证： fxf 0f ' 0 x1 f '' 0 x22.1 f ' '' 3.x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中0, x, x1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0f 1将 x=1 ， x=-1 代入有f 01f ' ' 021f '' ' 1 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1f 1f 01 f ' ' 021 f ' ' '26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两式相减：f ''' 1f '' ' 2 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1，2 ，2f ' ' '21 f2' ' ' 21f4'' ' 2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. eabe ，求证： lnblna2 ba e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证： Lagrange :f bbf a af ' 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 f xln 2ln 2 bx,bln 2 a a2 ln可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 t ln t,t' t1 ln tt 20e 2 ln2e2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln 2 bln 2 a4 ba e2关键：构造函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、补充习题作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. f xln1x1x 2xet sin 2t,求y''032可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 曲线yet cos 2t1在0,1处切线为 y2 x101可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. yx ln e xx0的渐进线方程为 yxe可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24. 证明 x>0 时 x1) ln x x1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证：令g x x21) ln x x12, g' x, g '' x, g ' '' x2 x21x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g 1g' 10， g '' 120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0,1, g'''0, g''2g''0x0,1, g'0g0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1, g'''0, g''2x1, g'0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第三讲 不定积分与定积分一、理论要求1. 不定积分把握不定积分的概念、性质线性、与微分的关系会求不定积分基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部2. 定积分懂得定积分的概念与性质懂得变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题长、面、体会用定积分求物理问题功、引力、压力及函数平均值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、题型与解法A. 积分运算dx1.x4xdx24x2arcsin x2C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.e 2x tan x1) 2 dxe2x sec2xdx2 e 2xtan xdxe 2xtan xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 设f ln xln1x，求xf xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：fxdxln1ex xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e x ln1ex ex11exdxx1e x ln 1ex C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结arctan x4. 1x 2dx1arctan x |1xlimbb 11xx1 x2dx1 ln 242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B. 积分性质5. fx 连续， x1f xtdt,且 limf xA ，求 x 并争论' x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0在 x0 的连续性。x0xxf y dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： f000, yxtx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结' xxf xxf ydy02' 0Alim' 0A / 2' 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dx6. tfdx 0 x 2x t 2 dtd 2dxxf x 202x0t 2 d t 2x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dx2f y d yxf x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C. 积分的应用2dx 03a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 设f x 在0 ，1 连续，在0，1上f x0 ，且xf ' xf xx ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 f x 与 x=1,y=0 所围面积 S=2。求 f x ，且 a=.时 S 绕 x 轴旋转体积最小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： d dxf x 3a x2f x3a x 2cx 21f xdx02 c4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x3a2x241 xV '12y dx'0a50可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 曲线 yx1 ，过原点作曲线的切线， 求曲线、 切线与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转的外表积。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：切线 yx / 2 绕 x 轴旋转的外表积为2 yds50可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结曲线 yx1 绕 x 轴旋转的外表积为22 yds15 516可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总外表积为11 516可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、补充习题作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln sin x1.dxsin 2 xx52.2cotdxx ln sin 2 xcot xxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x6x13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结arcsinx3.dxx第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求1. 向量代数懂得向量的概念单位向量、方向余弦、模明白两个向量平行、垂直的条件向量运算的几何意义与坐标表示2. 多元函数微分懂得二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质懂得偏导数、全微分概念能娴熟求偏导数、全微分娴熟把握复合函数与隐函数求导法3. 多元微分应用懂得多元函数极值的求法，会用Lagrange 乘数法求极值4. 空间解析几何把握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、题型与解法A. 求偏导、全微分1.f x 有二阶连续偏导，z f e sin y 满意''z2 xyy' 'ez ，求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xz1xxuf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： f ''f0f uc euc2e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22. z1 f xy xyxy) ，求z x y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. yy x, zz x由zxf xy, F x, y, z0打算，求 dz / dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B. 空间几何问题4. 求xyza上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22解： x /x0y /y0z /z0ada可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结25. 曲面 x2 y3z21在点1,2,2 处的法线方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C. 极值问题6. 设 zz x, y 是由 x26xy10 y22 yzz2180 确定的函数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 zz x, y 的极值点与极值。三、补充习题作业xy2z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. zf xy, yg, 求xx y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. zxf xy,yyzg,