265特征值与特征向量矩阵的简单应用 .docx

精品名师归纳总结本资料来源于七彩训练网26.5特点值与特点向量 矩阵的简洁应用【学问网络】1、矩阵特点值与特点向量的定义，能从几何变换的角度说明特点向量的意义。2、会求二阶方阵的特点值与特点向量<只要求特点值是两个不同实数的情形）。3、明白三阶或高阶矩阵。4、矩阵的应用。【典型例题】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1：<1）、已知a5 ，且 a4,n ，就 n 的值是<）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 3B 3C± 3D不存在2z4sV2AHVW可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： C。解读： a4 2n 25 ，解得 n=± 3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结<2）103 030 11=>2z4sV2AHVW可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9A、 3110B、 3111C、 3112D、 31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： C。解读：103 0331003311。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 110111<3）设某校午餐有 A、B 两种便当挑选，经统计数据显示，今日订 A 便当的人，隔天再订 A 便当的机率是 3 。订 B 便当的人，隔天5再订 B 便当的机率为 4 ，已知星期一有 40%的同学订了 A 便当， 60%5的 同 学 订 了 B 便 当 ， 就 星 期 四 时 订 A 便 当 同 学 的比 率 为<） 2z4sV2AHVW可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A、 208625B、 209625C、 210625D、 211625可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结314739221155，就 M 3 12512556252478863414551251255625答案： D。解读：设 M =。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结<4）矩阵1253 的特点值是。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： -4 或 2。解读：矩阵 M的特点值 满意方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1- 2- 52=-1> +3>-35 >-2>=2+2-8=02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得，矩阵 M的两个特点值 1=-4 ， 2=2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结<5）一试验室培育两种菌，令an和 bn分别代表两种培育菌在时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结间点 n 的数量，彼此有如下的关系an 12anbn , bn 12bn n0,1,2，如二可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结阶矩阵 A= a b 满意an+bA an，<其中 n=0,1,2），就 a，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c dcn+3bnb， c， d。2z4sV2AHVW答案：8，24，0，8。解读：an32an2bnan24an8bnan38an24 bnbn12bnbb24bnbn38bn，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 an+3 bn+38 2408an得abn8, b24,c0, d8 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2：依据以下条件试判定 M是否与共线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M= 300 ， 非零向量=xM= -1y22=3，3- 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结30答案： M= 30x =3y3x =3 x 3yy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 M 与共线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 M= - 123= - 7而 - 7与 3不共线。 即此时 M 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23- 200- 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不共线。-1例 3：求矩阵 M= 522的特点值和特点向量3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2答案：矩阵 M的特点值 满意方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1- 25- 2- 3=+1> -3>-5 >-2>=2-2-8=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得，矩阵 M的两个特点值 1=4， 2=-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设属于特点值1=4 的特点向量为x，就它满意方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1+1>x+-2>y=0即： <4+1） x+-2>y=0也就是 5 x-2y=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就可取2 为属于特点值51=4 的一个特点向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y设属于特点值1=-2 的特点向量为2+1>x+-2>y=0x，就它满意方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即： <-2+1 ）x+-2>y=0也就是 x+2y=0- 2就可取 1为属于特点值2=-2 的一个特点向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-1综上所述： M= 522有两个特点值 1 =4， 2=-2 ，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结属于1=4 的一个特点向量为2 ，属于52=-2 的一个特点向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为。- 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5例 4：已知：矩阵 M= - 1212 ，向量=3- 21 M3求16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：由上题可知1 =5，2 = 1是矩阵 M 分别对应特点值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1=4 ， 2=-2的两个特点向量， 而1与2不共线。 又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=3+=111165- 2 =31+22z4sV2AHVW可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33 M= M <31+2）=3 M1+ M2=311+22=3×41 +<-233）5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3333×- 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= 192×1 -85- 2 =×1= 208。1921-8-21925-81952可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【课内练习】1 a 3 ， 1>， b 1， 2>，就 3 a 2 b 的坐标是>A 7 ， 1>B 7， 1>C 7， 1>D 7 ， 1>可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： B。2. 矩阵 4 22 1的特点值是<）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2z4sV2AHVWA、0 和 5B、0 和 5C、1 和 4D、 1 和 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答 案 ： A 。 解 读 ： 由 已 知f 414B250， 解 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10, 25 。3. 下图为一个网络，就一级路矩A阵为C<）2z4sV2AHVWD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 1 1 21 1002100220022022 000220021002220A、 1 0 1 00 1 2 2B、 1 0 1 20 2 2 2C、 2 0 2 10 2 2 2D、 2 0 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： A 。4. 矩阵 A= 1 42 3的特点多次式为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 245 。解读：f 1 -4-2-3245 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 设 A 是一个二阶矩阵，满意A 13 100A=。，且 A 16 1，就33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 3 1 。解读：设 A=a b，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 6就a3, c0, a3b6,c3d18,c da3,b1, c0.d6 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 矩阵 M= 1 23 2的全部特点向量为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： k23和k1, k01。解读 ：已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 1226340,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 11, 24 ，对应的特点向量为和 2 ，故全部的特点向量113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为： k 23和 k 1, k 10 。*xn 12xnyn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 已知点列坐标为。Pn xn , yn nN 满意yn 14xn，且 x1yn1, y12 ，就 P4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xn 222 xnyn 4xnynynxn 32yn 4 xn3 yn yn 242 xnyn 4xnyn4 xn3ynyn 34yn 4 xn3yn 答案： <2， 6）。解读：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 xn 34xnyn ，故xn 34 1xn，又 x1, y2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yn 34xnynyn 311-4 -1yn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 112-4 -126，即 P4< 2， 6）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 求矩阵 A= 3 10 -1的特点值与特点向量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：矩阵A 的特点多项式 f 31,3 或 1，其相应可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的特点向量分别为10和 1。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 已知 ABC 的坐标分别为A<1， 1）、 B<3， 2 ）、 C<2，4 ），写出直线 AB 的向量方程及其坐标形式。并求出BC 边上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的高。 2z4sV2AHVW答案： AB的平行向量为： V0=一点，故：3 -12 -1= 2，设 M为直线 AB上的任意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11所求向量方程为： OM= OA + t . V0 tR > 其坐标形式分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结别为：x= 1+ ty12 tR > 由 ，直线 AB 的坐标形式方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结程可化为：x 12ty 1t消去 t 后得一般方程为： x-2y+1=0所以所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 高 为 C到 直 线 AB的 距 离 ， 设 为 h,就 ： h=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=5 。2z4sV2AHVW| 1221241 |22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 假设某的只有甲乙两家工厂生产并贩卖某一种产品每一年可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结甲工厂的顾客中有 3 转向乙工厂购买此产品，只有 1仍旧向甲工厂购可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结44买。而乙工厂的顾客中有 1 转向甲工厂购买，其余2 的顾客仍旧向乙33工厂购买，请问一年、二年、三年后，甲乙两家工厂的市场占有率为何？2z4sV2AHVW可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：设甲乙两工厂目前市场占有率为x0 , y0 ，其中 x0y01,n 年后可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结甲乙两工厂市场占有率分别为第一年甲工厂的市场占有率xn , ynx1 x1 y ，乙工厂的市场占有率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y3 x2 y ，10043可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结43100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11令 A= 4 33243系，Xn= xnyn11，就可用 AX0= 433243xn= x1yny1=X1 表示上述的关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次年甲工厂的市场占有率x1 x1 y ，乙工厂的市场占有率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结43y3 x2 y ，211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2114311就 AX1= 433243x1= x2y1y2=X2 AXn=Xn+1, 依据上述的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X nAX n 1A AX n 2 A AX n 3 A X n 3A X 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结151115 x11 y177133177 x+ 133 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 X2=4836x483325y033【作业本】4836480025 y255299y0255 x29936432432432432036x00，X3=432432x0004324320y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 组1 对 于 一 个 二 阶 矩 阵 A ， 下 列 说 法 正 确 的 是<）2z4sV2AHVWA、它的特点向量是唯独的B、它的特点向量有且只有两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C、它的特点向量有无穷多个D、它的特点向量由它的特点值来确定答案： D。2设 M=1 -111，就 M 50=< ） 2z4sV2AHVWA、0-2252025B、-2 2500225C、2 250002 25-225D、-2025答 案 ： A。 解 读 ：M 2=0 -220，M 4=04 0-4， M 50= M 4 12M 2202402242 00 202 25-225。03假设每市每年有 5%的人口移入市区，而市区每年有3%的人口移入郊区，且无其它的方的人口移入或移出，就市区与郊区的人口占比可用矩阵表示<） 2z4sV2AHVWA、0.95 0.030.05 0.97B、0.03 0.950.97 0.05C、0.05 0.950.03 0.97D 、0.05 0.970.03 0.95答案： A。4矩阵 A=1 12 -3的特点值为。答案： 16 。解读：由已知f 132B2250 ，解得16 。AC5如下列图的是 A， B，C 三个城市间的交通情形，就二级路矩阵为。答案：5 2 42 8 24 2 5。解读：由题意知，一级路矩阵M=0 2 12 0 21 2 0，就二级路矩阵5 2 4N=M 2= 2 8 24 2 5。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 已知 M=1 -23,-2 11，试运算M 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：矩阵 M 的特点多次式为f 1240, 13, 21 ，对应可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的 特 征 向 量 分 别 为1和1， 而12 1， 所 以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M 203201132022 120113202可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 为了保密，军中常常针对不同的军事行动而更换密码，今如商定以 24 阶矩阵中每一列的数字和之个位数字代表更换后的密码，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如 3 8 2 54 8 6 7所代表的密码为7682。而且为了确保密码在传送过程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中，不被敌方所窃取，因而作了加密动作，即将所要传送的密码之可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24 阶矩阵乘以固定矩阵 X= 2 13 1，然后将所得出的 24 阶矩阵传送给可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15 422722 4308对方，当对方收到传送过来的24 阶矩阵后再进行解密的动作<例如：原始的矩阵为A，先经过 XA=B之运算后，再将 B 传送出去）。-1115 4 22 77 0 8 13-222 4 30 81 4 6 5今如对方收到的 24 阶矩阵为，问原始密码为何？ 2z4sV2AHVW可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：由题意知： A=为 8446。X 1B，原始密码可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 有一个心理学家做了如下的老鼠试验：于前次的试验中，走 向右边的老鼠中，有 80%在下次试验中仍走向右边。走向右边的老鼠中，有 60%在下次试验中走向右边。 <1）试求其转移矩阵。 <2） 假如在第一次试验中有 50%的老鼠走向右边，试求在第三次试验，有多少老鼠走向右边？ 2z4sV2AHVW可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： <1） M= 0.8 0.6 。0.2 0.42 0.50.76 0.720.50.740.50.24 0.280.50.26<2）M，在第三次试验中，有 74%的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结老鼠走向右边。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B 组1假设有一家租车公司有三个门市，顾客可以从其中任一门市0.8 0.2 0.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结租车而在任一门市仍车，假如P=0.1 0.7 0.30.1 0.1 0.5，其中Pij表示从 j 门市租可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的车在 i 门市仍的概率，就 P12=0.2 表示的是 2z4sV2AHVW<）A、在第一门市租出去的车子中有 0.2 是在其次门市仍的B、在其次门市租出去的车子中有 0.2 是在其次门市仍的C、在其次门市租出去的车子中有 0.2 是在第一门市仍的D、在第一门市租出去的车子中有 0.2 是在第一门市仍的答案： C。解读：由矩阵 P的意义知。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 两 个数列an, bn满意an 1anbn， 其中 a12, b10 ， 就a10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn 14 anbn<）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A、 3101B、 2101C、391D、 291可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 1 9211391可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答 案 ： C 。 解 读 ： 由 已 知39 19， 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 10222392a31。9103设甲箱内有 2 个白球，乙箱内有 3 个红球，现在每次各自箱中随机取一个球互换，在交换二次后，有2 个红球在甲箱内的概率为< ） 2z4sV2AHVW可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A、 16B、 13C、 12D、 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： B。4某高中一同学，他的读书习惯是：假如他在今晚读书，就他在明晚有 70%的机率不读书。假如他在今晚不读书，就他在明晚有60%的机率不读书，如已知他在星期<今日）晚上读书，求他在星期四<大后天）晚上读书的机率为. 2z4sV2AHVW可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 0.363 。5使用球和一球袋作机率试验，球只有黑白两色，袋中装有两颗球，因此只有三种可能情形：把双白球称为状态1，一白球一黑球称为状态 2，双黑球称为状态 3，对这袋球做如下操作：自袋中随机移走一球后，再随机移入一颗白球或黑球<移入白球或黑球的机率相等）。每次操作可能会转变袋中球的状态，把从状态j 经过一次操作后会变成状态 i 的机率记为 Pij ，由此构成一 33 矩阵 P。如试验一 开 始 袋 中有 双 白 球 ， 就操 作 三 次 后 袋中 仍 有 双 白球 的 机率。2z4sV2AHVW答案： 5 。16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 求投影变换矩阵M= 1 00 0的特点值和特点向量，请运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M 10 23的值，说明它的几何意义。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： M 的特点多项式 f 10,1 或 0，故它的特点值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0和1， 对 应 的 特 征 向 量 为01和 1。 而0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20132,M 10201202，它的几何意义是：对于向量2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3103100而言，无论对它作用多少次投影变换，它总变为向量32。2z4sV2AHVW0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 证明：如 是矩阵 M对应于特点值 的特点向量，就k k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结也是矩阵 M对应于特点值 的特点向量。答案： 是矩阵 M 对应于特点值 的特点向量， M.A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 M kkMkkk0 ， k也是矩阵 M对应于特点值BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的特点向量。8. <1）写出图示网络表示的一级路矩阵和二级路矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结<2 ）已知一级路矩阵0 2 12 0 01 0 0表示一个网络图，它们的结点分别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是 A， B，C，试画出一个网络图。0 1 25 2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： <1）一级路矩阵<2）网络图：申明：1 0 12 1 0，二级路矩阵2 2A 2。B1 2 5C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结全部资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。可编辑资料 - - - 欢迎下载