放缩法技巧全总结非常精辟是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华.docx
精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2021 高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而布满摸索性和挑战性，能全面而综合的考查同学的潜能与后继学习才能，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观看所给数列通项的结构，深化剖析其特点，抓住其规律进行恰当的放缩。其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1.1求n2的值 ;2 求证 :2k 1 4k1n15 .2k 1 k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :1由于24n 212n21 2n112n112n1,所以n22k 1 4 k1112 n12n2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由于 114112,所以n11121211251可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22nn 2144n12n12n1k 1 k352n12 n133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇巧积存 :1 1n 244 n244n21212n112n121C 1 C22n1nn11nn11nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Cr13 Tr 1nrnn. r . n1rr .n11r .r r1n 1n11r2r1r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 151 nn1111121321115n n1261n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n 2 n12n12nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7 2n1n 91k n1kn12n111kknn11,n1 nn811k22 n11k1112n32n11nn1k2 n11 2n 1 2n13 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10nn1 .1n .n11 .111n2 2n 12n 12 22n12n 12n1n122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn11222n2nnnn2 n 1nn 111n 1nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2121 2121 2221212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121 n31n n 2nn11n11n n11n n11n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11n1n113n 1nn1n12 nnn11n1n1nnn212n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2142 231 2k23321121213152n131nn1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k. k1.k2.k1 .k2 .nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15i 21 ij 21ji 2j 2ij i 21j 21ii 21j1j 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1例 2.1 求证 :1122352 求证 : 11116364n 221 3135132 4246243 求证 : 112 2n1171n62 2n1114n5 2n122n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24 求证： 2n111124 62n112 2n3n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :1由于12 n122n11 2n 1112 2n 112n 1,所以ni 1 2i11 211 12 312n111 12 312n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 1114163611 11224n4211 1112n4n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3先运用分式放缩法证明出1 3 52n11, 再结合1进行裂项 ,最终就可以得到答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 4 62n2n1n2nn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4第一1n2 n1n2n1n,所以简单经过裂项得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 n11111123n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再 证12 2 n 1n2 n 12 22n12n12n1n2而 由 均 值 不 等 式 知 道 这 是 显 然 成 立 的 ， 所 以12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1112312n2n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3. 求证 : n6n1115211 2n149n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :一方面 :由于 1n21n21444n 21122 n 112n1,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n12111k352k 112 n112n112533可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另一方面 :111491111n22334111nnn1n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n3时,nn16nn12n, 当 n11 时,n6n1 2n11111 ,49n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n2 时, n6n6n1111 2n149111121 ,所以综上有n25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n12n149n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4.2021 年全国一卷 设函数f xxx ln x . 数列an满意 0a11 . an 1f an . 设 b a1，1 ，整数k a1b . 证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明: ak 1b .a1 ln b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :由数学归纳法可以证明an是递增数列 ,故存在正整数mk ,使 a mb ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a k 1akb ,否就如 ambmk ,就由 0a1amb1 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a m ln a ma1 ln ama1 ln b0 ,aak 1kak ln akka1amm 1ln am,由于kam ln amm 1k a ln b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1于是 ak 1a1k| a1 ln b |a1ba1b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5.已知 n, mN , x1, Sm1m2m3mn m , 求证 :n m 1m1 Snn1m 11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :第一可以证明 : 1x n1nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nm 1n m 1n1m 1 n1 m 1n2 m 11m 10n k m 1k 1k1m1 所以要证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n m 1m1Snn1 m 11只要证 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n k m 1k 1k1m 1 nm1k m k 1n1m 11 n1m 1nm 1n m 1n1m 12 m 11 m 1n kk 11 m 1km 1 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只要证n k m 1k 1k1m 1nm1k m k 1n kk 11m 1k m 1 ,即等价于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k m 1 k1 m 1m1k mk1m 1k m ,即等价于 1m1k11 mk1,1m1k11 m 1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而正是成立的 ,所以原命题成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a例 6. 已知n4n2n ,Tn2na1a2,求证 : T1anT241T34 n 213.Tn22 n 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T解析 :n4142434 n21222n 14123 4n12 12 n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以Tn4 4n32n12 12n 4 n 132 n422n 132n4n 12332 n 14n 13 2n3 2n 123 2n2 2 2n 23 2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结322从而 T1T22 n2 n1 2n1T3Tn312 2n13112312n 11113712 n1132n 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x例 7. 已知 x11,nnn2k1, kZ ,求证 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明 :14 x2 x31n14 x4 x51n12k, kZ 14 x2n x2 n 112 n111nN *12 ,由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 x2n x2n 14 2n1 2n14 4n 214 4n22n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 nnn1 ,所以412x2 n x2 n 12 n2nn12 n1n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以14 x2x314 x4 x514 x2 nx2 n 12 n11nN *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、函数放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8.求证：ln 22ln 33ln 44ln 3n3n3n5n 66 nN * .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :先构造函数有ln xx 1ln x x11 , 从而xln 22ln 33ln 44ln 3n3n3n1 111 233n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111111123456789由于 111233 n533993n 13n 11112n2 n13n5n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结66所以 ln 229ln 3318ln 4427ln 2ln 3nn3ln 32 3n 1n313n5n 6ln n6n5n6362n 2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9.求证 :12,23 n2n2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :构造函数f x ln x ,得到xln n nln n 2 ,再进行裂项n2ln n211n 2n211nn, 求和后可以得到答案1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数构造形式 :ln xx1 , ln nn12 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10.求证 : 1123111ln n11n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :提示 : ln n函数构造形式 :1ln xln n1nnn1x, ln x11 x2ln n11nlnnn1ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -y当然此题的证明仍可以运用积分放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图 ,取函数f x1 ,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一 :n 1SABCFx,从而 , 1 in1ln x |nnnxiln nDln niE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取 i1有, 1 nn iln nln nn i1 ,FCABOn-inx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以有 12ln 2 , 13ln 3ln 2 ,1 nln nln n1 ,1n1ln n1) ln n ,相加后可以得到 :11231ln n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另一方面nS1 ,从而有1in 1ln x |nln nln ni可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABDEnixn i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n in i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x取 i1有,1 n1ln nln n1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以有1ln n 1121 ,所以综上有 11n231ln n1111n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11.求证 :11112.3.11n.和e11 11 98111 e .32 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :构造函数后即可证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 12.求证 : 112 1231n n12 n 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e解析 :ln nn 1132nn1,叠加之后就可以得到答案1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数构造形式 :ln x 123 x0 x 11 ln1 x x3 xx 1加强命题 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 13.证明 : ln 2ln 3ln 4ln nn n1 nN *, n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :构造函数3f x45ln x1n1x141 x1 ,求导 ,可以得到 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结''f ' x121x 1xx ,令1f x0 有1x2 ,令f x0 有 x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 f xf 20 ,所以 ln x1x2 ,令 xn 21 有, ln n2n21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 ln nn 1 ,所以ln 2ln 3ln 4ln nnn1) nN *, n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 12345n 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a例 14. 已知11,an 111n2 ann1 . 证明 an2ne2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :an 111n n1 ann1211nn 11 a ,2 nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结然后两边取自然对数,可以得到ln an 1ln11n n 112 n ln an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结然后运用ln1xx 和裂项可以得到答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结放缩思路：a n 111 n2n1n a n2ln a n 1ln 11n 2n12 n ln a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln an1n 2n1 。于是2 nln a n 1ln a n1n 2n1 ，2n1 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1ln a i 1ln ai n 111i 2i2 iln anln a11 1 12n11122 .n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i 1即 ln anln a1i 12an12e2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：题目所给条件ln1xx （ x0 ）为一有用结论，可以起到提示思路与探究放缩方向的作用。当然，此题仍可用结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 nn n1n2) 来放缩：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 111nna n11nn1a n 11 11n n an 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lnan 11lnan1ln11n n 11.nn 1n 1 ln ai 1i 21ln ai1n 11i2i i1ln an1ln a 21111 ，n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ln an11ln 32an3e1e .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 15.2021 年厦门市质检 已知函数f x 是在0, 上到处可导的函数,如 xf 'xf x 在 x0 上恒成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
