数列知识点总结及题型归纳5.docx

精品名师归纳总结A 15B 30C 31D 64数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、数列的概念2. an 是首项a11 ,公差 d3的等差数列,假如an2005 ,就序号 n 等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）数列定义：按肯定次序排列的一列数叫做数列。（ A） 667（ B）668（ C） 669（D） 670可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an ,在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项）,在其次个3. 等差数列 an2 n1,bn2 n1 ,就an 为bn 为（填“递增数列”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结位置的叫第 2 项,序号为 n的项叫第 n 项（也叫通项）记作an 。或“递减数列” ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列的一般形式：a1 , a2 , a3 ,an ,简记作an 。 三 、等差中项的概念：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）通项公式的定义：假如数列就叫这个数列的通项公式。 an 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式定义：假如 a , A , b 成等差数列,那么A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中abAab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如： ：1 , 2 ,3 , 4, 5, a , A , b 成等差数列A即：2an 1anan 2（ 2anan man m ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 11 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ： 1, , , , 例： 1（ 06 全国 I ）设an 是公差为正数的等差数列,如a1a2a315 , a1a2a380 ,就a11a12a13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：2 34 5（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an表示数列,an 表示数列中的第 n 项,an =fn 表示数列的通项公式。A 120B 105C 90D 75 四 、等差数列的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 同一个数列的通项公式的形式不肯定唯独。例如,nan = 1 =1,n1,n2k1kZ 。2k（ 1）在等差数列an 中,从第 2 项起,每哪一项它相邻二项的等差中项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不是每个数列都有通项公式。例如,1, 1.4 , 1.41 ,1.414 ,（ 2）在等差数列an 中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）在等差数列a中,对任意 m , nN , aanmd , danammn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）数列的函数特点与图象表示：nnmnm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集N （或它的有限子集）的函数f n 当自变量 n 从 1（ 4）在等差数列an 中,如 m , n , p , qN且 mnpq ,就amanapaq 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结开头依次取值时对应的一系列函数值是一群孤立点 。f 1, f 2,f 3, ,f n ,通常用an 来代替 fn ,其图象 五 、等差数列的前 n 和的求和公式： Snna1anna1nn1) d1 n 2（ a1d） n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）数列分类：按数列项数是有限仍是无限分：有穷数列和无穷数列。按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摇摆数列。 SAn 2Bn A, B为常数 2222a是等差数列 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：以下的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列？nn（ 1）1, 2, 3, 4, 5,6, 210, 9, 8, 7, 6, 5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 1, 0, 1, 0, 1, 0,4a, a, a, a, a,S n1递推公式： Sna1an n2aman m21 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）数列 an 的前 n 项和Sn 与通项a n 的关系： an1SnSn1 n 2例： 1. 假如等差数列an中, a3a4a512 ,那么 a1a2.a7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、等差数列（ A）14（ B） 21（ C）28（ D）35可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 一 、等差数列定义：一般的,假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为2. （2022 湖南卷文）设Sn 是等差数列an 的前 n 项和,已知 a23 , a611 ,就S7 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anan 1d n2) 或an 1and n1A 13B35C 49D 63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：等差数列 an2 n1 , anan 13. （2022 全国卷理）设等差数列an的前 n 项和为Sn ,如 S972 , 就 a2a4a9 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 二 、等差数列的通项公式：ana1n1) d 。4. 如一个等差数列前3 项的和为 34,最终 3 项的和为 146,且全部项的和为390,就这个数列有（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d0 为递增数列, d列。0 为常数列, d0 为递减数A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： 1. 已知等差数列an中, a7a 916, a 41,就a12 等于（）5. 已知等差数列an的前 n 项和为Sn ,如S1221,就 a2a5a 8a11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. （ 2022 全国卷理）设等差数列a的前 n 项和为S ,如 aS95a 就通项公式法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn53Saknbk ,b为常数 a是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 已知 an数列是等差数列,a1010 ,其前 10 项的和S10570 ,就其公差 d 等于nn前 n 项和公式法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SAn2Bn A, B为常数 a是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2112nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. BC.D.3333例： 1. 已知数列 an 满意 anan 12 ,就数列 an 为 （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ansna6s312anA. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. （ 2022 陕西卷文）设等差数列的前 n 项和为, 如, 就2. 已知数列 an 的通项为 an2n5 ,就数列 an为 （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SnA. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9（ 00 全国）设 an为等差数列, Sn 为数列 an的前 n 项和,已知 S7 7,S15 75,Tn 为数列n3. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2n 24 ,就数列 an 为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的前 n 项和,求 Tn。 六 . 对于一个等差数列：4. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2 n 2 ,就数列 an 为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SaA. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）如项数为偶数,设共有2n 项,就 S 偶S 奇nd 。 奇n。5. 已知一个数列 an 满意 a n 22 an 1an0 ,就数列 an 为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S偶an 1S奇nA. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如项数为奇数,设共有2n1项,就 S 奇S 偶ana中 。 。S偶n16. 数列 an满意 a1 =8, a42,且 an 22an 1an0 （ nN）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 一个等差数列共2022 项,求它的奇数项和与偶数项和之比 2. 一个等差数列前20 项和为 75,其中奇数项和与偶数项和之比1： 2,求公差 d求数列an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 一个等差数列共有10 项,其偶数项之和是15,奇数项之和是25 ,就它的首项与公差分别是 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 七 . 对与一个等差数列,Sn , S2nSn , S3nS2n仍成等差数列。7（ 01 天津理, 2）设 Sn 是数列 an 的前 n 项和,且 Sn=n ,就 an 是（）A. 等比数列,但不是等差数列B.等差数列,但不是等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： 1. 等差数列 an 的前 m项和为 30,前 2m项和为 100,就它的前 3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602. 一个等差数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,就前 3 n 项的和为。C. 等差数列,而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列 九 . 数列最值（ 1） a10 , d0 时, Sn 有最大值。 a10 , d0 时, Sn 有最小值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n3. 已知等差数列an的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,就前 110 项和为（ 2） Sn 最值的求法： 如已知Sn ,Sn 的最值可求二次函数San2bn 的最值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 设 Sn 为等差数列an的前 n 项和, S414, S10S730,就 S9 =可用二次函数最值的求法（nN ）。 或者求出an 中的正、负分界项,即：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5（ 06 全国 II ）设 Sn 是等差数列 an的前 n 项和,如S3 1 ,就S63S6 S12如已知an ,就Sn 最值时 n 的值（ nN ）可如下确定an0或an 10an0。an 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 3 10B. 13C 18D 19例： 1等差数列an中,a10, S9S12 ,就前项的和最大。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 八 判定或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：2设等差数列an的前 n 项和为Sn ,已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1and 常数）（ nN ）an是等差数列a312, S120, S130可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中项法：求出公差 d 的范畴,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2an 1anan 2（ nN an 是等差数列指出S1, S2, S12 中哪一个值最大,并说明理由。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3（02 上海）设 an（ n N* ）是等差数列, Sn 是其前 n 项的和,且 S S, S S S ,就以下结论错误数列,这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q 表示 q0 ,即：an 1： anqq0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的是（）56678 一 、递推关系与通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. d0B.a7 0C.S9 S5D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值递推关系：an 1anq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1m4. 已知数列a的通项 n98 （ nN）,就数列a的前 30 项中最大项和最小项分别是通项公式： anaqn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn99推广： anaqn m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结35. 已知 an 是等差数列,其中a131 ,公差 d8。1. 在等比数列an 中, a14, q2 ,就 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 在等比数列an 中, a712, q2 , 就 a19 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）数列 an 从哪一项开头小于0？3. （ 07 重庆文）在等比数列 an 中, a2 8, a164,就公比 q 为（）（ A）2（ B）3（ C）4（ D）8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）求数列 an 前 n 项和的最大值,并求出对应n 的值4. 在等比数列an 中, a22 , a 554 ,就a 8 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 十. 利用 anS1nSnSn 1 n1求通项25. 在各项都为正数的等比数列 an 中,首项A 33B 72C 84D 189a13 ,前三项和为 21,就 a3a4a5（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 数列 a 的前 n 项和Sn21 （ 1）试写出数列的前5 项。（ 2）数列 a 是等差数列吗？（ 3）你能写出 二 、等比中项：如三个数a, b, c 成等比数列,就称 b 为 a与c 的等比中项,且为 bac,注： b 2ac 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn数列 an 的通项公式吗？n成等比数列的必要而不充分条件.2例： 1. 23 和 23 的等比中项为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 设数列 an的前 n 项和为 Sn=2n ,求数列 an 的通项公式。 A1(B) 1C 1 D 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. （ 2022 安徽文）设数列 an 的前 n 项和Sn 2 ,就a8 的值为（）2. （ 2022 重庆卷文） 设项和 Sn =（）an 是公差不为 0 的等差数列,a12 且 a1, a3, a6 成等比数列, 就 an的前 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n（ A） 15B 16C49（D） 641n27 nn25nn 23n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、2005 北京卷）数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an 1Sn ,3n=1,2, 3,求 a2, a3, a4 的值及A. B4433C. D n2n24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列 an 的通项公式 三 、等比数列的基本性质,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. （ 1） 如mnpq,就amana paq 其中 m, n, p, qN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、等比数列（ 2） q n man , a 2naman man mnN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等比数列定义（ 3） an为等比数列,就下标成等差数列的对应项成等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般的, 假如一个数列从其次项起 ,每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ,那么这个数列就叫做等比（ 4） an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： 1在等比数列a中,a 和 a是方程2 x25 x10 的两个根 , 就 aa 六 、等比数列的判定法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A5n110(B) 2(C) 147(D) 1（ 1）定义法：an 1anq（常数）an为等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22. 在等比数列2an,已知 a125 , a9a10100 ,就2a18 =（ 2）中项法：2an 1anan 2an0an为等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 等比数列 an 的各项为正数,且a5a6a4a718,就log 3 a1log 3 a2log 3 a10（）（ 3）通项公式法： ank q n k, q为常数）an 为等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 12B10C 8D 2+ log3 5（ 4）前 n 项和法： Snk1q n （ k, q为常数）an为等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. （2022 广东卷理）已知等比数列 an 满意 an0, n1,2,且 a5 a2 n 522n n3) ,就当 n1例： 1. 已知数列nSnkkq（k ,q为常数） a a2 nan为等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n的通项为n,就数列 an 为 （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时, log 2 a1log 2 a3log 2 a2 n 1（）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22. 已知数列 an 2满意 an 1anan 2 an0) ,就数列 an为 （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. n 2 n1B.n1C.n2D.2n1A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn22 n1,就数列 an 为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 四 、等比数列的前n 项和,A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sna1na1 11qn q q1a1anq1qq1四、求数列通项公式方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： 1. 已知等比数列 an 的首相 a15 ,公比 q2 ,就其前 n 项和 Sn（ 1）公式法（定义法）依据等差数列、等比数列的定义求通项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（2006 年北京卷）设f n2242721023n10 nN ,就f n 等于（）例： 1 已知等差数列 an 满意： a 37, a 5a726 , 求 an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 2 8n172n 1B81 72n 3C8172n 4D 8127可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3（1996 全国文, 21）设等比数列 an的前 n 项和为 Sn,如 S3 S6 2S9,求数列的公比 q。 五.等比数列的前 n 项和的性质2. 等比数列 a n 的各项均为正数,且2a13a21 , a39a2a6,求数列 an 的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如数列 an 是等比数列, Sn 是其前 n 项的和, kN * ,那么Sk , S2 kSk , S3kS2 k 成等比数列 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： 1. （2022 辽宁卷理）设等比数列an 的前 n 项和为Sn ,如S6S9SS3 =3 ,就6=3. 已知数列 an 满意 a12, a24且an 2anan 1（ nN）,求数列an的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 2B.73C.83D.34. 已知数列 an 满意 a12,且 an 15n 12an5n （ nN）,求数列an的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 一个等比数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,就前 3 n 项的和为（）A 83B 108C75D 635. 数列已知数列an 满意 a11 , a2n4an 11n1. 就数列an的通项公式 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知数列an是等比数列,且 Sm10, S2m30,就 S3m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）累加法1、累加法适用于：an 1anf n3. 已知 a13 , an 13n1 an3n2n1 ,求an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2a1f 1（ 4）待定系数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 an 1anf n n2 ,就a3a2f 2适用于an 1qanf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1anf n例： 1.已知数列 an 中, a11,an2an 11n2 ,求数列an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两边分别相加得naafn2. （ 2006 , 重 庆 , 文 ,14 ） 在 数 列an中 , 如 a11,an 12an3n1 , 就 该 数 列 的 通 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 11k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1例： 1. 已知数列 an 满意 a1,an 1an12,求数列 an 的通项公式。an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24n13. 已知数列an满意 a11,an 12an1nN * . 求数列an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知数列 an 满意an 1an2 n1, a11 ,求数列 an 的通项公式。（ 5）递推公式中既有Sn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n3. 已知数列 a 满意 aa23n1, a3 ,求数列 a 的通项公式。S1,n1n分析：把已知关系通过ann 1n1n转化为数列a或 S 的递推关系,然后采纳相应的方法求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SnSnn1, n2可编辑资料 - - - 欢迎下