2022年《定积分的概念》教案2.pdf

1.5.3 定积分的概念（2 课时）教学目标：通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分3理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义教学过程：一创设情景复习：1 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割以直代曲求和取极限（逼近2对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点二新课讲授1定积分的概念一般地，设函数( )f x在区间 , a b上连续，用分点0121iinaxxxxxxb将区间 , a b等分成n个小区间，每个小区间长度为x（baxn） ，在每个小区间1,iixx上取一点1,2,iin，作和式：11()()nnniiiibaSfxfn如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数( )fx在区间 , a b上的定积分。记为：()baSfx dx其中( )f x成为被积函数，x叫做积分变量， , a b为积分区间，b积分上限，a积分下限。说明：（1）定积分( )baf x dx是一个常数，即nS无限趋近的常数S（n时）称为()bafx dx，而不是nS（2）用定义求定积分的一般方法是：分割：n等分区间,a b；近似代替：取点1,iiixx；求和：1()niibafn；取极限：1( )limnbianibaf x dxfn（3）曲边图形面积：baSfx dx；变速运动路程21( )ttSv t dt；变力做功( )baWF r dr精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 2定积分的几何意义说明： 一般情况下，定积分( )baf x dx的几何意义是介于x轴、函数( )f x的图形以及直线,xa xb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号 （可以先不给学生讲） 分析：一般的，设被积函数( )yf x，若( )yf x在 , a b上可取负值。考察和式12()infxxfxxf xxfxx不妨设1(),(),()0iinf xf xf x于是和式即为121()()iinfxxfxxf xxf xxfxx( )baf x dx阴影A的面积阴影B的面积 （即x轴上方面积减x轴下方的面积）2定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质 1 abdxba1性质 2babadxxfkdxxkf)()(（其中 k 是不为 0 的常数）（定积分的线性性质）性质 31212( )( )( )( )bbbaaafxfx dxfx dxfx dx（定积分的线性性质）性质 4( )( )( )()bcbaacf x dxf x dxf x dxacb其中（定积分对积分区间的可加性）说明：推广：1212( )( )( )( )( )( )bbbbmmaaaafxfxfx dxfx dxfx dxfx推广 :121( )( )( )( )kbccbaaccf x dxf x dxf x dxf x dx性质解释：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - PCNMBAabOyxy=1yxOba三典例分析例 1计算定积分21(1)xdx分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。即：215(1)2xdx思考：若改为计算定积分22(1)xdx呢？改变了积分上、下限，被积函数在 2,2上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）四课堂练习计算下列定积分150(24)xdx50(24)945xdx211x dx11111 11 1122x dx5课本练习五回顾总结1定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义六布置作业性质 1性质 4AMNBAMPCCPNBSSS曲边梯形曲边梯形曲边梯形1 2 y x o 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -