2022年《定积分的概念汽车行驶的路程》教案.pdf

1.5.2 汽车行驶的路程教学目标：1体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；2感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。3了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）教学难点：过程的理解教学过程：一创设情景复习： 1连续函数的概念；2求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？二新课讲授问题： 汽车以速度v组匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为Svt如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为22v tt（单位： km/ h） ，那么它在0t 1(单位： h)这段时间内行驶的路程S（单位： km）是多少？分析： 与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题， 化归为匀速直线运动的路程问题把区间0,1分成n个小区间， 在每个小区间上，由于v t的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S（单位： km）的近似值， 最后让n趋紧于无穷大就得到S（单位： km）的精确值（思想： 用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）解： 1分割在时间区间0,1上等间隔地插入1n个点，将区间0,1等分成n个小区间：10 ,n，12,nn，1,1nn记第i个区间为1,(1, 2 , )iiinnn，其长度为11iitnnn把汽车在时间段10 ,n，12,nn，1,1nn上行驶的路程分别记作：1S，2S，nS精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 显然，1niiSS（2）近似代替当n很大，即t很小时，在区间1,iinn上，可以认为函数22v tt的值变化很 小 ， 近 似 的 等 于 一 个 常 数 ， 不 妨 认 为 它 近 似 的 等 于 左 端 点1in处 的 函 数 值2112iivnn，从物理意义上看， 即使汽车在时间段1,(1, 2 ,)iiinnn上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1in处的速度2112iivnn作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积iS近似的代替iS，即在局部范围内“以直代取”，则有21112iiiiSSvtnnn2112(1,2, )iinnnn（3）求和由，21111112nnnniiiiiiSSvtnnnn=221111102nnnnnn=222311212nn=3121126nnnn=11111232nn从而得到S的近似值11111232nSSnn（4）取极限当n趋向于无穷大时，即t趋向于 0 时，11111232nSnn趋向于S，从而有1111115limlimlim112323nnnnniiSSvnnnn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 思考： 结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S与由直线0,1 ,0ttv和曲线22vt所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程limnnSS在数据上等于由直线0 ,1,0ttv和曲线22vt所围成的曲边梯形的面积一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为vv t，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在atb 内所作的位移S三典例分析例 1弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F xkx（k为常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功分析： 利用“以不变代变” 的思想， 采用分割、 近似代替、 求和、 取极限的方法求解解： 将物体用常力F沿力的方向移动距离x，则所作的功为WF x1分割在区间0,b上等间隔地插入1n个点，将区间0,1等分成n个小区间：0 ,bn，2,bbnn，1,nbbn记第i个区间为1,(1, 2, )ibi binnn，其长度为1ibi bbxnnn把在分段0 ,bn，2,bbnn，1,nbbn上所作的功分别记作：1W，2W，nW（2）近似代替有条件知：11iibibbWFxknnn(1, 2, )in（3）求和111nnniiiib bWWknn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - =22222110121122n nkbkbkbnnnn从而得到W的近似值2112nkbWWn（4）取极限2211limlimlim122nninnnikbkbWWWn所以得到弹簧从平衡位置拉长b所作的功为：22kb四课堂练习1课本练习五回顾总结求汽车行驶的路程有关问题的过程六布置作业精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -