2022年《定积分的概念》教案.pdf

1.5.3 定积分的概念教学目标：1. 通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2. 借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3. 理解掌握定积分的几何意义教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义教学过程：一创设情景复习：1 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：分割近似代替(以直代曲 )求和取极限（逼近）2对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点二新课讲授1定积分的概念一般地，设函数( )f x在区间 , a b上连续，用分点0121iinaxxxxxxb将区间 , a b等分成n个小区间，每个小区间长度为x（baxn） ，在每个小区间1,iixx上任取一点1,2,iin，作和式：11()()nnniiiibaSfxfn如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数( )f x在区间 , a b上的 定积分 。记为：()baSfx dx，其中积分号 ，b积分上限 ，a积分下限，( )f x被积函数 ，x积分变量 ， , a b积分区间，()fx dx被积式 。说明：（1）定积分( )baf x dx是一个常数，即nS无限趋近的常数S（n时）记为()bafx dx，而不是nS（2）用定义求定积分的一般方法是：分割：n等分区间,a b；近似代替：取点1,iiixx； 求和：1()niibafn； 取极限：1()limnbinaibafx dxfn（3）曲边图形面积：baSfx dx；变速运动路程21( )ttSv t dt；变力做功( )baWF r dr2定积分的几何意义精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 从几何上看，如果在区间,ab上函数( )fx连续且恒有( )0fx，那么定积分bafx dx表示由直线,(),0 xa xb aby和曲线( )yfx所围成的曲边梯形( 如图中的阴影部分) 的面积，这就是定积分bafx dx的几何意义。说明： 一般情况下，定积分( )baf x dx的几何意义是介于x轴、函数( )f x的图形以及直线,xa xb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号。分析：一般的，设被积函数( )yfx，若( )yfx在 , a b上可取负值。考察和式12()infxxfxxf xxfxx不妨设1(),(),()0iinfxfxfx于是和式即为121()()iinfxxfxxfxxfxxfxx( )baf x dx阴影A的面积阴影B的面积 （即x轴上方面积减x轴下方的面积）思考： 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？3定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质 1()bakdxk ba；性质 2( )( )()bbaakfx dxkfx dx k为常数（定积分的线性性质） ；性质 31212( )( )( )( )bbbaaafxfx dxfx dxfx dx（定积分的线性性质） ；性质 4( )( )( )()bcbaacfx dxf x dxf x dxacb其中（定积分对积分区间的可加性）(1)( )( )baabf x dxfx dx； (2)( )0aaf x dx；说明：推广：1212( )( )( )( )( )( )bbbbmmaaaafxfxfx dxfx dxfx dxfx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 推广 :121( )( )( )( )kbccbaaccf x dxfx dxf x dxf x dx性质解释：PCNMBAabOyxy=1yxOba三典例分析例 1利用定积分的定义，计算130 x dx的值。分析：令3()fxx；（）分割把区间0,1n 等分，则第i 个区间为：1,(1,2, )iiinnn，每个小区间长度为：11iixnnn；（）近似代替、求和取(1,2, )iiinn，则3212332440111111 111()()1144nnnniiiiix dxSfxinnnnnnnn（）取极限2130111limlim144nnnx dxSn. 例 2计算定积分21(1)xdx分析：所求定积分是1,201xxyyx，与所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积，面积为52。性质 1性质 4AMNBA MPCCPNBSSS曲边梯形曲边梯形曲边梯形1 2 y x O 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 即：215(1)2xdx思考：若改为计算定积分22(1)xdx呢？改变了积分上、下限，被积函数在2,2上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）例 计算定积分120(2)xxdx分析：利用定积分性质有，11122000(2)2xxdxxdxx dx利用定积分的定义分别求出10 xdx，120 x dx，就能得到120(2)xxdx的值。四课堂练习计算下列定积分150(24)xdx50(24)945xdx211x dx11111 11 1122x dx3课本练习：计算230 x dx的值，并从几何上解释这个值表示什么？五回顾总结1定积分的概念、用定义法求简单的定积分、定积分的几何意义六布置作业P50 3、 5精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -