数学归纳法教学设计.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案数学归纳法教学设计一教学内容分析数学归纳法作为直接证明的始终特别方法，主要用于证明与整数有关的数学命题。人教课标准版教科书把数学归纳法支配在选修2 2 其次章推理与证明中，教学时间为2 课时，此教案为数学归纳法的第一节课。在此之前， 同学已通过数列一章的内容和推理与证明内容的学习， 初步把握了由有限多个特别事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，知道不完全归纳法是争论数学问题猜想或者发觉数学规律的重要手段。但是由有限个实例得出结 论的推理只是合情推理，而合情推理得出的结论未必正确。因此为了补偿这一不足，我们必需学习严谨的科学论证方法数学归纳法！它是促进同学从有限思思维进展到无限思维的一个重要载体，也是培育同学严密的推理才能和抽象思维才能的好素材！教学重点懂得数学归纳法的实质意义，把握数学归纳法的证题步骤教学难点数学归纳法证题有效性的懂得二、学情分析同学通过推理与证明前两节的学习，已经基本把握了归纳推理，且已经具备了肯定的观看、 归纳、猜想才能。通过教学方法的改革和素养训练的实施，同学已基本习惯了对已给问题的主动探究， 但主动提出问题和质疑的习惯仍然需要进一步加强。结合教学内容的特点，本节主要采纳“探究式学习法”进行教学。三、教学目标依据教学大纲和对教材内容的分析，以及结合同学已有的学问基础，本节课的教学目标是：学问与技能目标：1 明白“归纳法”的含意2懂得“数学归纳法”的实质。3把握数学归纳法证明命题的两个步骤，会用“数学归纳法”证明简洁的恒等式。过程与方法目标：1经受观看、摸索、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤，初步形成归纳、猜想和发觉的才能。2经受数学归纳法解题步骤的获得和用“数学归纳法”证明简洁恒等式的过程，初步懂得和把握“归纳猜想证明”这一探究发觉的思维方法和利用“反例”否定命题的数学方法。情感、态度与价值目标：1通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的数学思维品质与数学理性精神。2熟识有限与无限的辩证关系。3感悟数学的内在美，体会数学的博大精深四、教学过程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案一、创设问题情形师：本节课我们学习数学归纳法 （板书）。在本章第一节我们学习了合情推理与演绎推理，下面请同学们摸索一下，“天下乌鸦一般黑”这一结论是通过合情推理仍是通过演绎 推理得到的？生：“天下乌鸦一般黑”这一结论是通过不完全归纳法得到的，不完全归纳法是合情推理。师：由合情推理得到的结论是否肯定正确？生：教科书上明确指出：由合情推理得出的结论未必正确。师：回答的很好， 不完全归纳法得到的结论带有猜想的成分，因此推理所得的结论不一定正确 （顺便指出人们已在非洲的坦桑尼亚发觉三种并非全黑的乌鸦，在日本也发觉了一只全身皆白的真正的白乌鸦），但是它具有推测和发觉结论、探究和供应证明的思路和方向的作用， 在数学上， 我们许多时候是通过观看归纳猜想，这种思维过程去发觉某些结论的。师：我们先来探究下面一个问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列 an 中 a11， a22，an 2an 1an，求 a2021 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生：写出数列 an 前几项，观看可知 an 是周期为6 的周期数列，所以a2021 = a1 =1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结师：很好。此题是观看数列 an 前几项， 归纳出一般的规律， 再由一般的规律写出a2021 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结我们再来探究一个问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知数列 a 的通项公式为an 25n5 2n1 ，同学分别运算a 、a 、a 、a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn1234可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的值，猜想an 的值，并运算a5 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生甲： a11，a22，a33，a44，由此可猜想an =n。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生乙：甲的猜想不正确，由于a55 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结师：乙的回答是正确的，此题也是观看数列an 前几项，归纳出一般的规律，再由一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结般的规律写出a5 ，但结论是错误的。总结：通过前面两个例子，使我们进一步熟识到用不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结完全归纳法得出的结论，由于只考察了部分情形，结论不肯定具有普遍性。现在请同学们想一想，在以前给出的数学公式中，有没有用不完全归纳法得出的？生：有。例如等差数列通项公式的推导。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结师 ： 很 好 。 我 们 是 由 等差 数 列 前 几 项 满 足 的 规律 ： a1a10d ， a2a1d ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a3a12d ， a4a13d ，归纳出了它的通项公式的。等差数列的通项公式也是由有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结限个特别事例归纳出来的，也可能不正确，又由于正整数有无限多个，不行能一一验证，那可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案么该如何证明这类有关正整数的命题了？二、设置问题，引导探究师：同学们小时侯放过鞭炮没有？生：（没）放过。 （课堂气氛由刚才的深思变得开头活跃）师：无论放过仍是没放过，信任同学们对放鞭炮都很熟识，下面请摸索：点燃一盘鞭炮后，满意什么条件，一盘鞭炮可以全部响？生：如前一个响，就后一个也响师：这样就保证了可以递推下去，鞭炮就可以全部响了，是吗？生：不是。如第一个鞭炮不响，就一盘鞭炮也不会全部响，所以，仍要有一个条件：第一个炮要响。师：大家说有了这两个条件，点燃一盘鞭炮后鞭炮是不是可以全部响了？生：是。师：上面的同学说得很好，要使一盘鞭炮全部响应满意两个条件，第一个条件是： 第一个炮要响。其次个条件是：如前一个响，就后一个也响，该条件可转化为：假设第k 个炮响张，第 k1个炮肯定响。同学类比鞭炮全响的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） n 取第一个值n0 例如n01 时命题成立 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）假设 n=kkN * ,kn 命题成立，利用它证明n=k+1 时命题也成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0满意这两个条件后，命题对一切nN * 均成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结现在你能不能利用这种思想（递推思想）来证明等差数列通项公式了？三方法尝试（同学共答，老师板书）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：（ 1）当 n1 时，左边a1 ，右边a10da1 ，等式是成立的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）假设当 nk 时等式成立，就是aka1k1 d，下面看看是否能推出nk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时等式也成立，那么ak 1 等于什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生：由 aka1k1d 可得ak 1a1k11 d 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结师：看来 nk1 时等式也成立，这样做对吗？生：（齐答）不对。师：用数学归纳法证明数学命题时，难点和关键都在其次步，而这一步主要在于合理运用归纳假设，即以“n=k 时命题成立”为条件，证明“证nk1 时命题也成立” 。这里容易显现的错误是证明中不使用“n=k 时命题成立”这个条件，而直接将n=k+1 代入命题，便断言此命题成立，从而得出原命题成立的结论。下面请同学们给出正确的证明过程。（同学可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结齐答，老师连续板书）ak 1a kda1k1dda1k11 d 。这就是说，当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nk1 时， 等式也成立，大家说有了这两步，是不是就证明白等差数列通项公式的正确性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结了了？生： n1 时等式成立n2 时等式成立n3 时等式成立所以 n 取任何正整可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数等式都成立。师：我再补充一点：完成第一步、其次步后，必需要下结论，其格式为：依据可知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式对任意nN * 都成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、懂得升华师：上面这种证明方法叫做数学归纳法，数学归纳法一般被用于证明与正整数有关的数学命题，下面请同学们总结一下用数学归纳法证题的步骤。同学沟通后，共同总结，老师板书：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）证明当 n 取第一个值n0 （例如 n01 或 2 等）时结论正确。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）假设当 nk （ kN * ，且 kn0 ）时结论正确，证明当nk1 时结论也正确。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据（ 1）和（ 2），可知命题对从n0 开头的全部正整数n 都正确。概括起来就是“两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结步骤，一个结论。 ”师：用数学归纳法证题时，两个步骤各起到了怎样的作用了？生：第一步是命题递推的基础，其次步是命题递推的依据。师：回答的很好，我再强调一点：数学归纳法证题时这两个步骤缺一不行，只有把两个步骤中的结论结合起来，才能肯定命题成立.五、数学归纳法的应用师：我们已经知道，由不完全归纳法得到的结论未必牢靠，因而必需作出证明。如命题是与正整数有关的，证明可考虑用数学归纳法。下面请同学们看一道例题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1：用数学归纳法证明：1352n1n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结本例主要由同学完成，老师适时作必要引导。这样处理有利于培育同学用所学学问解决问题的才能。老师主要引导同学参加争论的内容是：1 当 nk1时，证明的目标是什么？2 当 nk1时，能否这样证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1352k1352k12 k12 k111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 k21 k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 k12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anN * ,先运算a， a， a 的值，再可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2：在数列 a n 中,a1 1,an 1 n234可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结估计通项a n 的公式 ,最终证明你的结论1an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结本例要求同学先猜想后证明，意在使同学经受一次数学争论与发觉的完整过程，并一步熟识数学归纳法。教学中可先让同学摸索3 分钟，然后让两位同学在黑板上板书解题过程，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案最终师生共同分析两位同学的解法。六、小结（师生共同完成）（一）给出以下问题：1 本节课的主要内容是什么？（数学归纳法证明命题的步骤、关键、核心，要留意的问题）2数学归纳法与归纳法的关系（归纳法是有一系列特别事例得出一边结论的推理方法，它属于归纳推理。而数学归纳法它是一种演绎推理方法，是一种证明命题的方法！因此， 它不属于 “不完全归纳法”！ 甚至连“归纳法”都不是！）3从这节课的学习中你有何感想？你能否体会到数学归纳法的魅力？（二）老师引导总结：1、数学归纳法是科学的证明方法。利用它可以证明一些关于正整数n 的命题。2 数学归纳法证明命题的两个步骤。3 用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不行。4 证明 n=k+1 命题成立时，肯定要利用假设。5 证明 n=k+1 命题成立时，第一要明确证明的目标。七、布置作业选修 2-2 第 96 页习题 2.3 A组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载