数列知识点总结及题型归纳3.docx
精品名师归纳总结题型一 、等差数列定义：一般的,假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为aad n2 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1and n1 。nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、数列的概念例：等差数列 an2n1 , anan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）数列定义：按肯定次序排列的一列数叫做数列。题型二 、等差数列的通项公式：ana1n1) d 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an ,在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项） ,在其次个位置的叫说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d0 为递增数列, d0 为常数列, d0 为递减数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第 2 项,序号为n 的项叫第 n 项（也叫通项）记作an 。例： 1. 已知等差数列an中, a 7a916, a 41,就 a12 等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列的一般形式：a1 , a2 , a3 ,an ,简记作an。A15B 30C 31D 64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：判定以下各组元素能否构成数列（ 1） a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;2. an 是首项a11 ,公差 d3 的等差数列,假如 an2005 ,就序号 n 等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22022 年各省参与高考的考生人数。（ A） 667（ B） 668（ C） 669（D） 670可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）通项公式的定义：假如数列数列的通项公式。 an 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个3. 等差数列 an数列”）2n1,bn2n1 ,就 an 为bn 为（填“递增数列”或“递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如： ：1 , 2 ,3 , 4, 5, ： 1 1 11 1题型三 、等差中项的概念：定义：假如 a , A, b 成等差数列,那么A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中Aab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结, , , , 22 34 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列 的通项公式是an = n （ n7, nN ）,1a , A , b 成等差数列Aab即： 2an12anan 2（ 2 anan man m ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列 的通项公式是an =（ nN ）。n例： 1（ 06 全国 I ）设an是公差为正数的等差数列,如a1a2a315 , a1a2a380 ,就a11a12a13（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：A 120B 105C 90D 75可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an表示数列,an 表示数列中的第 n 项, an =fn 表示数列的通项公式。2. 设数列 an 是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为 48,就它的首项是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 同一个数列的通项公式的形式不肯定唯独。例如,nan = 1 =1,n1,n2k1kZ 。2kA 1B.2C.4D.8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不是每个数列都有通项公式。例如,1, 1.4 , 1.41 ,1.414 ,题型四 、等差数列的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23456（ 2）在等差数列an中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列。56789（ 3）数列的函数特点与图象表示： 序号： 1项： 4（ 1）在等差数列an中,从第 2 项起,每哪一项它相邻二项的等差中项。anam可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看, 数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数f n 当自变量 n 从 1 开头依次取值时对应的一系列函数值（ 3）在等差数列an中,对任意 m , nN , anam nmd , dmn 。nm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 1, f 2,f 3, ,f n ,通常用an 来代替 fn ,其图象是一群孤立点。（ 4）在等差数列an中,如 m , n , p , qN 且 mnpq ,就 amanapaq 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：画出数列 an2n1 的图像 .题型五 、等差数列的前 n 和的求和公式： Snna1an na1nn1 d1 n 2（ a1d） n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）数列分类：按数列项数是有限仍是无限分：有穷数列和无穷数列。按数列项与项之间的大小关系分： SAn 2Bn A, B为常数 2222a是等差数列 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摇摆数列。nn例：以下的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）1, 2, 3, 4, 5,6, 210, 9, 8, 7, 6, 5,3 1, 0, 1, 0, 1, 0,4a, a, a, a, a,递推公式： Sna1an n 2 aman m 1 n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S1 n1例： 1. 假如等差数列an中, a3a4a512 ,那么 a1a2.a7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）数列 an 的前 n 项和 Sn 与通项a n 的关系： anSnSn1 n 2（ A） 14（ B） 21（ C）28（ D）35可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：已知数列 an 的前 n 项和 sn2n 23 ,求数列 an 的通项公式2. （ 2022 湖南卷文）设Sn 是等差数列an的前 n 项和,已知a23 , a611,就 S7 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、等差数列A 13B 35C 49D 63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. （ 2022 全国卷理）设等差数列an的前 n 项和为Sn ,如 S972 , 就 a2a4a9 =2. 一个等差数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,就前 3 n 项的和为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. （ 2022 重庆文）（ 2）在等差数列an中, a1a910 ,就 a5 的值为（）3. 已知等差数列an的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,就前 110 项和为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ A） 5（B） 6（ C） 8（ D） 104. 设 Sn 为等差数列an的前 n 项和, S414, S10S730,就 S9 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 如一个等差数列前3 项的和为 34,最终 3 项的和为 146,且全部项的和为390,就这个数列有（）A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项5（ 06 全国 II ）设 Sn 是等差数列 an的前 n 项和,如S3 1 ,就S63S6 S12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 已知等差数列an的前 n 项和为Sn ,如S1221,就 a2a5a 8a11A. 10B. 13C 18D 19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. （ 2022 全国卷理）设等差数列a的前 n 项和为S ,如 a5a 就 S9题型八 判定或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn53S5an 1and常数）（ nN ）an是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8（ 98 全国）已知数列 bn是等差数列, b1=1, b1+b2+b10=100.（）求数列 bn的通项 bn。中项法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2an 1anan 2（ nN an 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 已知 an数列是等差数列,a1010 ,其前 10 项的和S1070 ,就其公差 d 等于通项公式法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 2B. 1C.1D.2anknbk ,b为常数 an 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3333前 n 项和公式法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. （2022 陕西卷文）设等差数列an的前 n 项和为sn , 如 a6s312 , 就 anSAn 2Bn A, B为常数 a是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11（00 全国）设 an为等差数列, Sn 为数列 an的前 n 项和,已知 S7 7, S15 75, Tn 为数列Sn的前 n例： 1. 已知数列 an 满意anan 12 ,就数列 an 为 （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nA. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结项和,求 Tn。2.已知数列 an 的通项为 an2n5 ,就数列 an 为 （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 等差数列an 的前 n 项和记为Sn ,已知a1030, a20503. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2n 24 ,就数列 an 为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求通项an 。如Sn =242,求 n4. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2 n 2 ,就数列 an 为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 在等差数列 an 中,（ 1）已知 S48, S168,求a 和d 。（ 2 ）已知 a10, S5, 求a 和S。 3 已知A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结812165885. 已知一个数列 an 满意 an 22an 1an0 ,就数列 an 为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a3a1540, 求 S17A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型六 . 对于一个等差数列：6. 数列an满意a1 =8, a 42,且 an 22an 1an0 （ nN）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）如项数为偶数,设共有2n 项,就 S 偶S 奇nd 。 S奇S偶an。an 1S奇n求数列an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如项数为奇数,设共有2n1项,就 S 奇S 偶ana中 。 。7（ 01 天津理, 2）设Sn是数列 an 的前n 项和,且Sn=n2,就 an 是（）A. 等比数列,但不是等差数列B.等差数列,但不是等比数列C. 等差数列,而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列S偶n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型七 . 对与一个等差数列,Sn , S2nSn , S3nS2n 仍成等差数列。例： 1. 等差数列 an 的前 m项和为 30,前 2m项和为 100,就它的前3m项和为（）题型九 . 数列最值（ 1） a10 , d0 时,Sn 有最大值。a10 , d0时,Sn 有最小值。A.130B.170C.210D.260（ 2）Sn 最值的求法： 如已知 Sn , Sn 的最值可求二次函数2Snanbn 的最值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可用二次函数最值的求法（nN ）。 或者求出an中的正、负分界项,即：4. 已知数列an中, a13,前 n 和 Sn1 n21an11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如已知a ,就 S 最值时 n 的值（ nN ）可如下确定an0an0或。求证：数列an 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnan 10an 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： 1等差数列an中, a10, S9S12n,就前项的和最大。求数列an的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 设等差数列an的前 n项和为Sn ,已知5. （ 2022 安徽文）设数列 an 的前 n 项和Sn2 ,就a8 的值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a312, S120, S130（ A） 15B 16C49（D） 64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求出公差 d 的范畴,等比数列等比数列定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结指出S1, S2, S12 中哪一个值最大,并说明理由。一般的,假如一个数列从其次项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q 表示 q0 ,即：an 1： anqq0) 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*3（ 02 上海） 设 an（ nN ）是等差数列, Sn 是其前 n 项的和, 且 S5 S6,S6 S7S8,就以下结论错误选项 （）一、递推关系与通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. d0B.a7 0C.S9 S5D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值递推关系：an 1an q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4已知数列nan 的通项98 （ nN ）,就数列an的前 30 项中最大项和最小项分别是通项公式： anaqn 11n m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n99推广： anamq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 在等比数列an中, a14,q2 ,就 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知 an 是等差数列,其中a131 ,公差 d8。2 在等比数列an中, a712,q2 , 就 a19 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）数列 an 从哪一项开头小于0？3. （ 07 重庆文）在等比数列 an 中, a2 8, a164,就公比 q 为（）3（ A） 2（ B） 3（ C） 4（ D） 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）求数列 an 前 n 项和的最大值,并求出对应n 的值4. 在等比数列an 中, a22 , a 554 ,就a8 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 已知 an 是各项不为零的等差数列,其中a10 ,公差 d0 ,如 S100 , 求数列 an 前n 项和的最大值5. 在各项都为正数的等比数列 an 中,首项A 33B 72C 84D 189a13 ,前三项和为 21,就 a3a4a5（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 在等差数列 an 中,a125 , S17S9 ,求Sn 的最大值二、等比中项：如三个数a,b, c 成等比数列,就称 b 为 a与c 的等比中项,且为 bac,注： b 2ac 是成等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型十 . 利用 anS1nSnSn 1 n1求通项2的必要而不充分条件 .例： 1. 23 和 23 的等比中项为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 数列 an 的前 n 项和Sn21 （ 1）试写出数列的前 5 项。（ 2）数列 a 是等差数列吗？（ 3）你能写出数列 an A1 B1C 1 D 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn的通项公式吗？2. （ 2022 重庆卷文）设an是公差不为 0 的等差数列,a12 且 a1, a3, a6 成等比数列,就an的前 n 项和Sn =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知数列an的前 n 项和 Snn 24n1,就（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 设数列 an的前 n 项和为 Sn=2n ,求数列 an 的通项公式。A n7 nn 25n2Bn23nCD n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2443324三、等比数列的基本性质,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. （ 1） 如mnpq,就amana paq 其中 m, n, p, qN 6. 设等比数列 an 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,如 Sn+1,S n, Sn+2 成等差数列,就 q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） q n man , a 2naman man mnN 的值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） an为等比数列,就下标成等差数列的对应项成等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）a既是等差数列又是等比数列a是各项不为零的常数列.五.等比数列的前 n 项和的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn如数列a是等比数列,S 是其前 n 项的和, kN * ,那么S , SS , SS成等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： 1在等比数列a中,a 和 a是方程2 x25 x10 的两个根 , 就 aannk2kkS3k2kS9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 An110B21C471D 例： 1. （2022 辽宁卷理）设等比数列 an 的前 n 项和为Sn ,如6=6S3 =3 ,就S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22. 在等比数列2an,已知 a15 , a9a102100 ,就2a18 =A. 2B.73C.83D.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 在等比数列an中, a1a633, a3 a432, a nan 12. 一个等比数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,就前 3 n 项的和为（）A 83B 108C75D 63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 an3. 已知数列an是等比数列,且 Sm10, S2m30,就 S3m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 Tnlg a1lg a2lg an , 求Tn4. 等比数列的判定法an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 等比数列 a 的各项为正数,且a aa a18,就logalogalog a（）（ 1）定义法：q（常数）an为等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n5 64 73132310an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 12B10C 8D 2+ log3 5（ 2）中项法：2an 1anan 2an0an为等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. （ 2022 广东卷理）已知等比数列 an 满意 an0, n1, 2,且 a5a2n 522n n3 ,就当 n1 时,（ 3）通项公式法： ankq n k, q为常数）an为等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log 2 a1log 2 a 3log2 a 2n1（）（ 4）前 n 项和法： Snk 1q n （ k ,q为常数）an为等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. n 2 n1B.n1C.n2D.2n1Snkkqn（ k, q为常数）an为等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2四、等比数列的前n 项和,例： 1. 已知数列 an 的通项为 an2 n ,就数列 an 为 （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结na1 q1A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sna1 1qn a1anqq12. 已知数列 an 满意2an 1anan 2an0 ,就数列 an 为 （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1q1qA. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn22 n1,就数列 an 为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： 1. 已知等比数列 an 的首相 a15 ,公比 q2 ,就其前 n 项和 SnA. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知等比数列和 Sn an 的首相 a15 ,公比 q1,当项数 n 趋近与无穷大时,其前n 项2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 设等比数列 an 的前 n 项和为Sn ,已 a 26, 6a1a 330 ,求an 和 SnS1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4（2006 年北京卷）设f n2242721023n10 nN ,就f n 等于（）5. 利用 anSnSn 1 n求通项2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 2 8n172n 1B81 7C 2 8n 317D 2 8 n 4171可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5（1996 全国文, 21）设等比数列 an的前 n 项和为 Sn,如 S3 S6 2S9,求数列的公比 q。例： 1. （ 2005 北京卷）数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an 1Sn ,n=1, 2,3,求 a2,a3,a4 的值及数3可编辑资料 - - - 欢迎下
