数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、等差数列的有关概念：数列专题复习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、等差数列的判定方法：定义法an 1and d为常数 ）an 1ananan1 n2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或a1a 2a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如设 an 是等差数列，求证：以bn=n为等差数列。nN * 为通项公式的数列 bn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、等差数列的通项：ana1n1d 或 anamnmd 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如1 等差数列 an 中，a1030 ， a2050，就通项 an（答： 2n10 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 首项为 -24的等差数列，从第10 项起开头为正数，就公差的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8d3（答： 3）Sn a1an n1Snann1 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、等差数列的前n 和：n2，2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 （ 1 ） 数 列nS15 an anan 1中 ，1 n22, nN * an，32 ， 前n项 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 ，就a1 ， n （答：a13 ， n10 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 已知数列 an 的前n 项和 Sn12nn 2，求数列| an| 的前 n 项和 Tn （答：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12nn2 n6, nN * Tn2*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n12n72n6, nN ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、等差中项： 如Aaba, A, b 成等差数列，就A 叫做 a 与 b 的等差中项，且2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提示 ：（ 1） 等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到5 个元素： a1 、 d 、 n 、 an及 Sn ，其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2个，即知3 求 2。（ 2 ） 为削减运算量，要留意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为， a2d ,ad , a, ad , a2d（公差为d ）。偶 数个数成等差，可设为，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a3d , ad , ad , a3d ,（公差为2 d ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、等差数列的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）当公差d0 时，等差数列的通项公式ana1n1ddna1d 是关于 n 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Snann1 dd n2ad n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1一次函数，且斜率为公差d 。 前 n 和n122二次函数且常数项为0.2是关于 n 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如公差d0 ，就为递增等差数列，如公差d0 ，就为递减等差数列，如公差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d0 ，就为常数列。（ 3）当 mnpq 时, 就有 a ma na pa q ，特殊的，当mn2 p 时，就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aman2a p .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如（ 1 ） 等差数列 an 中， Sn27）。18, anan 1an 23, S31 ，就 n （答：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 / 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4如 an 、 bn是等差数列，就 kan 、 kanpbn k 、 p 是非零常数 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ap, qN * S , SS , SSan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p nq、n2nn3 n2 n，也成等差数列，而 a 成等比数列。如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an是等比数列，且an0 ，就 lgan 是等差数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，就它的前3n 和为。（答： 225）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）在等差数列 an中，当项数为偶数2n 时， S偶 S奇nd 。项数为奇数2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时， S奇S偶a中 ， S2n12 n1) a中 （这里 a中 即 an ）。S奇： S偶n :n - 1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如（ 1） 在等差数列中，S11 22，就a6 （答： 2）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 项数为奇数的等差数列 an 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5。 31） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6 ） 如 等 差 数 列 an 、 bn 的 前 n 和 分 别 为An 、An Bn ， 且 Bnf n， 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an2nbn2 n1) an 1bnA2n 1B2n 1f 2 n1. 如 设an 与 bn 是两个等差数列，它们的前n 项和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分别为SnSn 和 Tn ， 如 Tn3 n14 n3，那么an6 n2bn （答： 8 n7 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(7) “首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是全部非负项之和。“首负”的递增 等 差 数 列 中 ， 前 n 项 和 的 最 小 值 是 所 有 非 正 项 之 和 。 法 一 ： 由 不 等 式 组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an0或an 10an0an 10确定出前多少项为非负（或非正）。法二：因等差数列前n 项是关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于 n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要留意数列的特殊性nN *。上述两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如（ 1） 等差数列 an 中， a125 ， S9S17 ，问此数列前多少项和最大？并求此最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值。（答：前13 项和最大，最大值为169）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 如 an是等差数列，首项a10, a2003a20040 ， a2003a20040，就使前n 项和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn0 成立的最大正整数n 是（答： 4006）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3 ） 在等差数列（）an中，a100, a110 ，且a11| a10 | ，S n 是其前n 项和，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 、 S1 , S2S10 都小于 0，S11 , S12都大于 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B、 S1 , S2C、 S1 , S2D、 S1 , S2S19 都小于 0， S20 , S21S5 都小于 0， S6 , S7S20 都小于 0， S21 , S22都大于 0都大于 0都大于 0（答： B）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8 假如两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 留意 ：公共项仅是公共的项，其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结项数不肯定相同，即争论anbm .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、等比数列的有关概念：1 、 等 比 数 列 的 判 断 方 法 ： 定 义 法an 1anq q为常数 ）， 其 中 q0, an0 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 / 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -an 1an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anan 1 n2) 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如（ 1） 一个等比数列 an 共有 2n51 项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1 为 （ 答 ：6 ）。（ 2 ） 数 列 an 中 ， Sn =4an 1+1 n2 且a1 =1 ， 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bna n 12a n，求证：数列aa qn 1bn 是等比数列。aa qn m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、等比数列的通项：n1或nm。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 等比数列 an 中， a1an66 ，a2 an1128 ，前 n 项和Sn 126 ，求 n 和 q .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q（答： n6 ，12 或 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 、 等 比数 列的 前n和 ：当q1时 ，Snna1。 当q1时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 1qn aa qSn11n1q1q。如（ 1） 等比数列中，q 2， S99=77，求 a3a6a99 （答： 44）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10nC k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n（ 2） n 1k 0的值为 （答： 2046）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊提示： 等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，第一要判定公比q 是否为1，再由 q 的情形挑选求和公式的形式，当不能判定公比q 是否为1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时，要对 q 分 q1 和 q1 两种情形争论求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、等比中项：如 a, A,b 成等比数列，那么A 叫做 a 与 b 的等比中项。提示 ：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab 。如已知两个正数a, bab 的等差中项为A，等比中项为B，就 A 与 B 的大小关系为 （答： AB）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提示 ：（ 1） 等比数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到5 个元素：a1 、 q 、 n 、 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结及 Sn ，其中 a1 、 q 称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2个，即知3 求 2。（ 2 ） 为削减运算量，要留意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设aa2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 , a, aq, aq为，qq（ 公 比 为q ）。 但 偶 数 个 数 成 等 比 时 ， 不 能 设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q,q3aa , aq, aq 3为，因公比不肯定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q2。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是 16，其次个数与第三个数的和为12，求此四个数。 （答： 15， ,9， 3,1 或 0,4， 8,16）5. 等比数列的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 1 ）当 mnpq 时，就有am ana p aq，特殊的，当mn2 p 时，就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am ana p.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如（ 1） 在等比数列 an 中， a3a8（答： 512）。124, a4a7512 ，公比q 是整数，就a10 = 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）各项 均为正数的等比数列 an中，如a5a69，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 / 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log 3 a1log 3 a2log 3 a10（答： 10）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 如 an 是等比数列，就|an |、 ap nqp, qN* 、 kan成等比数列。如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an 、bn成等比数列，就 anbn 、 an bn成等比数列。如 an 是等比数列，且公比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q1 ，就数列Sn , S2nSn , S3nS2 n，也是等比数列。当q1 ，且 n 为偶数时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列 Sn , S2nSn , S3nS2 n，是常数数列0，它不是等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 （ 1 ） 已 知 a0 且 a1 ， 设 数 列 xn 满 足 log axn 11log a xnnN * ， 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2x100100 ，就x101x102x200. （答：100a100 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2 ） 在等比数列 a n 中，Sn 为其前n 项和，如S3013S10 ,S10S30140 ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S20 的值为 （答： 40）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 如a10, q1 ，就 an为递增数列。如a10, q1 ,就 an为递减数列。如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a10,0q1，就 an 为递减数列。如a10,0q1 ,就 an为递增数列。如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q0 ，就 an 为摇摆数列。如q1 ，就 an 为常数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 当 qSn1 时，a1 q na11q1qaqnb，这里 ab0 ，但 a0,b0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是等比数列前n 项和公式的一个特点，据此很简单依据列。Sn ，判定数列 an 是否为等比数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如如 an 是等比数列，且Sn3nr，就 r （答： 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m nmnnmSSq m SSqn S(5) . 如设等比数列 a n 的公比为q ，前 n 项和为 Sn ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 Sn1 , Sn , Sn2 成等差数列，就q 的值为 （答： 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(6) 在等比数列 an 中，当项数为偶数2n 时， S偶qS奇 。项数为奇数2n1时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S奇a1qS偶 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7 假如数列 an 既成等差数列又成等比数列，那么数列 an 是非零常数数列，故常数数列 an 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 设数列an的前 n 项和为Sn （ nN ），关于数列an有以下三个命题：如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anan 1 nN ，就an既是等差数列又是等比数列。如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nSa n2b na 、 bR，就ann是等差数列。如Sn11，就an是等比数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结列。这些命题中，真命题的序号是（答：）三、数列通项公式的求法一、公式法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S（1anSn1Sn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a n等差、等比数列an公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例已知数列 an 满意 an 12 an32n， a12 ，求数列 an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 / 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2 a32nan 1an3n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注：此题解题的关键是把递推关系式n 1n转化为222 ，说明数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an 列2n是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出an1n2n1 32 ，进而求出数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结列 an的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、累加法例 已知数列 an 满意an 1an2n1， a11，求数列 an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注：此题解题的关键是把递推关系式an 1an2 n1 转化为an 1an2n1 ，进而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 出 an式。an 1 an 1an 2 a3a2 a2a1 a1 ， 即 得 数 列 an 的 通 项 公可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a aa23n1， a3 a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例已知数列n满意n 1n1，求数列n的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa23n1aa23n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注：此题解题的关键是把递推关系式n 1n转化为n 1n，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结进而求出ananan 1 an 1an 2 a3a2 a2a1a1 ，即得数列 an 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、累乘法 a a2 n15na ， a3 a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例已知数列n满意n 1n1，求数列n的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注：此题解题的关键是把递推关系an 12 n15nan 转化为an 12n an15n，进而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an求 出 an 1an 1an 2a3a2a2a1a1，即得数列 an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、取倒数法aan 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例已知数列 a n 。an 中，其中a11, ，且当n2 时，2an 11 ，求通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aan 1n112 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解将2an 11 两边取倒数得：anan 1，这说明an是一个等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111 n122n1a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结列，首项是a1，公差为2，所以a n，即n2n1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、待定系数法 a a2 a35n， a6a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例已知数列n满意n 1n1，求数列n的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1评注：此题解题的关键是把递推关系式an 12ann35转化为an 152an5n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而可知数列 ann5 是等比数列，进而求出数列 ann，5 的通项公式，最终再求出数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 / 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an的通项公式。 a a3a52 n4， a1 a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例已知数列n满意n 1n1，求数列n的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注：此题解题的关键是把递推关系式an 13an52n4 转化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 152 n 123an52 n2) ，从而可知数列 an52n2 是等比数列，进而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求出数列 an52n2 的通项公式，最终再求数列 an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六、对数变换法 a a23na 5a7 a 可编辑资料 - - - 欢迎下载