数学归纳法的应用.docx

精品名师归纳总结数学归纳法的应用姓名甘国优指导老师赵慧炜中文 摘要: 数学归纳法是数学中一种特别普遍的证题的方法，其应用极为广泛. 本 次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观看（探究）、归纳、猜想、证明于一体的数 学思想，表达出数学归纳法的证题思路. 并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等 式、几何等方面的一些简洁应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及 介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用才能.关键词： 数学归纳法。步骤 ; 证明方法 .Abstract: MathematicaI i nduction is a common evidenee method i n mathematics. it is have very broad appI i cation. In th i s paper, author research into the step of the MathematicaI induction , it includes summar iz , evidence and guess embody the idea of the evidenee of mat hema ti ca I in due tion. Al so at here , we summar i z the met hod of the mathemat icaI i nduet i on appI i cat ion in solve a Igebra i dent i t i es , geome tr i cr order and por tfo I i o , and so on . a I so ana I yze the comm on errors on appI ication andinto duet skill of the proofF proof of skills int roduced.It is he I p to in creased the I eve I of the Mat hema ti ca I induct ior. s appI icat ion.Key words： Mat hematicaI induetion; Steps ; Proof.引言演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法 .数学归纳法是一种重要的数学证明方法，他有着其他方法所不能代替的 作用，也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法.我们在学习运用数学归 纳法应具备两个条件：当“ =1 时，这个命题为正确的（奠基），当n = k时，这个命题也为正确 word可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的. 推出当 n =M时，这个命题也为正确的（递推）. 通过“递推”链接，实现从特别 到一般的转化，抽象的进行数学归纳. 第一我们要明白归纳法与数学归纳法的思想， 由思想转换为思路来解决实际问题.当然我们在中学所学习的比较浅显，因此需要进 行整理疏通总结，并学以致用其思想，在应用数学归纳法时所需的一些问题进行整理，明白数学归纳法在中学代数及几何问题方面的应用更深刻 总结数学归纳法的重难点及解题技巧，选取典型例题来表达这一思想，抓住其最 基本的步骤并把握数学归纳法的证明方法 .1 数学归纳法的概论1.1 数学常用证明方法数学是门极其留意学习方法的学科，数学恒等式的证明使这些方法表达的完美无缺，而常用的数学证明方法有以下几种。1.1.1 演绎推理由一般推理到特别的推理方法称为演绎推理，又叫演绎法.1.1.2 归纳推理由特别到一般的推理方法称为归纳推理法，又叫归纳法. 其中归纳法又分为完全 归纳法与不完全归纳法.1.1.3 完全归纳法探讨事物的全部特别情形后得出一般结论的推理方法称为完全归纳法，又叫枚举法 .1.1.4 不完全归纳法由某类事物中一部分事物所具有的某种属性，推出此类事物全部都具有这种属性的归纳推理方法称为不完全归纳法.1.1.5 数学归纳法数学归纳法证明是与自然数N 有关的命题的一种特别方法. （在高中数学中常wor可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用来证明不等式成立和数列通项公式成立）1-2 数学归纳法的定义数学归纳法定义：是一种先得出首个例子的正确性，再通过递推的方式证明命题是否正确的一种方法. 它是以考察特别、个别的情形后作出的判定作为基础.再从 这些个别情形的判定归纳出一般的结论，也可以说，它是从特别到一般的推理方 法. 即当 n=1 正确时，如在n=k 正确的情形下 , n=k+1也是正确的 . 便可递推下去.虽 然我们没有对全部的自然数逐一的加以验证，但事实上，这种递推就已经把全部自 然数都验证了，这种方法就是数学归纳法.2 数学归纳法的背景与原理2.1 背景数学归纳法最早的痕迹可以在古希腊时代和印度的著作中找到丝缕痕迹，如欧几里德素数无限的证明中和印度婆什迦罗的“循环方法”都可以找到这种痕迹. 有资料和数据说明，在中世纪伊斯兰数学中就已经比较清晰、广泛的使用了数学归 纳法中归纳推理 . 而数学归纳法真正明确使用的是意大利数学家、天文学家和工程 师莫洛里科斯，而他也尚未对数学归纳法证明中的归纳奠基和归纳推理两个步骤进 行清晰的阐述 . 真正清晰数学归纳法证明这两步的应是仃世纪的数学家帕斯卡，最 早是他将数学归纳法的证明用两步确定下来.而“数学归纳法”名称是英国数学家提出的，并由英国教科书作者普遍使用并推广.数学归纳法的严格建立，是对无穷概念有较深刻的熟悉和数的理论充分进展后才得以完成 . 十七世纪后，数学归纳法有了明晰的框架，后来进展出了最小数原理、 第一和其次数学归纳法、递减归纳法、螺旋归纳法、倒推纳法、跳动归纳法、双重甚 至多重归纳法等多种形式的数学归纳法. 至 1889年意大利数学家皮亚诺发表算术 原理新方法 ，给出自然数的公理体系，使数学归纳法有了一个合理、精确的理论基 础.归纳法的规律是指从有限的特别事例推出一般性结论的推理方法，从确定全体对象中的有限的个别事物到确定全体对象. 但数学归纳法并不具备这些特性. 演绎法是由一般到详细结论的推理方法，演绎推动的前提必定蕴涵结论。从数学归纳法的 推理过程来考察， 仍是从它的理论依据来考察，数学归纳法本质上都是一种演绎法。WO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结现代美国数学家波利亚有这样评论“数学归纳法”：“归纳法是通过对特例进行观察和综合后以发觉一般规律的过程 .它仅在数学中用以证明某 类定理 . 从名称上看， 二者有联系， 但二者在规律方面的联系很少。 而两者之 间仍有某种实际联系。 我们常把两种方法一起使用 . ”2. 2 原理全部数学都始于计数，计数就是把要计数的对象集合与几个起始自然数1,2,3,4,5.一对应的过程.我们用N 表示自然数这个无限集合，自然数N 的一个基 本性质是良序性，下面将对自然数的良序性进行形式化的论述，并且把它作为一个 关于 N 的公理 .对于任何系统，公理是无需证明即为真的命题. 为了对一个系统（这 里指自然数）进行推理，第一需要对该系统做一些假设.尽管这些基本的假设常常不 简洁一眼就看出，但它应当是“合理的”和“显而易见为真的”.良序原理：自然数集N 的每个非空子集都有一个最小元素.显而易见，自然数N 的任何子集都可以通过列出实际元素的方式给定，即使对 于不易直接定义的集合，该定理依旧有效. 例如，当 x 和 y 可取任意整数时 ,考虑 12x+ 28y 所表示的全部自然数集合 .从定义看该集合的范畴并不明显，但是 依据良序原理，由于该集合非空（留意这很重要），集合中必有一个通过该方式 表示的最小自然数. （当然，求详细的最小自然数的值是另外一回事 .留意良序原 理保证有一个最小数存在，但确定没说如何去运算它. ）从数学归纳法的发觉、进展到应用。从数学归纳法理论基础到实际教学。从 数学归纳法的规律基础到同学学习数学归纳法时遇到的心理问题。要清晰相关知 识又何止这些了 .实际上，只有清晰明白每一个学问点的来龙去脉和每一个学问 点的应用范畴，以及每一个学问点的所以然，方能更好去解决问题 .3 数学归纳法的步骤数学归纳法的步骤，如把需证明的命题记作P n, 那么数学归纳法的步骤为：(1) 证明当 n=1 时, pn=1 成立 .WO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 假设 n=k*er J&k>0时, 命题成立，即pk 成立. 证明当 n=k+1时命题也成立.依据 1 、2 当 20 且 kM 时，即 pn 成立.运用数学归纳法证题时. 以上这三个步骤是必不行少的，步骤1 时是正确的奠 基步骤，称之为归纳基础，步骤2 反应了递推关系，即命题的正确性具有传递性作 用.步骤 3 是将步骤 1 与步骤 2 组合完成数学归纳法中递推的全部过程，所以三个 步骤必不行少 .4 易错分析刚刚接触数学归纳法时简洁显现对步骤把握不清的现象，下面针对几种常见错误进行分析 .4. 1 弄不清 n = R 到=k +1时的式子变化例 1：用数学归纳法证明: w+lw+2-n+n= 2" 1 3-2n-l,从 5” 到“k + 1左”端需增乘的代数式为：A . 22k + l B. 2伙+1C. 土乜D. - k + 错误会法：”时，式子左端伙 + 1 伙+2伙 +灯=伙+ 1 伙+2 伙+3”公，时, 式子左端为伙 +1伙+2伙+1 + R + 1应选 B.分析： n = k+时，左端第一个因式也有所变化，不能简洁的看后面的因式.正确解法： 当 n = k 时, 左端为仗 +1伙+2. 必为从 + 1 到汰连续整数的乘积 .。 word可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4.2 运用数学归纳法时忽视了 = . 时的假设条件 .例 2 ：用数学归纳法证明：甘时，丄+丄+.+ . =亠1x3 3x52/.-1x2/. 4-1 2口+ 1错解：当 nJ 时，左边二丄右边二丄，等式成立.1x3 33假设 "=. 伙 1, keN' 时，等式成立 . 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结+. .+ =1x3 3x52 lx2就当时，+l111k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 1 1 1- + - - . -1-1x3 3x52k lx2+l 2k + lx2k+3lz 1 1 11111、23 3 52 1 2k + l2k+ 1 2k + 3=- i- . =一 .2 2k+ 32 伙 +1 + 1所以幵 = + 1 时，等式成立综上所述当时， . +. +.+ -.-=成立1x3 3x52/z-lx 2 + 1 2/. + 1分析：在证明 =+1 等式成立时，没有用到归纳假设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正解：当 ”=时i，左边二亠二。二右边，等式成立.1x3 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设, “N" 时，等式成立，k1_ k2 + 3 + l _ 2/+3k + l_ k + 1 _k + l2k + 2k+ l2k + 3一 2 + l2k + 3一 2k + l2k + 3一 2k + 3一 2 伙 + 1 +1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 n = k + l时，等式也成立 .1 1综上所述，对一切- +1- .1x3 3x5+ 2H-lx2n+ l=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数学归纳法要运用“归纳假设”，没有“归纳假设”的证明不是数学归纳法.5 运用数学归纳法的典型例题例 3: 用数学归纳法证明：。wore可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -tan<z>tan2a + tan 2a .tan3a + tanz. -l<z>tan/.a=“ "" 一 n zl w N",n > 2tan分析：此题第一步的验证要取H = 2,在其次步的证明中应在归纳假设的基础上正确 的使用正切的和角公式.证明：当=2 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就等式成立 .右边二 - 67 -2 = 2= -'3ltan" a.°= tana .tan 2a 二左边tancr 1-taira 1-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设当时，等式成立，即tan a .tan 2a + tan 2a .tan 3a + Um 伙 一 la .tan 伙 a= 山】伙 一 & .tanatan_ tan 伙 a 十 tan 伙 +la- tan 伙 a 伙 + _ +la 伙 +“ tana tan a tan 伙 +a一 ka点评：本题在第 2 步的证明过程中使用了正切和差角的变形形式，即1 +tan伙+la .tan gJam ：+lM7m * .因此在用数学归纳法证明三角命题tan伙 +la-kaj11时，应针对n = k+时命题的特点，合理的挑选和使用三角公式. 证明三角恒等式时. 常动用有关三角学问、三角公式及三角的变换法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1例 4:求证： * + +. +-=一- 一 “GN"可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x4 4x6 6x82n2n + 24+1证明 ： 1当 nh 时，等式左边二 _L = 1 , 右边二1 - 1, 等式成立 .2x484x1 + . 82 假设 n = kkeN时等式成立.即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 1 12x4 4x6 6x8+ 2k2k2 = 4n + l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 H由和可知 .M 等式均成立 .6 中学数学中数学归纳法的用途在争论涉及正数无限性的问题时数学归纳法是一种及其重要的方法.在中学数学中它的作用和位置可以用三个方面来表达： 1 中学数学中的很多重要结论.如等比数列的的通项公式前n 项和公式、等差数列与，二项公式定理等等都可以用数学归纳法加以证明.。 word可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而完全归纳法得到的一些与自然数有关的数学命题, 也常应用数学归纳法来证 明它们的正确性 . 2 运用数学归纳法可以证明很多数学问题.既可以开阔眼界. 又可以受到推理论证的训练 .对于一些用常规的分析终合法不好证明的题，用数学归纳 法往往会得到一些意想不到的好结果. 3 在进一步学习数学时数学归纳法会常常用 到，因此把握这种方法可以为今后的高等数学的学习打下一个良好的基础 .7 数学归纳法在几何方面的应用7. 1 数学归纳法在几何中的意义归纳法是由特别得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性是依靠个别结论的正确性 . 所以数学归纳法的实质是证明命题对于一切自然数都是真命题. 它在本质是与数的概念联系在一起的，所以数学归纳法可以应用到数学的各个分支， 在几何中也不例外.数学归纳法是用于证明与自然数n 有关命题的正确性方法. 它的操作步骤简洁、明确，证明过程一般可分以下两个步骤：1.对于命题有意义的最小值，直接验证命题是正确的.2.证明假如命题对任一自然数成立，那么论断必定成立.7. 2 数学归纳法在几何中的应用7.2.1 应用数学归纳法作运算例 5 ：平面上有圆心在同始终线上的半圆，其中任意两个都相交，且都在直线的同侧，问这些半圆被全部的交点最多分成多少段圆弧？解: 设半圆的交点最多将半圆分成如干段圆弧，如下图所示.、wor可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结简洁发觉/2 = 4 = 22,/3 = 9 =二16 = 4 2.2由此可以推测n 个半圆相互分成圆弧段最多有f l i = nn>2证明：由题意知(1) 当 n=2 时，结论成立 .(2) 假设当 n 二 k 时，结论成立， 平面内满意条件的k 个半圆相互分成的圆弧最多有 fk = k2. 那么当 n 二 k+1 时，第 k+1 个半圆与原k 个半圆均相交，可获 得最多圆弧段，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1 个半圆把原 k 个半圆中每个半圆的某一段圆弧都一分为二，这样就多出了k 条圆弧 ; 而原 k 个半圆又把第 k+1个半圆分成了k+1 段圆弧，这样又多出了k+1 条圆弧 .故 /伙+1 = R +R + R + 1 = R + 1这就是说，当n 二 k+1 时结论也成立 .依据 1 和2 可知，满意条件的n 个半圆被全部交点最多分成“2段圆弧 .8 结论数学归纳法主要针对一些与自然N 的相关命题 . 所以在证明和自然数N 有关的恒等式子中有着不行替代的作用，用数学归纳法证明数学问题时，要留意它的两个 步骤必不行少，第一步命题递推的基础. 其次步是命题递推的依据，也是证明的关 键和难点，同时 . 数学归纳法的证题步骤和格式是数学归纳法的特点，如n=k 时的假设是其次步证明n=k + 1 的“已知”，证明时肯定要用到它，否就就不是数学归纳 法，在证明n 二 k+1 时命题成立，要用到一些技巧，如: 一凑假设，二凑结论，不等式的放缩、等价转化、拆项、加减项等，但这些解题技巧需在实践中不断积存和j word可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结，证明三角恒等式常常用到有关三角公式、三角学问以及三角的转换等.通过 这些变换可更简洁便利的让命题得证.总的来说记住三句话：“递推基础不行少，归纳假设要用到，写结论时莫忘掉' 二我们这样才可以较好的运用数学归纳法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数学归纳法是一种重要的数学证题方法, 更是中学数学的重难点学问之一，它在 开阔眼界，训练推理才能等诸多方面有着很大的帮忙.在中学数学中，数学归纳法对 于很多重要的结论，如等比数列的的通项公式与前n 项和公式、二项公式定理以及 差数列等，都可以用数学归纳法加以证明，这样既可以加深对教材的熟悉又可以加 深学问的懂得 . 当然不仅在中学数学中，在学习高等数学的过程中，数学归纳法也是 一种不行缺少的方法。同时借助数学归纳法进行几何教学，便于学生一步步懂得命 题的内涵，进而简洁找到n 与 n+1 的关系，这样可以精确的解决问题。数学归纳法 在几何教学中的应用，不仅让同学从感知上明白熟悉几何，而且深刻的懂得到一个 命题从个体 特别 到普遍 一般 规律的证明过程， 同 时培育了同学归纳、 演绎推理、总结等才能 .参考文献 1 华罗庚 .数学归纳法 M .北京 : 北京科学出版社 , 2002. 2 张莉. 贺贤孝 . 数学归纳法的历史 J .辽宁: 辽宁师范高校学报 自然科学版,1999, 02, 102.106. 3 冯进. 数学归纳法的进展历程 J.常熟理工学院学报, 2021, 08,19.26. 4 李宗俊.数学归纳法的本质 J.宜宾师范高等专科学校学报, 2001, 02, 46.47. 5 黄万徽.数学归纳法原理及其应用 J .高等函授学报 自然科学版 .1999, 04, 12 .14. 6 唐子周.关于数学归纳法的一点探究 J .中国科技信息 , 2021, 03. 238.239.刀黄崇智 .第一及其次数学归纳原理的推广 J .内江师范学院学报, 2021,整理为 word格式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10, 11.12. 8 乌仁 . 浅谈数学归纳法的两个步骤及其应用 M .赤峰学院学报 . 2007, 6.刃蒋文蔚 , 杨延龄 .数学归纳法 M .北京 : 北京师范高校出版社 1985.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 10 华罗庚 .数学归纳法 M 北京 : 科学出版社 , 2002. 12 .15. 11 王力，张宇 .数学归纳法的教学 J .初等数学争论 . 2007, 23 9. 120.123. 12JG . 波利亚著 . 涂泓、冯承天译 .怎样解题 M .上海 : 上海科技训练出版社, 2007. 15 .18. 13 人民训练出版社中学数学室，全日制一般高级中学教科书.数学L ,人民 训练出版社 , 2006.友情提示：本资料代表个人观点，如有帮忙请下载，感谢您的浏览！整理为 word格式可编辑资料 - - - 欢迎下载