数学练习题考试题高考题教案第讲递推数列数列求和数学归纳法.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -专题三数列第 2 讲数列求和、递推数列、数学归纳法教学目标： 1.能利用等差、等比数列前n 项和公式及其性质求一些特别数列的和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.能利用 Sn 与 an 的关系 anS1 nSS1解题。n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 13.明白递推关系是给出数列的一种方法，能通过对递推式的变形将递推数列问题转化为等差数列或等比数列问题来解决。4.懂得“归纳猜想数学归纳法证明”的解题思想。教学重点： 能利用等差、等比数列前n 项和公式及其性质求一些特别数列的和。教学难点： 通过对递推式的变形将递推数列问题转化为等差数列或等比数列问题。热身练习：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 设f x x131 ，利用课本中推导等差数列的前n 项和的公式的方法，可求得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 4f 0f 5f 6 的值为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.如满意 a12 ，an an 1n nn12 ，就a4 =（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（A ）43（B） 1（C）425（D ） 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 如 a 的前 n 项和 S2n1,就 a2a2a2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn123n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 1： 设数列 an 的前 n项和为Sn , 且Sn1an ,其中1,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）证明：数列 an 是等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）设数列通项公式。 an 的公比qf ，数列 bn 满意 b112，bn=f bn-1 n N*,n 2求,数列 bn 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1b（3）记1 ， Cnan n1 ，求数列 Cn的前 n 项和n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 1： 设 an 是等差数列， bn 是各项都为正数的等比数列，且a1b11 ， a3b521 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a5b313 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求 an ， bn的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求数列an bn的前 n 项和Sn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 2： 已知数列 a 的前 n 项和为 Sn，且1, S , a成等差数列，nN * , a1 函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn 11f xlog 3 x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（I ）求数列 an的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（II ）设数列 bn 满意 bnn31f an 2，记数列 bn 的前 n 项和为 Tn，试比较可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结52n5Tn 与的大小12312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 2：已知二次函数yf x 的图象经过坐标原点，其导函数为f ' x6 x2 ，数列 an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的前 n 项和为Sn ，点 n, Sn nN 均在函数yf x 的图象上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 求数列 an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 设 bn3an an， Tn 是数列 bn1的前 n 项和，求使得Tnm对全部 n20N都成立的最小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正整数 m .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 3：设 p， q 为实数，是方程 x2pxq0 的两个实根， 数列 xn 满意x1p ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xp2q ， xpxqx（ n3，4， ）（ 1）求数列 x 的通项公式。（2）如 p1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2nn 1n 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1q，求 xn4 的前 n 项和Sn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 3： 在数列a中， a2，aan 122n nN ，其中0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求数列an的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求数列an的前 n 项和Sn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk* ），其中 a例题 4： 已知各项全不为零的数列 ak 的前 k 项和为 Sk，且 Sk 1 a a1 kN1=1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（）求数列 ak 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（） 对任意给定的正整数n（ n2），数列 b k 满意bk 1kn（ k=1，2，n-1），b1=1 求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bkak 1b1+b2+bn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 4：已知A a ，b （ nN * ）是曲线 yex 上的点， aa ， S 是数列 a 的前 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结项和，且满意S23n2 aS2， a0 ， n2，3，4， 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（I ）证明：数列bn 2bn（ n 2 ）是常数数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（II ）确定 a 的取值集合M ，使 aM 时，数列 an 是单调递增数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结归纳：1.利用 Sn 与 an 的关系 anS1 n SS1解题要留意分类争论。n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 12.求递推数列的通项的分析方法有：（ 1）构造新数列（等差或等比）。（ 2）累加法、累乘法、迭代法等。（ 3）归纳猜想数学归纳法证明。3.数列求和常见的四种方法：倒序相加、裂项相消、错位相减、分解求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作业：1.如数列a n 满意：a n 11 1 且 a1an2 ，就a2021（ ）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（A ） 1（B） 1（C） 2（D ）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.已知数列 an 满意 a11 ， ana12a23a3 n1 an1 ，就 n2 时，数列 an 的通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结项 an（）n.（A ）2（ B）n1.2（C） n.（D ） n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知两个等差数列 an 和 bn的前 n 项和分别为A nAn和 Bn ， 且Bn7n 45n3，就使得 anbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为整数的正整数n 的个数是（）A 2B 3C4D 52232n 124.12341n的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 由 a11,an 1an 3an给出数列 an 1的第 34 项是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6.已知正项数列 an 的前 n 项和为Sn ，且4S1a24S2a24Sn a2Sn ，就an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 数列 an 中，a12 ， an 1ancn （ c 是常数， n1，2，3， ），且a1， a2， a3 成公比不为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 的等比数列（I ）求 c 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（II ）求 an 的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8.OBC 的各个顶点分别为0,0,1,0,0,2，设P1 为线段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BC 的中点，P2 为线段 OC 的中点，P3 为线段OP1 的中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点对每一个正整数n, Pn3 为线段Pn Pn1 的中点令Pn 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结坐标为 x , y ， a1 yyy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnnn 1n 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求a1 , a2 , a3 及 an , nN 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）证明：ynyn 41, nN 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）记 bny4 n 4y4 n , nN ，证明： bn 是等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结老师版专题三数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第 2 讲数列求和、递推数列、数学归纳法教学目标： 1. 能利用等差、等比数列前n 项和公式及其性质求一些特别数列的和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.能利用 Sn 与 an 的关系 anS1 nSS1解题。n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 13.明白递推关系是给出数列的一种方法，能通过对递推式的变形将递推数列问题转化为等差数列或等比数列问题来解决。教学重点： 能利用等差、等比数列前n 项和公式及其性质求一些特别数列的和。教学难点： 通过对递推式的变形将递推数列问题转化为等差数列或等比数列问题。热身练习：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 设f x x131 ，利用课本中推导等差数列的前n 项和的公式的方法，可求得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 4f 0f 5f 6 的值为： 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：课本中推导等差数列的前n 项和的公式的方法即为“倒序相加法 ”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 f 4f 3f 0f 5f 6S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就也有f 6f 5f 2f 3f 4S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 f xf 2x x1 311x 312可得：f 4f 6f 3f 52 ，于是由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两式相加得2S112 ，所以 S11 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.如满意 a12 ，an an 1n nn12) ，就a4 =（C）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4（A ）34（B） 1（C） 52（D ） 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 如 a 的前 n 项和 S2n1,就 a2a2a2a21 4n1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn123n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 1： 设数列 an 的前 n项和为Sn , 且Sn1an ,其中1,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）证明：数列 an 是等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）设数列通项公式。 an 的公比qf ，数列 bn 满意 b112，bn=f bn-1 n N*,n 2求,数列 bn 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1（3）记1 ， Cnan bn1 ，求数列 Cn的前 n 项和 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1 由 Sn1anSn 11an 1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相减得：ananan 1 ,anan 11 n2, 数列 an 是等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn2 f ,bn111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11bn 1bnbn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1 是首项为12 ，公差为 1 的等差数列， 12n1n1 b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bbnb1nnn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结31 时，, an 1 n 1 ,21Cnan bn1 1 n 1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nT12 13 1 2n 1 n 1222111 21 31 nTn23n22222111 21 31 n 11 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 得：Tn1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 T11 21 31 n 11 n1 n1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n21 n222222221 n1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以： Tn41 2n 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 1： 设 an 是等差数列， bn 是各项都为正数的等比数列，且a1b11 ， a3b521 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a5b313 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求 an ， bn的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求数列an bn的前 n 项和Sn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（）设 an的公差为 d ， bn 的公比为 q ，就依题意有q12dq 40 且14dq 221，13，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 d2 ， q2 所以 an1n1d2n1 ， bqn 1n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2（） an2n1 S352n132n1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12nnn21b2n 1n2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2Sn52n2322n32n32n1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 得 S2222n122，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2n 2n 12222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1112n111n212n12n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结221222n 2 22n 12212n 116n 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 2： 已知数列 a 的前 n 项和为 Sn，且1, S , a成等差数列，nN * , a1 函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn 11f xlog 3 x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（I ）求数列 an的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（II ）设数列 bn 满意 bnn31f an 2，记数列 bn 的前 n 项和为 Tn，试比较可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结52n5Tn 与的大小12312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ I ）1,Sn , an 1 成等差数列，2Snan 11当 n2 时，2Sn 1an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得：2SSaa ，3aa，an13.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1n 1nnn 1an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n=1 时，由得a2S2aa1， 又 a1,a3,23,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11212n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2a23,a13, an 是以 3 为公比的等比数列，a3n 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ II ）f xlog3 x,f anlog3n 1n1 ，f anlog 3 anlog 3n 1n1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33nb111 11 ，n3 f an 2n1n32n1n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111111111111224354657nn2n1n3Tn1111152n5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结223n