数列解题技巧归纳总结打印3.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载数列解题技巧归纳总结基础学问：1 数列、项的概念：按肯定次序排列的一列数，叫做数列，其中的每一个数叫做数列的项2数列的项的性质： 有 序性。确定性。可重复性3数列的表示 ：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，（），简记作 an其中 an 是该数列的第n 项，列表法、图象法、符号法、列举法、解析法、公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法4数列的一般性质：单调性。周期性5 数列的分类 ：按项的数量分：有穷数列、 无穷数列。按相邻项的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列、其他。按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他。按项的变化范畴分：有界数列、无界数列6 数列的通项公式：假如数列 an 的第 n 项 an 与它的序号n 之间的函数关系可以用一个公式a n =f（ n）（n N+或其有限子集 1 ， 2， 3， n ） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式数列的项是指数 列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值由通项公式可知数列的图象是 散点图，点的横坐标是项的序号值，纵坐标是各项的值不是全部的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯独7 数列的递推公式：假如已知数列 an 的第一项（或前几项） ，且任一项an 与它的前一项an-1 （或前几项an- 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an-2 ，）间关系可以用一个公式an=f（ a n1 ）（ n=2，3，） （或an=f （a n1 , a n2 ） n=3，4，5， ，）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n8数列的求和公式：设 Sn 表示数列 an 和前 n 项和，即Sn=aii 1=a1+a2+an，假如 Sn 与项数 n 之间的函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关系可以用一个公式Sn= f （n）（ n=1，2， 3，）来表示，那么这个公式叫做这个数列的求和公式9 通项公式与求和公式的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通项公式an 与求和公式Sn 的关系可表示为：anS1 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差数列与等比数列：SnSn 1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差数列等比数列文可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般的，假如一个数列从其次项起，每一项与字它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列定就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。义符一般的，假如一个数列从其次项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结号an 1and定义n 1q q0 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结递增数列：d0分递减数列：d0递增数列：a0， q1或a0，0q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类11常数数列：d0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结递减数列：a10， q1或a10，0q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结摇摆数列：q0常数数列：q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ana1n通1dpnqamnmdaa qn1aqnmq0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结项其中 pd , qa1dn1m（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S前n a1nn2an na1nn1d2pn2qna1 1Sn1qn q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结项dd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 p和, qa122na1q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中a, b, c成等差的充要条件:2bac项a ,b,c成等比的必要不充分条件：b2ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等和性： 等差数列an等积性： 等比数列an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 mnpq 就 aman主apaq如 mnpq 就 amana paq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要推论：如 mn2 p 就 aa2a推论：如 mn2 p 就 aaa2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mnp性mnp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结质aa2aaa a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n kn knnknkn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1ana2an 1a3an 2a1ana2an 1a3an 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即：首尾颠倒相加，就和相等1、等差数列中连续m 项的和，组成的新数列即：首尾颠倒相乘，就积相等1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是等差数列。即：等比数列。 即： sm, s2msm , s3ms2m ,等比，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sm , s2m其sm , s3 ms2m ,等差，公差为公比为 qm 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m2d 就有s3 m3 s2 msm 2 、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如： a1, a4 , a7 , a10 ,（下标成等差数列）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如： a1, a4 ,a7 , a10 ,（下标成等差数列）3 、 a, b等比，就a， a， ka可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 、an, bn等 差 ， 就a2 n，a2n 1，nn2 n也等比。其中k02n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它kanb，panqbn也等差。4、等比数列的通项公式类似于n 的指数函数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、等差数列an的通项公式是n 的一次函数，即： acqn ，其中 ca1nq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等比数列的前n 项和公式是一个平移加振可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即： andnc d0 幅的 n 的指数函数，即：snncqcq1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差数列an的前 n 项和公式是一个没有常5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数项的 n 的二次函数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性即： SnAn2Bn d0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、项数为奇数2n1的等差数列有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s奇nssaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇偶n中s偶n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s2n12n1) an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结项数为偶数2n 的等差数列有：质sa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇ns偶an 1， s偶s奇nd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s2nnanan 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、 anm, amn 就 am n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结snsm 就 sm n0 nm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结snm, smn 就 sm nmn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明一个数列为等差数列的方法：证证明一个数列为等比数列的方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明1、定义法：aad 常数 1、定义法：an 1q常数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法2、中项法：n 1an 1nan 12 an n2an2、中项法：aa（ a ）2 n2, a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n 1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设三数等差：元技ad , a, ad三数等比：a2, a, aq或a, aq, aqq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四数等差： a巧3d , ad , ad , a3d四数等比：a, aq, aq2 , aq3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、如数列an是等差数列， 就数列Can是等比数列， 公比为C d ，其中 C 是常数， d 是a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n的公差。联系2、如数列an是等比数列，且an0 ，就数列log a an是等差数列，公差为log a q ，其中 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是常数且 a0, a1 ， q 是an的公比。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列的项an 与前 n 项和Sn 的关系： ans1snsn 1n1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列求和的常用方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、错项相减法：适用于差比数列（假如an等差，bn等比，那么an bn叫做差比数列）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即把每一项都乘以bn的公比 q ，向后错一项， 再对应同次项相减， 转化为等比数列求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结适用于数列1和anan 11anan 1（其中an等差）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可裂项为：11 11 ，11 aa 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aadaan 1ndaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1nn 1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差数列前 n 项和的最值问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、如等差数列an的首项a10 ，公差 d0 ，就前 n 项和Sn 有最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如已知通项an ，就Sn 最大an0。an 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n（）如已知Spn 2qn ，就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 pSn 最大。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、如等差数列an的首项a10 ，公差 d0 ，就前 n 项和Sn 有最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如已知通项an ，就Sn 最小an0。an 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n（）如已知Spn 2qn ，就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 pSn 最小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列通项的求法：公式法 ：等差数列通项公式。等比数列通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知Sn （即 a1a2anfn ）求an ， 用作差法 ： anS1 , n1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 1, n1SnSn 1, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 a1 a2anfn 求 an ， 用作商法：anf n, n2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知条件中既有Sn 仍有an ，有时先求Sn ，再求an 。有时也可直接求an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 an 1anf n求 an 用累加法 ： an anan 1 an 1an 2 a2a1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 n2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知an 1f n 求 a， 用累乘法 ： aanan 1a2a n2) 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnanan 11an 2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知递推关系求an ， 用构造法 （构造等差、等比数列）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊的 ，（1）形如akab 、 akab （k, b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn 1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结化为公比为k 的等比数列 后，再求an 。形如 ankan 1k n 的递推数列都可以除以k n 得到一个等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结列后，再求an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）形如 anan 1的递推数列都可以用倒数法求通项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kan 1b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）形如aa的递推数列都可以用对数法求通项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kn 1n（ 7）（理科） 数学归纳法 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 8）当遇到an 1a n 1d或 an 1an 1q 时， 分奇数项偶数项争论， 结果可能是分段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、典型题的技巧解法1、求通项公式（ 1）观看法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。1 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（ d， q 为常数） 例 1、已知 a n 满意 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。例 1 、解 an+1-a n=2 为常数 a n 是首项为1，公差为2 的等差数列n an=1+2（ n-1 ）即 an=2n-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、已知 an 满意an 11 a ，而 a 212 ，求an =？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）递推式为 an+1=an+f （ n）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3、已知 a 中 a1 ， aa1，求 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n解：由已知可知1n 1an 1a nn4n21n211 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n1 2n122n12n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 n=1， 2，（ n-1 ），代入得（ n-1 ）个等式累加，即（a2-a 1） +（ a3-a 2）+（ an-a n-1 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ana11 1212n14 n34n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明只要和f （ 1） +f （ 2）+f （n-1 ）是可求的，就可以由an+1=an+f （ n）以 n=1， 2，（ n-1 ）代入，可得n-1 个等式累加而求an。(3) 递推式为 an+1=pan+q（ p，q 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4、 an 中，a11 ，对于 n 1（n N）有 an3an 12 ，求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n-1n-1解法一：由已知递推式得an+1=3an+2， an=3an-1 +2。两式相减：an+1-a n=3（ an-a n-1 ）因此数列 a n+1-a n 是公比为3 的等比数列，其首项为a2-a 1=（ 3× 1+2） -1=4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n an+1-a n=4·3 an+1=3an+2 3an+2-a n=4· 3n-1即 a n=2· 3-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n+1解法二： 上法得 a-a 是公比为3 的等比数列， 于是有： a -a=4，a -a=4·3，a -a=4·32， ，a -a=4·3n-2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结213243nn-1把 n-1 个等式累加得： an=2·3n-1-1(4) 递推式为 an+1=p a n+q n （p，q 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bb2 bb由上题的解法，得：b2 n abn1n1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nnn 13n323n2n3223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) 递推式为an 2pan 1qan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路：设an 2pan 1qan , 可以变形为：an 2an 1an 1an ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结想于是 a n+1- an 是公比为 的等比数列，就转化为前面的类型。求 an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(6) 递推式为 Sn 与 an 的关系式关系。（ 2）试用 n 表示 an。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 Sn 1Sn anan 1 1 2n 212n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ann+11n+1anan 1n12n 1n an 1112 an2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上式两边同乘以2得 2an+1=2 an+2 就2an 是公差为 2 的等差数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 2na = 2+ （ n-1 ）· 2=2n2数列求和问题的方法（ 1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n 项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。21 3 5 2n-1=n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 8】 求数列 1，（ 3+5），（ 7+9+10），（ 13+15+17+19），前 n 项的和。解此题实际是求各奇数的和，在数列的前n 项中，共有1+2+n= 1 nn21) 个奇数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最终一个奇数为：1+1 nn+1-1× 2=n2+n-12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此所求数列的前n 项的和为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（ 2）、分解转化法对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 9】求和 S=1·（22n -1） + 2 ·（32n -232） +3·（332n -32） +n（22n -n ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解S=n （ 1+2+3+n）- （ 1 +2 +3 +n ）（ 3）、倒序相加法适用于给定式子中与首末