排列组合知识点与方法归纳.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载排列组合学问点与方法归纳一、学问要点1. 分类计数原理与分步运算原理（1） 分类运算原理（加法原理）：完成一件事，有 n 类方法，在第一类方法中有 m1 种不同的方法，在其次类方法中有 m2 种不同的方法， ，在第 n 类方法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m1+ m2+ + mn 种不同的方法。（2） 分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1 步有 m1 种不同的方法，做第2 步有m2 种不同的方法，做第n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m1× m2×× m n 种不同的方法。2. 排列（1） 定义从 n 个不同元素中取出m（）个元素的全部排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数，记为.（2） 排列数的公式与性质a 排列数的公式： =n （ n-1 ）（ n-2 ） （ n-m+1） =特例：当 m=n时，=n ！=n（ n-1 ）（ n-2 ）× 3×2×1规定： 0！=1b 排列数的性质：（）=（）（）3. 组合（ 1）定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载a) 从 n 个不同元素中取出个元素并成一组， 叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合b) 从 n 个不同元素中取出个元素的全部组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。（ 2）组合数的公式与性质a) 组合数公式：（乘积表示）（阶乘表示）特例：b) 组合数的主要性质：（）（）4. 排列组合的区分与联系（ 1） 排列与组合的区分在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且仍与取出元素的次序有关。因此，所给问题是否与取出元素的次序有关，是判定这一问题是排列问题仍是组合问题的理论依据。（ 2）留意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系：二、经典例题例 1、某人方案使用不超过500 元的资金购买单价分别为60、70 元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3 片，磁盘至少买2 盒，就不同的选购方式是（）A .5种B.6种C. 7种D. 8种解：留意到购买3 片软件和2 盒磁盘花去320 元，所以，这里只争论剩下的180 元如何使用，可从购买软件的情形入手分类争论：第一类，再买3 片软件，不买磁盘，只有1种方法。其次类，再买2 片软件，不买磁盘，只有1 种方法。第三类，再买1 片软件，再买1 盒磁盘或不买磁盘，有2 种方法。第四类，不买软件，再买 2 盒磁盘、 1 盒磁盘或不买磁盘，有3 种方法。于是由分类计数原理可知，共有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载N=1+1+2+3=7种不同购买方法，应选C。例 2、在中有 4 个编号为1， 2，3， 4 的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂法？解：依据题意，有相邻边的小三角形颜色不同，但“对角”的两个小三角形可以是相同颜色，于是考虑以对角的小三角形1、4 同色与不同色为标准分为两类，进而在每一类中分步运算。第一类： 1 与 4 同色，就1 与 4 有 5 种涂法， 2 有 4 种涂法， 3 有 4 种涂法，故此时有 N1=5×4×4=80 种不同涂法。其次类： 1 与 4 不同色，就 1 有 5 种涂法， 4 有 4 种涂法， 2 有 3 种涂法， 3 有 3 种涂法，故此时有 N2=5×4×3×3=180 种不同涂法。 综上可知， 不同的涂法共有 80+180=260 种。例 3、用数字 0，1，2， 3，4，5 组成无重复数字4 位数，其中，必含数字2 和 3，并且 2 和 3 不相邻的四位数有多少个？解：留意到这里“ 0”的特别性，故分两类来争论。第一类：不含“ 0”的符合条件的四位数，第一从1， 4， 5 这三个数字中任选两个作排列有种。进而将 2 和 3 分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置，又有种排法，于是由分步计数原理可知，不含0 且符合条件的四位数共有=36 个。其次类：含有“ 0”的符合条件的四位数，留意到正面考虑头绪较多，故考虑运用“间接法”：第一从1，4，5 这三个数字中任选一个，而后与0，2，3 进行全排列，这样的排列共有个。其中，有如下三种情形不合题意，应当排险：（ 1）0 在首位的，有个。（ 2）0 在百位或十位，但2 与 3 相邻的，有个（ 3）0 在个位的，但2 与 3 相邻的，有个因此，含有0 的符合条件的四位数共有=30 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载于是可知，符合条件的四位数共有36+30=66 个例 4、某人在打靶时射击8 枪，命中4 枪，如命中的4 枪有且只有3 枪是连续命中的，那么该人射击的8 枪，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有（）A.720 种B.480种C.24种D.20种分析： 第一，对未命中的4 枪进行排列， 它们形成5 个空挡，留意到未命中的4 枪“位置公平”，故只有一种排法，其次，将连中的3 枪视为一个元素，与命中的另一枪从前面5个空格中选2 个排进去， 有种排法， 于是由乘法原理知， 不同的报告结果菜有种。例 5、（ 1）。（ 2）如，就 n=。（ 3）。（ 4）如，就 n 的取值集合为。（ 5）方程的解集为。解：（ 1）留意到n 满意的条件原式 =（ 2 ） 运 用 杨 辉 恒 等 式 ， 已 知 等 式所求 n=4。（ 3）依据杨辉恒等式原式 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载=（ 4）留意到这里在之下，n 满意的条件n5 且 nN*原不等式由、得原不等式的解集为5 ，6， 7， 11（ 5）由留意到当y=0 时，无意义，原方程组可化为由此解得经检验知是原方程组的解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载