数学分析知识点总结第二章.docx
精品名师归纳总结数分小组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次章1 数列极限的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义（ 1）。设 an 为数列, a 为定数。如对任给的的正数,总存在正整数 n. 使得当 nf N时,有 |a n-a|v ,就称数列 a. 的 极限, 记作im an=a. （>0. N, 当 n N 时,有 |a . -a|<成立,就 lim a n a） 。x留意： 1： 为任意正数, 可以随便小,但一经给出,就被 确定下来,有时仍用 /2, 2 s 表示。 2： N的依靠性但不唯独 性, N 是依靠于 ,但不由 唯独确定。 比如 n>N 时, N=100, 自然 N=|0| 也成立,所以, N不是唯独确定的。1.定义（ 1）。 任给 f 0 如在 U（ a;）之外数列 an 中的项至多有有限个。就称数列 an收敛于 a。定义 1 的否定：存在 0 P0 ,如在 （ a;） 之外的数列 a” 中的项有无穷多个,就称数列 a n 不收敛于 a.,而不 能说明 aN 无极限 。留意：定义 1 通常用来说明数列无极限,而定义1 的否定 只说明 an 不收敛于 a, 而不能说明 an 无极限 。定义（ 2） : 如 lima n 0, 就称an为无穷小数列 。x定理 2.1 。数列 an 收敛于 a 的充要条件是： an a为无穷小数列 。 定义 an 满意：对 f 0, 总存在正整数 N,始得当 n f N 时,有 | a. |f 成立 就称数列 a n发散与无穷大,记坐 yman 。留意：无穷大数列只是无极限的一种。随记坐 lima n,但an仍x为发散数列,无极限给定数列,得到数列 b n。就数列 an 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 b n 同时收敛或发散,且在收敛时两者的极限相同。2 收敛的性质定理 2.2: 唯独性,如数列 an 收敛,就他只有一个极限 。定理 2.3 : 有界性,如数列 an 收敛,就 an 为有界数列,就存在正数 M,使得对一切正整数n 有| an| M收敛数列肯定有界,而有界数列不肯定收敛。定理 2.4 ： 如 lim=a 0 或 a 0, 就对 a' 0,a 或 a" a,0 ,都存在 N,x使得 保号性 当 n >N 时,有 an a'或 an a' 成立。摧论：设 lima n a,lim b n b,a b ,贝 U 存在 N,使得当 n>N 时有xxan bn 。证明： Q a b 有 a a b/2,b a b/2由定理 2.4 ,保号性知：N,当 n N 时,有 an a b/2N 2,当 n>N 2 时,有 bn a b/2取 N 二 max N j,N 2 当 n N 时, an bN定理 2.5 保不等式性 ,设 an 与 bn 均为收敛性 ,如存在正数N 0,使得当 n>N0 时有 an bn 就 liman,xlim b n. x证明设 lim anxa,lim b nxb0, N, 当 n>N 时,有 |ana |. 即有 aan2a 2N2 当 n>N 时,有|bnb| , 即有 b 2 2bnb -2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取 N=maXN °,N 1,N2,当 nN 时, aan2bn b -2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a b a b 即 lima n limbxx定理 2.6（迫敛性）设收敛数列 an, bn都已 a 为极限,数列 Cn 满意。存在数 No,当 n>No 时有 an Cn bn 就数列Cn收敛,且 limj a,x证明：设 lim a n lim b n a.nn就有 0, Ni 当 n>N 时,有 an a | 成立,即aan a .0, N 2 ,当 n N 2 时,有 bn a成立,即abn a .取 N = max N o,Ni,N2 ,当 n N 时,有 a- <a n Cn bn a , acn a , 即 cn a .lim c n a.n定理 2.7 （四就运算）如 an 与 bn 为收敛数列, 就 an bn , an bn , an* bn 也都是收敛数列。假设 bn 0,及 lim b n 0, 就有 玉 为收敛数列。nbn定义：设 an 为数列, nk 为正整数集,且 m 巳 Lnk L ,就数列 an1 ,a n2 ,L a nk L 称为数列 an 的一个子列,记作 ank .留意:1、k nk,2 、a-i,a 2 丄 ak L an 也为 an 的子列。定理 2.8: 数列 an 的充要条件是： an 的任何子列都收敛。第三节：数列极限存在的条件定理 2.9 ：单调有界定理：单调有界数列肯定有极限。证明过程见课本 37 页。n1结论： lim 1 一e. n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理2.10 ：定理2.11 ： 对任给的致密性定理：任何有界数列都有收敛的子列。柯西收敛准就：数列an 收敛的充要条件是：0, 存在正整数 N,使得当 n, m N 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载
