数列极限和数学归纳法练习有答案.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、学问点整理：数列极限和数学归纳法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列极限： 数列极限的概念、数列极限的四就运算法就、常见数列的极限公式以及无穷等比数列各项的和要求：懂得数列的概念， 把握数列极限的四就运算法就和常见数列的极限，把握公比 q 当 0q1时无穷等比数列前n 项和的极限公式及无穷等比数列各项和公式，并用于解决简洁的问题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、懂得数列极限的概念：n2 ,1n,1等数列的极限n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、极限的四就运算法就：使用的条件以及推广可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、常见数列的极限：lim 10, lim q n0 q1, lim CC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、无穷等比数列的各项和：Slim Snna101qq1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数学归纳法：数学归纳法原理，会用数学归纳法证明恒等式和整除性问题，会利用“归纳、猜想和证明”处理数列问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）、证明恒等式和整除问题（充分运用归纳、假设，拆项的技巧，如证明32n 28n9 能被64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整除，32 k 48k19 ）932k 28k964k1 ），证明的目标特别明确。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）、“归纳猜想证明” ，即归纳要精确、猜想要合理、证明要规范，这类题目也是高考考察数列的重点内容。二、填空题3n 12 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、 运算：limnn32 n 1= 3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、 有一列正方体， 棱长组成以1 为首项、1 为公比的等比数列，体积分别记为V ，V ，V ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim V1nV2n202V n 8.7112n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 、 lim 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n3n1334、 数列a的通项公式a1 ,n11nN * ，前n 项和为S ，就lim S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnn13, n2nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= .21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 、 设 an是公比为的等比数列，且2lim a1a3a5na2 n 1 4，就 a13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、 在等比数列an中，已知a1a232,a3a42 ，就lima1a2nan_16 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、 数列an的通项公式是an3 n2n 1，就lim a1a 2 na n = 7 .6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、已知数列an是无穷等比数列，其前n 项和是Sn ，如 a2a32 ， a3a41 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 lim S 的值为16.nn3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、设数列an满意当an 2 （ nN * ）成立时，总可以推出an 1 n12 成立以下四个命题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n（ 1）如 a39 ，就 a416 （2 ）如a310 ，就a525 （ 3）如 a525 ，就 a416 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）如 an n12 ，就an 1n 2 其中正确的命题是（ 2）（ 3） （ 4）. （填写你认为正确的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结全部命题序号）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10、将直线l1 ： xy10 ， l 2 ： nxyn0 ， l 3 ： xnyn0 （ nN * ， n2 ）围成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的三角形面积记为S ，就 lim S 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11、在无穷等比数列a n中，全部项和等于2， 就 a1的取值范畴是0,22,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12、设无穷等比数列 ana2的公比为q，如lim a4a5nan ，就 q=15 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13、已知点 A 11 , 0n， B0 , 22， C2n1 , 3n2，其中 n 为正整数，设nSn 表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC 的面积，就lim Snn 2.5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14、以下关于极限的运算，错误的序号 （2） （ 1）=（2）（+）=+=0+0+0=0（3）（n）=。（4）已知=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（15）已知 fx 是定义在实数集R 上的不恒为零的函数，且对于任意a, bR ，满意 f22 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*f2nf2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fabafbbfa， 记 an,bnn2n2， 其 中 nN 考 察 下 列 结 论 ： 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f0f1。 fx是 R 上的偶函数。数列an为等比数列。数列bn为等差数列 . 其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正确结论的序号有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、挑选题：a n 1bn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16、已知 a0 , b0 , 如limnanbn5 ，就 ab 的值不可能是（ D）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ A）7 .（ B）8 .（ C）9 .（ D） 10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17、如limnr12r2n 1存在，就 r 的取值范畴是（ A）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ A） r1 或 r1。（ B） r31 或 r1。（ C） r31 或 r11。（ D）1r33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结观 察 下 列 式 子 ： 1122C .3 ,1122215 ,11117 ,3232232424， 可 以 猜 想 结 论 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(A) 11112n1nN*(B) 11112n1nN*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2232n 2n。2232n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(C) 11112n1 nN*(D) 11112n123nn1nN*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22322nn121nn12021222。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结19、已知 an1 n 12， Sn 是数列n2021an的前 n 项和（A）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nA ） lim an和 limnS 都存在。 Blimnna 和 limnnSn 都不存在。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Climnan 存在， limnSn 不存在。 Dlimnan 不存在， limnSn 存在。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20、设双曲线 nx2n1y221nN * 上动点 P 到定点1Q 1,0的距离的最小值为d ， 就 limdnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的为（ A ）（ A）2（D） 1三、综合题：（ B）2（ C） 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21、在数列a中， a1, a2an2 n2, nN 。（1）求 a,a , a ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1nn 1n n1234可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）猜想数列an的通项公式，并证明你的结论。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1a8 ,a23,a59 ;2a32n 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结234n345n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22、已知数列an满意 an0 ，双曲线Cn :1nN 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）如 a11,a22 ，双曲线Cn 的焦距为 2cn ， cn4n1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求an的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如图，在双曲线Cn 的右支上取点Pn xP, n ，过Pn 作 y 轴的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n垂线，在第一象限内交Cn 的渐近线于点Qn ，联结OPn ，记OPn Qn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的面积为Sn 。 如 lim ann2 ，求 limnSn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n（关于数列极限的运算，仍可参考如下性质：如lim unAun0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 limunnA 。 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结29.（ 1） an2n1,n is odd1。（ 2）2n2, n is even2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列综合题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 定义：假如数列an的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，就称an为“三角形”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列对于“三角形”数列an，假如函数yf x 使得 bnf an 仍为一个“三角形”数列，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称 yf(x) 是数列an的“保三角形函数” ， nN* .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 已知an是首项为2，公差为 1 的等差数列，如f xk x , k1 是数列an的“保三角形函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数”，求 k 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 已知数列cn的首项为2021，Sn是数列cn的前 n 项和，且满意4Sn 13Sn8040，证明 cn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是“三角形”数列。解： 1 明显，对任意正整数都成立，即是三角形数列由于 k>1，明显有，由得，解得.所以当时，是数列的“保三角形函数”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2由得, 两式相减得所以，经检验，此通项公式满意明显，由于，所以是“三角形”数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知数列（1）求数列a n的前 n 项和为a n的通项公式。S n ， a11 ， 3an 14Sn3 （ n 为正整数） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）记 Sa1a2an，如对任意正整数 n ， kSSn 恒成立，求 k 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）已知集合 Ax x2a a1) x, a0 ，如以 a 为首项， a 为公比的等比数列前n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结项和记为Tn ，问是否存在实数a 使得对于任意的nN ,均有 TnA .如存在，求出a 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取值范畴。如不存在，说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23 1 由题意知，当 n2 时，3an 13an4Sn34Sn 13两式相减变形得 : an 1an1 n23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 n1 时，a1 ，于是a 211分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23a13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 an 是以 a11为首项，公比 q1的等比数列3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1an3n 1,nN * 分4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 由S13得k4 S11= f n 5分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11433n3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n 是偶数时，f n 是 n 的增函数，于是f nminf 288，故 k7分99可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n 是奇数时，f n 是 n 的减函数，由于lim f n1 ，故 k1分 9n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述， k 的取值范畴是 , 8 91分0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 当 a1时,Ax |1xa ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2T2aa ，如 T2A, 就1aa2a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2a12得 a0,a10,此不等式组的解集为空集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即当 a1时, 不存在满意条件的实数a.13分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 0a1时, A x | ax1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nTaa 2而a na1an 1a是关于 n 的增函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim Tn且 na, 故Tna,1aa.1a1分5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结TnA, 只需0a1,a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此对任意的 nN, 要使1.0a.1a解得2分18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知抛物线x24 y ，过原点作斜率为1 的直线交抛物线于第一象限内一点11P1 ，又过点 P1 作斜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结率为的直线交抛物线于点21P2 ，再过P2 作斜率为的直线交抛物线于点4P3 ，如此连续。一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结般的，过点Pn 作斜率为的直线交抛物线于点2 nPn 1 ，设点Pn xn ,yn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求 x3x1 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）令 bnx2 n 1x2 n1，求证：数列 bn 是等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）记P奇 x奇 , y奇 为点列P1 , P3 , P2 n 1 ,的极限点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求点 P奇 的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 ：（ 1 ） 直 线OP1的 方 程 为 yxx 24y， 由解 得yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -P1 4 , 4，1 分x 24y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 P P 的方程为 y41x4 ，即 y1 x2 由得P 2 , ，1 2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 122y1 x222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结113x24 y9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 P2P3的方程为 y1x2 ，即 yx由442y1 x3 解得，P33, 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结42x，所以x3x134（ 2）由于 Pn x1n ,x241 x21x 211 3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n ，Pn 11xn 1,42由抛物线的方程和斜率公式得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nnxx45分所以xx8，两式 相减得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24 xx2nn 1nnnn 12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nxx46 分nn 1n 124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用 2n 代换n 得 bnx2n1x n21，由（ 1）知，当n4n41 时，上式成立，4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 bn 是等比数列，通项公式为bn7 分（ 3）由4nx2n 1x2 n 1n得，4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结44xx， xx， xx4n，8 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23153442n 12 n 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以上各式相加得x2n 184334n10 分所以 x奇limnx2 n 18， y 奇31219x奇49可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即点 P奇的坐标为8 , 163912 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、 设数列a n的首项a1 为常数3a3，且15an 132an nN3n*（ 1）证明：a n是5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n等比数列。（ 2）如 a 1，an2中是否存在连续三项成等差数列？如存在，写出这三项，如不存可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在说明理由 （ 3）如an是递增数列，求a1 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32 证明：（ 1）由于an 113 n 152 ，所以数列3nan是等比数列。3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a13 n5nn5339可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2 ）a n5是 公 比 为 2 ， 首 项 为 a 1510的 等 比 数 列 通 项 公 式 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aan1n332n 139 2n1 ， 4分如a中存在连续三项成等差数列，就必有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n55510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2aaa， 即 2 39 2 n 39 2 n 13 n 29 2 n1 解 得 n4 ， 即可编辑资料 - 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