数学一轮考点归纳集训《导数的应用》.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第十二节导数的应用 备考方向要明白考 什 么怎 么 考可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 明白函数单调性和导数的关系。 能利用导数争论函数的单调性，会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 2. 明白函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。会用导数求函数的极大值、微小值 其中多项式函数一般不超过三次.利用导数争论函数的单调区间、极值或最值，其考查题型有：(1) 利用导数求单调区间，如20XX年北京 T18 等(2) 利用单调性求参数范畴，如20XX年江苏 T19 等，(3) 利用导数求函数的极值，或最值，如 20XX年陕西 T7，安徽 T19 等(4) 已知函数的极值或最值求参数，如20XX年江苏 T18等. 归纳·学问整合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1函数的单调性与导数 探究 1. 如函数 f x 在 a，b 内单调递增， 那么肯定有f x>0 吗 ？ f x>0 是否是 f x 在 a， b 内单调递增的充要条件？提示：函数 f x 在 a， b 内单调递增，就 f x 0， f x>0 是 f x 在 a， b 内单调递增的充分不必要条件 2函数的极值与导数(1) 函数的微小值：如函数 y f x 在点 xa 处的函数值 f a 比它在点 x a 邻近其他点的函数值都小， 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -f a 0，而且在点x a 邻近的左侧f x 0，右侧 f x 0，就 a 点叫做函数的微小值点， f a 叫做函数的微小值(2) 函数的极大值：如函数 y f x 在点 xb 处的函数值f b 比它在点x b 邻近其他点的函数值都大，且f b 0，而且在点x b 邻近的左侧f x 0，右侧 f x 0，就 b 点叫做函数的极大值点， f b 叫做函数的极大值，极大值和微小值统称为极值 探究 2. 导数值为 0 的点肯定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？提示：不肯定可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点。如函数33f x x ，在 x 0 处，有 f 0 0，但 x 0 不是函数f x x 的极值点。其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件3函数的最值与导数(1) 函数 f x 在 a， b 上有最值的条件：一般的，假如在区间 a，b 上，函数 yf x 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2) 求函数 y f x 在 a，b 上的最大值与最小值的步骤为求函数 y f x 在 a，b 内的极值。将函数 y f x 的各极值与端点处的函数值f a ，f b 比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 探究 3. 函数的极值和函数的最值有什么联系和区分？提示：极值是局部概念，指某一点邻近函数值的比较，因此，函数在极大 小 值，可以比微小 大 值小 大 。最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间 a，b 上全部函数值的比较因而在一般情形下，两者是有区分的，极大 小 值不肯定是最大 小 值，最大 小 值也不肯定是极大 小 值，但假如连续函数在区间 a，b 内只有一个极值，那么极大值就是最大值，微小值就是最小值 自测·牛刀小试x1 教材习题改编 函数 f x e x 的单调递增区间是 A ， 1B 1 ，C ， 0 D 0 ，xx解析：选 Df x e x， f x e 1，由 f x>0 ，得 ex 1>0，即 x>0.2 教材习题改编 函数 f x 1x3 4x 4 有3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A极大值2843 ，微小值 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -B极大值 4，微小值 2833可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C极大值428，微小值33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D极大值284，微小值331 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：选 Df x x 4x 4， 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 f x x 4，令 f x 0，就 x± 2.当 x ， 2 时， f x>0 。 当 x 2,2 时， f x<0 。当 x2 ， 时， f x >0.fx284 极大值 f 2 3 ， f x 微小值 f 2 3.23已知函数f x 的导函数f x ax bx c 的图象如下列图，就f x 的图象可能是解析： 选 D当 x<0 时， 由导函数 f x ax2 bx c<0，知相应的函数f x 在该区间2上单调递减。当x>0 时，由导函数f x ax bxc 的图象可知，导数在区间0 ， x1 内的值是大于0 的，就在此区间内函数f x 单调递增324 教材习题改编 函数 f x x 3x 2 在区间 1,1 上的最大值是 2解析： 由题意， 得 f x 3x 6x，令 f x 0，得 x 0 或 x 2 舍去 由于 f 1 2， f 1 0，f 0 2，故 f x 在 1,1 上的最大值为2.答案： 2325如函数f x x x mx1 是 R 上的单调增函数，就m的取值范畴是 解析： f x x3 x2 mx1，2 f x 3x 2x m.又 f x 在 R 上是单调函数，1 4 12 m0，即 m 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：1，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -运用导数解决函数的单调性问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 例 12021 ·郑州模拟 已知函数f x ax xlnx，且图象在点11e， f处的切线e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结斜率为 1e 为自然对数的底数 (1) 求实数 a 的值。fx x(2) 设 g x x 1，求 g x 的单调区间。mnn3 当 m>n>1 m， n Z 时，证明：>.nmm 自主解答 1 f x ax xlnx， f x a 1lnx，1依题意 f e a 1，所以 a 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 由于 g x fx xx 1xlnx，x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 gx x1 lnx x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1设 x x 1 lnx，就 x 1 .x1当 x>1 时， x 1 x>0， x 是增函数，对. x>1， x> 1 0，即当 x>1 时， gx>0 ， 故 g x 在1 ， 上为增函数。1当 0<x<1 时， x 1 x<0， x 是减函数，对. x 0,1， x> 1 0，即当 0<x<1 时，gx>0 ， 故 g x 在0,1上为增函数所以 g x 的单调递增区间为0,1， 1 ， 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 要证mnn> m，即证nlnn m lnmn>lnn lnm，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1mm1mlnm nlnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即nlnm>m lnn， m 1 > n 1 .*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 m>n>1，由 2 知， g m> g n ，故 *式成立，所以mnn> m.n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m1导数法求函数单调区间的一般步骤(1) 确定函数f x 的定义域。(2) 求导数 f x 。(3) 在函数 f x 的定义域内解不等式f x>0 和 f x<0 。(4) 依据 3 的结果确定函数f x 的单调区间2导数法证明函数f x 在 a， b 内的单调性的步骤1 求 f x 。(2) 确认 f x 在 a， b 内的符号。(3) 作出结论： f x>0 时为增函数。f x<0 时为减函数3导数法求参数的取值范畴已知函数的单调性，求参数的取值范畴，应用条件f x 0 或 f x 0 ， x a，b) ，转化为不等式恒成立求解1已知函数f x 3x 2x2 lnx，其中 a 为常数a(1) 如 a 1，求函数f x 的单调区间。(2) 如函数 f x 在区间 1,2上为单调函数，求a 的取值范畴解： 1 如 a 1 时， f x 3x 2x2lnx，定义域为 0 ， ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1f x x 4x3 4x 3x 12xxxx x>0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2当 f x>0 ， x 0,1时，函数 f x 3x 2x lnx 单调递增当 f x<0 ， x 1 ， 时，函数f x 3x 2x2 lnx 单调递减故函数 f x 的单调递增区间为0,1，单调递减区间为1 ， 312 f x a4x x，31如函数 f x 在区间 1,2上为单调函数， 即在 1,2上，f x a 4xx0或 f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3 4x10，ax3131可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 4xa0或xa 4xx0在1,2上恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结31即 4x 或ax314x .ax1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 h x 4xx，由于函数h x 在1,2上单调递增，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3所以 h2 或a3a h1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3152即 或a33，a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 a<0 或 0<a 5或 a1.利用导数解决函数的极值问题13 例 22021 ·重庆高考 设 f x aln x2x 2x 1，其中 a R，曲线 y f x 在点1 ， f 1 处的切线垂直于y 轴(1) 求 a 的值。(2) 求函数 f x 的极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 自主解答 1 因 f x alnx23a x 1，故 f x 132 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2x2x2由于曲线y f x 在点 1 ， f 1处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即 f 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10，从而 a 2解得 a 1.3 0， 213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 由1 知 f x ln x2x2x1 x>0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1132f x x2x2 3x 2x 1 2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx2x2.11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 f x 0，解得 x1 1， x2 因 x23不在定义域内，舍去 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x0,1时， f x<0 ，故 f x 在 0,1上为减函数。当 x1 ， 时， f x>0 ，故 f x 在1 ， 上为增函数故 f x 在 x 1 处取得微小值f 1 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -求可导函数f x 的极值的步骤(1) 求导数 f x 。(2) 求方程 f x 0 的根。(3) 检验 f x 在方程 f x 0 的根的邻近两侧的符号：详细如下表：xx<x0x0x>x0f xf x>0f x 0f x<0f x增极大值 f x0减xx<x0x0x>x0f xf x<0f x 0f x>0f x减微小值 f x0增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 kx212已知函数f x e· x xk k<0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 求 f x 的单调区间。2(2) 是否存在实数k，使得函数f x 的极大值等于3e？如存在，求出k 的值。如不存在，请说明理由解： 1 f x 的定义域为R.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x kekx x21xk ekx2 x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 kx2 e kx 2 k x 2 ， kx即 f x e kx2 x 1 k<0 2令 f x 0，解得 x 1 或 x .k当 k 2 时， f x 2e2x x 1 20， 故 f x 的单调递增区间是 ， 当 2<k<0 时，f x ，f x 随 x 的变化情形如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22x， kk2， 1 1 1，k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x00f x极大值微小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以函数 f x 的单调递增区间是，当 k< 2 时，f x ，f x 随 x 的变化情形如下：2k 和 1， ，单调递减区间是2k， 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x ， 1 1 1， k22，kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x00f x极大值微小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以函数 f x 的单调递增区间是 ， 1 和22，单调递减区间是 1，.kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结. 22 当 k 1 时， f x 的极大值等于3e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结理由如下：当 k 2 时， f x 无极大值 当 2<k<0 时， f x 的极大值为f22 41k ek2 k ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 41 241可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 e2 3ekk，即2k43，k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 k 1 或 k 3 舍去 ke当 k< 2 时， f x 的极大值为f 1 k .k 2,1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 e <e0< < ，k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kke1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以1< e. 2 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 e 2<3e，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2所以 f x 的极大值不行能等于3e. 2综上所述，当k 1 时， f x 的极大值等于3e利用导数解决函数的最值问题 例 3已知函数f x x ke x .(1) 求 f x 的单调区间。(2) 求 f x 在区间 0,1上的最小值 自主解答 1 f x x k1e x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -令 f x 0，得 x k1. f x 与 f x 的情形如下：x ， k1 k 1 k 1，f x01kf x e所以， f x 的单调递减区间是 ， k 1 。单调递增区间是 k 1， 2 当 k10，即k1时，函数f x 在 0,1上单调递增，所以f x 在区间 0,1上的最小值为f 0 k。当 0<k 1<1，即 1<k<2 时，由1 知 f x 在0 ，k1 上单调递减， 在 k1,1 上单调递增， 所以 f x 在区间 0,1k 1上的最小值为f k1 e。当 k11，即 k2时，函数 f x 在0,1上单调递减，所以f x 在区间 0,1上的最小值为 f 1 1 ke.保持本例条件不变，求f x 在0,1上的最大值解：由本例 2 可知当 k1时，函数f x 在0,1上单调递增所以 f x 在区间 0,1上的最大值为f 1 1 ke.当 1<k<2 时，由于f 0 k，f 1 1 ke.e1令 f 1 f 0 1 ke k 0，得 k e .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e当 1 k<e时 ， f 1> f 0 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此时 f x 在 0,1上的最大值为f 1 1 ke.e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当e<k<2 时， f 1< f 0 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此时 f x 在 0,1上的最大值是f 0 k.当 k2时，函数f x 在0,1上单调递减， 所以 f x 在区间 0,1上的最大值为f 0 k.e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述，当k<e时， f x 在0,1上的最大值为 1 ke 。1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e当 k>时， f x 在0,1上的最大值为k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -利用导数求函数最值的方法求解函数的最值时，要先求函数y f x 在 a，b 内全部使f x 0 的点，再运算函数 y f x 在区间内全部使f x 0 的点和区间端点处的函数值，最终比较即得，也可利 用函数的单调性求得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x32021 ·江西高考 已知函数f x ax bx ce1， f 1 0.(1) 求 a 的取值范畴。在0,1上单调递减且满意f 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 设 g x f x f x ，求 g x 在0,1上的最大值和最小值解： 1 由 f 0 1， f 1 0 得 c 1， ab 1，2x就 f x ax a 1 x1e ，f x ax2 a 1 xae x .依题意须对于任意x 0,1， 有 f x<0.2当 a>0 时， 由于二次函数y ax a 1 x a 的图象开口向上，而 f 0 a<0，所以须 f 1 a 1e<0 ，即 0<a<1。x当 a1 时，对任意x 0,1有 f x x2 1e x<0， f x 符合条件。当 a0 时，对于任意x0,1，f x xe <0， f x 符合条件。 当 a<0 时，因 f 0 a>0， f x 不符合条件故 a 的取值范畴为0 a1.xx2 因 g x 2ax 1ae ，所以 gx 2ax 1 ae .x 当 a 0 时，gx e >0，g x 在 x 0 处取得最小值g0 1，在 x 1 处取得最大值 g1 e. 当 a 1 时，对于任意x 0,1x有 gx 2xe <0， g x 在 x 0 处取得最大值g0 2，在 x 1 处取得最小值g1 0.1 a 当 0<a<1 时，由 gx 0 得 x 2a >0.1 a1如 2a 1，即 0<a3时，g x 在0,1上单调递增， g x 在 x 0 处取得最小值g01 a，在 x 1 处取得最大值g1 1 ae.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 a11 a1 a1 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 2a <1，即<a<1 时， g x 在 x32a 处取得最大值g2a 2ae2a ，在 x 0 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 1 处取得最小值，而g0 1 a，g1 1 ae ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1就当 <a 3e 11e 时， g x 在 x 0 处取得最小值可编辑资料 - - -