2019-2020学年高中数学《等比数列的前n项和》教案-新人教A版必修5.doc

2019-2020学年高中数学等比数列的前n项和教案 新人教A版必修5一、创设问题情景1.已知递增的等比数列满足,且是的等差中项.()求数列的通项公式;()若,是数列的前项和,求使成立的的最小值.解:（）设等比数列的公比为,依题意有, (1)又,将(1)代入得.所以.于是有 解得或 又是递增的,故. 所以. (),. 故由题意可得,解得或.又, 所以满足条件的的最小值为13. 二、学生探究自学（一）前n项和公式Sn的定义：Sn=a1+a2+an。（二）数列求和的方法（共8种）1.公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:（1）；（2）；（3）；（4）。2.分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。3.倒序相加法：如果一个数列an，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用此法推导的。4.裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于其中是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如：1）和（其中等差）可裂项为：；2）。（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消 求和）常见裂项公式：（1）；（2）；（3）；（4）（5）常见放缩公式：.三、引导学生探究题型1 公式法例1 数列bn的通项公式为bn=3n1.（1）求数列bn的前n项和Sn的公式；（2）设Pn=b1+b4+b7+b3n2，Qn=b10+b12+b14+b2n+8，其中n=1，2，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论.解:（1）Sn=n2+n.（2）b1，b4，b7，b3n2组成以3d为公差的等差数列，所以Pn=nb1+·3d=n2n；b10，b12，b14，b2n+8组成以2d为公差的等差数列，b10=29，所以Qn=nb10+·2d=3n2+26n.PnQn=（n2n）（3n2+26n）=n（n19）.所以，对于正整数n，当n20时，PnQn；当n=19时，Pn=Qn；当n18时，PnQn.变式训练1 等比数列的前项和S2p，则_.解：1）当n=1时，；2）当时，。 因为数列为等比数列，所以从而等比数列为首项为1，公比为2的等比数列。故等比数列为首项为1，公比为的等比数列。小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:（见知识点部分）。5）等比数列的性质：若数列为等比数列，则数列及也为等比数列，首项分别为、，公比分别为、。题型2 分组求和法例2 在数列中，已知a1=2，an+1=4an3n1，n.（1）设，求数列的通项公式;（2）设数列的前n项和为Sn，求Sn。解：（1）且为以1为首项，以4为公比的等比数列 （2） 变式训练2 数列中，且点在函数的图象上.（）求数列的通项公式；（）在数列中，依次抽取第3，4，6，项，组成新数列，试求数列的通项及前项和.解：（）点在函数的图象上，。，即数列是以为首项，2为公差的等差数列，。（）依题意知：=.小结与拓展：把数列的每一项分成多个项，再把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。题型3 裂项相消法例3 (武汉市2008届高三调研测试文科)设数列的前n项和。（1）求数列的通项公式；(2)记，求数列前n项和解：（1）数列的前n项之和在n=1时，在时，而n=1时，满足故所求数列通项（2）因此数列的前n项和当堂检测 已知数列的前项和为，设（）证明数列是等比数列；（）数列满足，求。证明：（）由于， 当时， 得 所以 又， 所以因为，且，所以所以故数列是首项为，公比为的等比数列 解：（）由（）可知，则（） 小结与拓展：裂项相消法是把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。它适用于其中是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如：1）和（其中等差）可裂项为：；2）。（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）