对股票收益率时间序列的检验研究.docx

金融学对股票收益率时间序列的非线性及机制转变的检验研究王煦逸王煦逸：管理学博士，同济大学中德学院内部控制学基金教席教授, 同济大学中德学院泽尔腾经济管理研究所常务副所长, 研究方向为行为金融,、金融风险控制和商业银行管理 林阳春林阳春：经济学硕士，同济大学中德学院内部控制学基金教席，研究方向为资本市场，公司治理和风险控制；本项目由德国蒂森克虏伯公司基金资助 （同济大学中德学院，上海 200092）0 引言近年来，对金融市场的时间序列的进行建模，试图通过计量经济学模型解释金融市场时间序列的内在关系一直是金融经济学和计量经济学研究的热点课题。关于金融市场的研究也大都集中于研究金融资产收益率。Campbell，Lo，MacKinlay认为金融资产收益率可以更好地解释投资的机会收益，同时金融资产收益率时间序列由于本身的统计特性也能更容易建立成模型。传统的金融资产收益率时间序列模型以线性关系为假设，最重要的是随机游走假设和ARMA模型。关于随机游走假设的研究主要是讨论金融资产收益率的可预测性。一般来说，关于实证检验随机游走假设的研究十分困难，原因在于过去和将来的价格变化之间的独立性很难被直接检验出来。Granger和Morgenstern（1964）在美国的股票市场，Cristina Del Rio（1997）在西班牙的股票市场，Conrad和Jüttner（1993），Ronning（1974），Mühlbradt（1978）和Möller（1986）在德国的股票市场上的研究都否定了随机游走假设。Conrad和Jüttner（1973）认为，连续的价格变化随机性地相互独立，许多股票收益率分布都存在显著的独立性。通过随后大量的研究发现，ARMA过程对于描述金融资产收益率时间序列是十分合适的，因为在这种情况下参数和矩函数都比较容易确定。1970年，Box/Jenkins(1976)解释了ARMA模型建立和参数估计的问题。从70年代开始，大量关于金融资产收益率的时间序列的线性模型研究都采用了ARMA与其扩展模型，实证研究表明，ARMA模型可以较好地解释金融资产收益率的时间序列的线性结构。然而由于金融资产收益率时间序列特殊的统计性质，80年代以来，越来越多的研究结果表明了金融资产收益率时间序列具有的非线性的关系，传统的金融资产收益率时间序列线性模型已经不能完整的刻画金融资产收益率时间序列的分布。90年代以来，关于金融资产收益率时间序列的非线性建模取得了很大的成功。Maravall（1983）用Bilinear模型研究了西班牙金融市场上的股票收益率。根据研究结果Maravall认为，通过Bilinear模型可以修正由ARMA模型产生的10%的预测错误。Clements和Krolzig（1998），Rothman（1998）则利用了TAR模型成功地模拟了美国宏观经济指标的分布。De Gooijer (1998)，Potter（1995），Montgomery等等的研究也得出了相似的结果。随着时间的推移，越来越多的经济科学家都致力于用研究金融资产收益率时间序列的非线性建模。例如，Granger和Anderson（1978）的Bilinear模型，Tong（1978）的TAR模型，Priestley（1980）的State Space模型，Hamilton（1989）的MRS模型。在用非线性模型描述金融资产收益率时间序列之前，首先必须解决下列问题：1） 线性模型（例如ARMA模型）是否足以描述德国股市DAX30收益率时间序列？2） 在DAX30 收益率时间序列中是否存在非线性和机制转变呢？为了回答这两个问题，在本论文中，通过对德国股票市场DAX30指数的收益率时间序列进行实证研究，并对DAX30指数收益率时间序列的非线性性质和机制转变性质进行检验。1 金融资产收益率时间序列的非线性检验由于许多复杂的时间序列过程并不能通过线性模型完全描述出来，对于非线性模型的应用逐渐受到人们的关注。对时间序列的非线性检验则成为一个对时间序列成功建模的前提条件。只有能够成功地检测出时间序列非线性的性质，对时间序列的非线性分析才有意义。80年代以来非线性检验逐渐成为金融市场理论的一个重要的研究领域，在这种情况下，很多用于非线性检验的新方法和技术应运而生，例如McLeodLi 检验，Bispectral检验，BDS检验，RESET检验，F检验，神经网络非线性检验等等。由于时间序列非线性的来源无法得知，因此哪种检验方法最好也很难下定论。本文将采用部分检验方法，如McLeodLi 检验和BDS检验。11 McLeodLi检验Granger和Anderson（1978）认为，ARMA模型的残差平方项中体现出来的自相关性是金融时间序列非线性的一个显著特征。他们指出，如果ARMA模型的残差平方项中体现出明显的自相关性，则金融时间序列只能通过非线性模型来描述。这也就是说，在非线性的零假设下，所有的线性模型的残差平方项都应该是完全相互独立的。由此假设时间序列可以通过ARMA（p，q）模型来描述，i阶残差 为自相关，则i阶自相关系数为：i阶自相关系数的估计值为：其中：为第t个残差项。为残差项的算术平均值。由此LjungBox Q统计值为：在零假设-所有自相关系数为零-的前提下，LjungBox Q统计值则近似服从自由度为i的分布。McLeod和Li利用ARMA（p，q）模型的平方残差项扩展LjingBox Q统计来验证线性ARMA模型的缺陷。McLeodLi Q-统计被定义为：类似于LjungBox Q统计值，McLeodLi Q统计值在零假设之下近似于一个自由度为i-p-q的分布。虽然McLeod和Li通过Monte Carlo模拟实验发现，如果观察时间T在50和200之间的话，这个零假设在大多数情况下都可以被接受，但是如果T的值非常大的话，残差的正态分布的假设则会对检验结果产生影响(Cromwell, Labys, und Terryza, 1994)。1. 2 BDS检验BDS检验(Brock, Dechert, und Scheinkman, 1987, 1996)原本是一种用于检验时间序列的独立性的检验。在本论文中，我们将会用BDS检验ARMA（p，q）模型的残差，并确定残差是否像人们所想象的那样独立分布。这种检验的核心在于，相同的独立分布的残差平均分布在一定大小的区间里。非线性独立性将导致数据在扩大区间范围的时候和纯粹的随机过程的时候相比要更容易建立起积聚结构效应。BDS检验运用的是“相关积分法”。在检验进行之前，先要确定区间大小。如果时刻s，t的观察值为和，则所有的观察值按对构建为： 其中m是嵌入区间。每对观察值的满足条件的共有概率被定义为概率。在独立同分布的零假设下共有概率是每对概率的简化：如果需要观察的有n个样本，那么就要通过满足条件的数对的数量和所有被观察数对来估计：其中为指示函数：这里的也可以作为“相关积分项”来定义。通过“相关积分项”，BDS检验统计可以如下定义：在这里： 在零假设为“时间序列为独立同分布”时，BDS检验统计值近似于一个标准的正态分布：如果BDS检验统计的结果是正值，即，也就是说“积聚效应”在价格波动中要比纯粹的随机过程中发生的频率要高。一个正的BDS检验统计值拒绝了残差为独立正态同分布的假设。然而在实际中人们还应该注意和“嵌入区间” m的选择范围。过小的，可能会导致对零假设的接受（Scheinkman und LeBaron，1989）。而如果过大，那么就会存在对数据过高估计的危险。根据Brock(1992)的建议，如果观察区间大于500时，应该取标准差的0.5，1.0，1.5倍值。Hsieh(1989)则建议m“嵌入区间”应该从2到10的区间里选取。m越大，相关函数被高估的风险就越大。虽然根据Brock的建议m即使选择为的值，也不能完全避免风险，但是风险只会出现在T值极大的时候。在本论文中，m取值为6。大量的模拟实验研究已经证实，虽然 BDS检验仅仅是一项特别检验，既它只能证明非线性的存在，并无法证明其具体的种类，但BDS检验对于认识时间序列的非线性还是十分有效的。2 金融资产收益率时间序列机制转变的检验经济时间序列中机制转变的检验是现今经济学研究领域的一个重要的组成部分。大量的实证研究已经证明了实践中机制转变的存在。例如，金融市场上的交易受经济周期的影响特别大。典型的机制转变例子是第二次世界大战，1973年的石油价格危机以及2001年9月11日在美国发生的恐怖袭击。建立机制转变的模型来描述机制转变的时间序列是非常有意义的。传统的机制转变模型是TAR模型和MRS模型。找出一种能够明显识别出机制转变的检验方法，对于运用机制转变模型描述时间序列则异常重要。检验的最初思想来自于对模型参数稳定性的检验。如果在考察期内经济时间序列没有发生机制转变，那么在整个考察期内模型参数应该是固定的。最重要的检验参数稳定性或者说机制转变的有Chow检验，CUSUM检验，Wald检验，Likelihood Ratio检验和Lagrange Multiplikator检验。一般的参数稳定性检验过程为：时间序列将通过建立以（）为参数的参数模型，零假设就是参数是稳定的：如果发生机制转变，那就，即备择假设成立。备择假设可以根据模型的不同具有不同的形式。最简单的备择假设是在整个观察时间内只发生一次转变。则备择假设为：假设发生机制转变的时间点是已知的，对线性模型则可以利用Chow检验，对非线性模型可以利用Wald检验和Likelihood Ratio检验来确定机制转变。假设发生机制转变的时间点是未知的，Davies认为，这里所提到的标准检验并不一定有效的。其原因是，机制转变只有在备择假设而不是零假设成立的时候才存在。Andrew提出了一个对Wald检验，Lagrange Multiplikator检验和Likelihood Ratio检验的扩展。为参数本文将运用Likelihood Ratio检验时间序列中的机制转变。通过在零假设和备择假设下比较此模型Likelihood的对数函数的值，将Likelihood Ratio检验统计定义为：这里是在备择假设下此模型Likelihood的对数函数的值，而则是在零假设下的值。Hansen认为，LR检验近似于一个并不标准的分布，这是因为机制转变只有在备择假设成立的前提下发生。在他的论文中，他提出了一个计算这种近似非标准分布的方法。Garcia(1992)运用了这种方法检验了时间序列的机制转变，并且指提出了几个显著性检验统计值，证明了该方法在检验时间序列的机制转变性质的有效性。3 实证研究本文选择1991年1月2日到2002年12月3日德国股市DAX30指数的周收益率时间序列共625个观测值为样本，实证检验了德国股票收益率时间序列的非线性和机制转变性质。数据来源于德国新经济出版媒体Worms发行的数据光盘。收益率定义为价格的自然对数差，即。（表1 DAX30指数收益率时间序列描述性统计）由表1可以得知，DAX30指数收益率时间序列具有正的偏度，且峰值大于3，显示了明显的尖峰厚尾现象。JarqueBera统计检验量也明显拒绝收益率为正态分布的假设。为了确定DAX30指数收益率时间序列的非线性，必须先通过其他的模型来消除时间序列的自相关性质，以保证时间序列的非线性性质不受序列自相关性质的影响。根据AIC标准我们选用了AIC值最小的ARMA模型，为的是消除时间序列的线性自相关性。（表2 McLeodLi检验统计结果）（表3 BDS检验统计结果）表2给出了DAX30指数收益率时间序列ARMA模型残差的McLeodLi检验的检验结果。 由表2可知， LjungBox Q统计量直到下标为20时，才表现为显著。值得注意的是McLeodLi检验统计量则从一开始就表现为显著，这也就证明了非线性性质在时间序列里的存在。为了进一步证明时间序列中存在非线性，我们进一步对序列进行了BDS检验。表3列出了对于ARMA模型残差的BDS检验统计量，该统计量在几乎所有的状态下均表现为显著，这更充分地说明非线性的存在。但是由于残差平方的检验往往被看作是时间序列的异方差检验，这样一来就可能存在问题，非线性是否由ARCH效应而产生的？为了回答这个问题，我们需要在ARMA模型中检验其是否存在ARCH效应。（表4 ARMA 模型残差序列的ARCH效应检验统计结果）相应的检验（见表4）证明了ARMA模型残差的ARCH效应。为了更好地识别非线性的来源，我们首先利用GARCH（1，1）模型消除ARMA模型残差的ARCH效应，然后再进行检验，并验证是否还有非线性存在。使用GARCH（1，1）是因为GARCH（1，1）是使用最普遍的、最简单的GARCH模型，在一般情况下能够很好的消除序列的异方差性质。要得到一个更有说服力的结论，我们继续运用BDS检验来验证GARCH（1，1）模型的残差序列。（表5 GARCH(1,1)模型残差序列的ARCH效应检验）从表5可以发现在GARCH（1，1）模型的残差中不再有ARCH效应存在。值得注意的是，在进一步使用BDS检验时，BDS检验在这里并不能十分肯定非线性的存在（表6）。为了进一步确认序列的非线性性质，我们利用神经元网络检验。神经元网络检验是Lee等人（1993）提出的。这项检验通过将一个线性回归的残差作辅助回归，并验证其平方多相关性和回归系数非线性转变的三个要素，由此判定序列非线性性质的存在。根据零假设，该检验统计量将会近似于一个自由度为3的分布。（表6 GARCH(1,1) 模型残差序列的BDS检验）（表7 GARCH(1,1) 模型残差序列的神经元网络模型检验） （表8 DAX30指数收益率时间序列的神经元网络模型检验）由表7和表8我们都可以验证出DAX30指数收益率时间序列的非线性性质。总而言之，上述结论表明，DAX30收益率时间序列中的非线性并不仅仅由ARCH效应而产生，还有其他非线性因素决定了序列的非线性性质。对此，我们的疑问是，是否该非线性性质是有时间序列的机制转变性质引起的？DAX30收益率时间序列中是否存在机制转变性质？为了解决该问题，我们进一步检验了，是否在DAX30收益率时间序列中存在机制转变性质。大量的研究表明，Likelihood Ratio检验在识别机制转变方面具有优势（Hansen 1992），因此我们这里采用Likelihood Ratio检验。由于该检验并非标准分布检验，所以需要首先确定零假设和备择假设。首先将收益率时间序列建立随机游走模型，即建立不存在机制转变的零假设。这里的和是收益率的期望和方差。因为机制转变的原因较难识别，所以很难确定备择假设。Hamilton（1989）验证了一个由期望值变动产生的机制转变模型，Schwert（1989）提出了一个方差变动产生的机制转变模型，Turner（1989）则建立了由于期望值和方差均变动产生的机制转变模型由此，我们需要确定三个备择假设。第一个备择假设是不同期望值产生的机制转变的模型，期望值分别为().这里假设状态指标服从一阶Makov过程：第二个备择假设是在机制转变前后的两个状态中，拥有相同的期望值，但是方差不同（）。第三个备择假设是在机制转变前后的两个状态中，其分别拥有不同的期望值和方差（(,)）。表格8给出了零假设和各个备择假设中Likelihood对数函数的值。在检验备择假设1时， Likelihood Ratio检验统计值是143.31，Garcia（1992）认为，在5显著性时的Likelihood Ratio检验统计值是10.34，在1显著性时的Likelihood Ratio检验统计值是为13.81。因此，我们可以认为模型的零假设在这里明显地被拒绝。备择假设2，3的检验统计量分别为206.856和291.906，而Garcia（1992）建议的5的显著统计量为13.52，1的5的显著统计量为为17.67。由此，检验结果同样拒绝了零假设。综上所述，所有的LR检验员统计量都在1%的显著性水平下拒绝模型的零假设。LR检验证明了在DAX30指数收益率时间序列中存在明显的机制转变性质。（表8 DAX30指数收益率时间序列的Likelihood Ratio 检验）4 结论本文介绍了几种检验金融资产时间序列的非线性和机制转变性质的方法。对股票植树收益率时间序列的非线性和机制转变性质进行讨论。同时利用德国DAX30指数的收益率时间序列进行实证检验，证明了非现行和机制转变性质的存在，指出非线性机制转变模型可以更好的模拟股票收益率时间序列的分布，为进一步深入研究和使用非线性机制转变模型对金融资产收益率时间序列建模提供理论基础。参考文献：1. Box, G.E.P. und G. M. Jenkins (1976): Time Series Analysis: forecasting and Control, Revised Edition, Sn Francisco: Golden Day2. Breitung J. und C. Wulff (2001): Non-linear Error Correction and the Efficient Market Hypothesis: The Case of German Dual-Class Shares, German Economic Review 2(4), S.419-4343. Brooks, C. (1996): Testing for nonlinearity in daily sterling exchange rates, Applied Financial Economics 6, S.307-3174. Conrad, K. und D. Jüttner (1973): Recent Behavior of Stock Market Prices in West Germany and the Random Walk Hypothesis. Kyklos 26 S.576-5995. Garcia, R. (1992): Asymptotic null distribution of the likelihood ratio test in Markov switching models, Manuscript, University of Montreal 6. Granger C.W.J., A.P. Andersen (1978): An introduction to bilinear time series models. Vandenhoek &Ruprecht, Göttingen7. Granger,C.W.J. und O. Morgenstern (1963): Spectral Analysis of New York Stock Market Prices, Kyklos Vol.16 S.1-278. Hamilton J. D. (1989): A new approach to the economic analysis of nonstationary time series and the Business Cycle, Econometrica 57, S.357-3849. Hsieh D. A. (1989): Testing for nonlinear dependence in daily foreign exchange rates. Journal of Business 62: S.339-36810. Lee, T. H., H. White, und C. W.J. Granger (1993): Testing for Neglected Nonlinearity in Time Series Models: A comparison of Neural Network Methods and Alternative Tests. Journal of Econometrics 56, S. 269-290附录：表1 DAX30指数收益率时间序列描述性统计SkewnessKurtosisJarque Bera-0.74568.3396800.3966表2 McLeodLi检验统计结果ARMA(8,8)0.076617AIC-4.139109(1)0.0132(2)0.0132(3)0.5038(5)0.8672(10)4.1714(15)6.4214(20)8.6785(1)*54.939(2)*76.963(5)*88.078(7)90.900(10)*99.376(20)*103.01(30)*111.84备注: (k) : ARMA模型的k阶残差Ljung-Box Q-检验统计值 (k): ARMA模型的k阶残差平方的McLeod-Li 检验统计值. * 表示5%统计显著性 * 表示1%统计显著性表3 BDS检验统计结果mARMA(8,8)=0,52 *3.032147=0,53 *5.399063=0,54 *6.509217=0,55 *6.960369=0,56 *8.704213=1,02 *3.206462=1,03 *5.179149=1,04 *6.645281=1,05 *7.332981=1,06 *8.488431=1,52 *3.139426=1,53 *4.977699=1,54 *6.541191=1,55 *7.205951=1,56 *8.136690备注： * 表示5%统计显著性 * 表示1%统计显著性表4 ARMA 模型残差序列的ARCH效应检验统计结果ARCH Test:F-statistic7.819347 Probability0.000000Obs*R-squared70.40032 Probability0.000000VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.0004550.0001134.0252340.0001RESID2(-1)0.2699100.040921*6.5958600.0000RESID2(-2)0.1130920.042367*2.6693160.0078RESID2(-3)-0.0642890.042516-1.5121330.1310RESID2(-4)0.0295540.0426230.6933910.4883RESID2(-5)0.0838560.0426201.9675460.0496RESID2(-6)-0.0325520.042622-0.7637260.4453RESID2(-7)0.0028770.0426250.0675030.9462RESID2(-8)0.0771420.0425731.8119900.0705RESID2(-9)-0.0387580.042442-0.9132050.3615RESID2(-10)0.0445850.0409811.0879530.2771R-squared0.115981F-statistic7.819347Adjusted R-squared0.101148Prob(F-statistic)0.000000Log likelihood2873.678Durbin-Watson stat1.997302表5 GARCH(1,1)模型残差序列的ARCH效应检验ARCH Test:F-statistic0.260506 Probability0.989065Obs*R-squared2.641109 Probability0.988656VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.9755190.1460636.6787580.0000STD_RESID2(-1)0.0184410.0406880.4532300.6505STD_RESID2(-2)0.0180130.0407250.4423120.6584STD_RESID2(-3)-0.0188620.040699-0.4634550.6432STD_RESID2(-4)0.0146600.0406800.3603800.7187STD_RESID2(-5)0.0234170.0406380.5762300.5647STD_RESID2(-6)-0.0276290.040648-0.6797270.4969STD_RESID2(-7)-0.0350720.040656-0.8626430.3887STD_RESID2(-8)0.0261010.0406750.6416830.5213STD_RESID2(-9)0.0053060.0406830.1304290.8963STD_RESID2(-10)-0.0042490.040680-0.1044420.9169Log likelihood-1243.704 F-statistic0.260506Durbin-Watson stat1.999423 Prob(F-statistic)0.989065表6 GARCH(1,1) 模型残差序列的BDS检验BDS Test for RESID03GARCH011SD=0,5DimensionBDS StatisticStd. Errorz-StatisticProb. 2-0.000121 0.001107-0.109209 0.9130 3 0.000132 0.000736 0.179451 0.8576 4 0.000322 0.000367 0.877616 0.3802 5 0.000165 0.000160 1.027281 0.3043 6 0.000159 6.48E-05 *2.446954 0.0144表7 GARCH(1,1) 模型残差序列的神经元网络模型检验Number of Principal ComponentsNumber of lagsStatistic 95% Critical ValueP-Value23* 6.10984 5.99146 0.0471333*11.81623 7.81473 0.0080443 7.79756 9.48773 0.09929备注： * 表示5%统计显著性 * 表示1%统计显著性表8 DAX30指数收益率时间序列的神经元网络模型检验Number of Principal ComponentsNumber of lagsStatistic 95% Critical ValueP-Value22* 11.707175.99146 0.0028732* 12.49320 7.81473 0.00587备注： * 表示5%统计显著性表9 DAX30指数收益率时间序列的Likelihood Ratio 检验无机制转变在期望值上有机制转变在方差上有机制转变在期望值和方差上同时有机制转变Log Likelihood 1286.1171357.7721389.5451432.070Likelihhod Ratio143,31*206,856*291.906*备注： * 表示5%统计显著性 * 表示1%统计显著性对股票收益率时间序列的非线性及机制转变的检验研究Research on non-linearity tests of stock return time series and their mechanism transformations 关键词：非线性检验，McLeodLi检验，BDS检验，机制转变模型Key words: non-linearity test, McLeodLi test, BDS test, mechanism transformation model摘要：本文讨论股票收益率时间序列的非线性及机制转换性质。股票收益率时间序列的非线性性质是指股票收益率时间序列之间的非线性关系，机制转变是部分经济时间序列的特有性质，股票收益率时间序列由于受到其市场特点及经济发展周期性影响，同样具有机制转变的性质。本文通过对德国股票市场DAX30指数的收益率时间序列进行了实证研究，对DAX30指数收益率时间序列的非线性性质和机制转变性质进行了检验。指出非线性机制转变模型可以更好的模拟股票收益率时间序列的分布，为进一步深入研究股票收益率时间序列的关系提供了基础。Abstract: This paper analyzes the non-linearity of stock return time series and their mechanism transformations. The non-linearity of stock return time series is the non-linear relation between stock return time series and the mechanism transformation is the special nature of some economic time series. Because stock return time series are influenced by market factors and economical cycles, mechanism transformation is characteristic of them. This paper conducts a positive analysis of stock return time series of DAX30 companies from the German stock market and tests their non-linearity and mechanism transformations. Our research reveals that the non-linear mechanism transformation model is more suitable for simulating the distribution of stock return time series. It lays the groundwork for further research into the relation of stock return time series.