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高中数学向量复习: 向量是高考的一个亮点,它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点。下面小编给你分享高中数学向量复习知识点，欢迎阅读。 向量复习之概念 在数学中，几何向量(也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。与之对应的只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称标量) 向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。 向量的记法：印刷体记作粗体的字母(如a、b、u、v)，书写时在字母顶上加一小箭头。如果给定向量的起点(A)和终点(B)，可将向量记作AB(并于顶上加)。给空间设一直角坐标系，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。 而在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。 几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。 向量复习之运算 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)。 加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。OB+OA=OC。 a+b=(x+x1，y+y1)。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0A-OB=BA.即“共同起点，指向被减” a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a-b=(x1-x2,y1-y2). 如图：c=a-b以b的结束为起点，a的结束为终点。 加减变换律：a+(-b)=a-b 数乘 实数和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作a，且a=*a。1 当>0时，a的方向与a的方向相同;当1时，表示向量a的有向线段在原方向(>0)或反方向(<0)上伸长为原来的倍 当0)或××反方向(<0)上缩短为原来的倍。 实数p和向量a的点乘乘积是一个数。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(a)·b=(a·b)=(a·b)。 向量对于数的分配律(第一分配律)：(+)a=a+a. 数对于向量的分配律(第二分配律)：(a+b)=a+b. 数乘向量的消去律：如果实数0且a=b，那么a=b。如果a0且a=a，那么=。 需要注意的是：向量的加减乘(向量没有除法)运算满足实数加减乘运算法则。 数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则AOB称作向量a和向量b的夹角，记作并规定0 定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量(没有方向)，记作a·b。若a、b不共线，则;若a、b共线，则。1 向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。 向量的数量积的运算律 a·b=b·a(交换律) (a)·b=(a·b)(关于数乘法的结合律) (a+b)·c=a·c+b·c(分配律) 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方。 ab=a·b=0。 |a·b|a|·|b|。(该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cos|因为0|cos|1，所以|a·b|a|·|b|) 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1.向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·ca·(b·c);例如：(a·b)²a²·b²。 2.向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a0)，推不出b=c。 3.|a·b|与|a|·|b|不等价 4.由|a|=|b|，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反过来则成立. 向量积 定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b(这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“”)。若a、b不共线，则a×b的模是：a×b=|a|·|b|·sina，b;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则a×b=|a|*|b|(此处与数量积不同，请注意)，若a×b=0，则a、b平行。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量 向量复习之定理 共线定理 若b0，则a/b的充要条件是存在唯一实数，使a=b。 若设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则有x1y2=x2y1。即与平行概念相同x1y2-x2y1=0 零向量0平行于任何向量。 垂直定理 ab的充要条件是a·b=0，即x1x2+y1y2=0。 分解定理 平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使a=1e1+2e2我们把不平行向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一基底。 定比分点公式 定比分点公式(向量P1P=·向量PP2) 设P1、P2是直线上的两点，P是直线上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个任意实数且不等于-1，使向量P1P=·向量PP2，叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+OP2)/(1+);(定比分点向量公式) x=(x1+x2)/(1+), y=(y1+y2)/(1+)。(定比分点坐标公式) 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 已知0是AB所在直线外一点,若OC=OA+OB,且+=1,则A、B、C三点共线 证明：OC=OA+(1-)OB=OA-OB+OB=BA+OB BO+OC=BA即BC=BA A、B、C三点共线 重心判断式 在ABC中，若GA+GB+GC=O，则G为ABC的重心。 垂心判断式 在ABC中，若HA·HB=HB·HC=HC·HA，则H为ABC的垂心。 内心判断式 在ABC中，若aIA+bIB+cIC=0，且PI=(aPA+bPB+cPC)/(a+b+c)，则I为ABC的内心。 外心判断式 在ABC中，若|OA|=|OB|=|OC|，则O为ABC的外心， 此时O满足(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OC+OA)·CA=0。 第 7 页 共 7 页
