（新整理）专题1 一线三等角类型问题的探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc

专题1 一线三等角类型问题的探究题型剖析如图1=2=3，且它们的顶点在直线AB上，这就是一个一线三等角模型。模型分析：因为1=2=3，所以：ACE+AEC=CFB+BFC=ACE+BCF易得：ACE=CFB，AEC=FCB进而有AECBCF（这是相似三角形一个重要的判定，我们将在初三学习），如果再添加一组对应边相等，如CE=CF，或者是AE=BC，那么就有AECBCF.1.题目中只要满足“一线三等角”的条件，必相似；2.题目如果两个条件：“一线三等角”和对应边相等的两个条件，必全等。一线三等角类型图例剖析 1. 如图1-1-1，ACB=D=E=90°，且CAB=45°ACDCBE，此为“一线三直角”全等，又称“K字型”全等，适用于直角情况;2. 如图1-1-2，ACB=D=E=90°ACDCBE，此为“一线三直角”相似，又称“K字型”相似，适用于直角;3. 如图1-1-2，ACB=D=E=90°ACDCBE，此为“一线三直角”相似，又称“K字型”相似，适用于直角; 4.如图1-1-4，ACB=D=E=°ACDCBE，此为更一般的“一线三等角”适用于任何三角形.图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 图1-1-4 一线三等角构造路线 方式(一)：构造“一线三等角” 1.45o角构等腰直角三角形造“一线三直角”全等，如图1-2-1； 图1-2-12.30o角构直角三角形造“一线三直角”相似，如图1-2-2； 图1-2-23.tan=k构直角三角形造“一线三直角”相似，如图1-2-3；图1-2-3 典例赏析类型一：一线三等角下的证明例1.（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，DPC=A=B=90°，求证：ADBC=APBP（2）探究如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当DPC=A=B=时，上述结论是否依然成立？说明理由（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足DPC=A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值【分析】（1）如图1，由DPC=A=B=90°可得ADP=BPC，即可证到ADPBPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）如图2，由DPC=A=B=可得ADP=BPC，即可证到ADPBPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）如图3，过点D作DEAB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5-4=1易证DPC=A=B根据ADBC=APBP，就可求出t的值类型二：一线三等角下的函数问题2.已知：如图，ABBC，AD/BC，AB=3，AD=2点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C设线段AP的长为x（1）当AP=AD时，求线段PC的长；（2）设PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当APDDPC时，求线段BC的长【分析】（1）求线段PC的长，根据已知条件过点C作CEAD，交AD的延长线于点EAP=AD，PDCD知道，可以先证明APDCDE，由比例关系式得出；（2）要求y与x之间的函数关系式，以及函数的定义域：根据实际情况证明APDCDE，根据相似三角形的性质求出比例式，进而得出y与x之间的函数关系式专题训练1.如图，已知反比例函数y（x0）的图象经过点A（4，5），若在该图象上有一点P，使得AOP45°，则点P的坐标是 2. 已知：如图，在ABC中，ABAC13，BC24，点P、D分别在边BC、AC上，AP2ADAB，（1）求证：ADPAPC；（2）求APD的正弦值3.如图3，已知抛物线与轴交于两点，点的坐标为，它与轴交于点，点的坐标为，它对称轴是直线. (1)求此抛物线的函数关系式;(2)若抛物线上有一点，且，求点坐标.4.如图，在中，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且.（1）当时，联结,求的余切值；（2）当点在线段上时，设，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（3）联结，若为等腰三角形，求的长.5如图，ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BACEDF90°，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q（1）如图，当点Q在线段AC上，且APAQ时，求证：BPECQE；（2）如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当BPa，CQ时，P、Q两点间的距离 （用含a的代数式表示）来源:学+科+网6已知矩形ABCD的一条边AD8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP，OP，OA，若PC4，求边AB的长；（2）如图2，若点P恰好是边CD的中点，求AOB的度数；（3）如图3，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BNPM，连接MN交PB于点F，作MEBP于点E试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由若不变，求线段EF的长度7.如图，在中，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，交射线AC于点F（1）求AC和BC的长；（2分）（2）当时，求的长；（5分）（3）联结，当和相似时，求的长（7分）来源:学。科。网Z。X。X。K8如图，在ABC，ACB=90°，AC=4，BC=3，O是AB上一点，AO：OB=2：5（1）如图（1），求点O到AC的距离：（2）如图（2），若P是边AC上的一个动点，作PQOP交线段BC于点Q（点Q不与点B、C重合）若AOPPCQ，求AP的长；设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；当OPQCPQ时，求AP长参考答案例1.（1）如图1DPC=A=B=90°，ADP+APD=90°，BPC+APD=90°ADP=BPCADPBPC=ADBC=APBP；（2）结论ADBC=APBP仍然成立，理由如下：BPD=DPC+BPC，BPD=A+ADP，DPC+BPC=A+ADPDPC=A=B=，BPC=ADPADPBPC=ADBC=APBP；（3）如图3，过点D作DEAB于点EAD=BD=5，AB=6，AE=BE=3由勾股定理可得DE=4以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，DC=DE=4BC=5-4=1又AD=BD，A=BDPC=A=B由（1），（2）的经验可知ADBC=APBP5×1=t（6-t）解得t1=1，t2=5，t的值为1秒或5秒例2.解答：（1）过点C作CEAD，交AD的延长线于点E ABBC，CEAD，PDCD，AD / BC， ABC =AEC =PDC=90°，CE=AB=3 AD / BC， A+ABC=180°即得A=90°又 ADC=DCE+DEC，ADC=ADP+PDC， ADP=DCE又由 A=DEC=90°，得 APDDCE 于是，由AP=AD=2，得 DE=CE=3在RtAPD和RtDCE中，得 ，于是，在RtPDC中，得 （2）在RtAPD中，由 AD=2，AP=x，得 APDDCE， 在RtPCD中， 所求函数解析式为函数的定义域为0<x3（3）当APDDPC时，即得 APDDPCDCE根据题意，当APDDPC时，有下列两种情况：（）当点P与点B不重合时，可知 APD =DPC由 APDDCE，得 即得 由 APDDPC，得 即得 DE=AD=2 AE = 4易证得四边形ABCE是矩形， BC=AE=4（）当点P与点B重合时，可知 ABD=DBC在RtABD中，由AD=2，AB=3，得 由ABDDBC，得即得 解得 APDDPC时，线段BC的长分别为4或专题训练1.解：如图，作AEy轴于E，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到OA，作AFx轴于F，则AOEAOF，可得OFOE5，AFAE4，即A（5，4）反比例函数y（x0）的图象经过点A（4，5），所以由勾股定理可知：OA，k4×520，y，AA的中点K（，），直线OK的解析式为yx，由，解得或，点P在第一象限，P（6，），故答案为（6，）2.（1）证明：AP2ADAB，ABAC，AP2ADAC，PADCAP，ADPAPC，（2）解：ADPAPC，APDACB，作AEBC于E，如图所示：ABAC，CE×2412，AE5，sinAPDsinACB，3.解答.第(1)题易得此抛物线的函数关系式为:.第(2)题，我们可以从原图中直接得出基本模型如图4，易证，所以.设，则，点的坐标为.将其代入抛物线的函数关系式，得.解得(舍)，点的坐标为.4.解答:（1），°， 在中， CDABFE H（2）过点作于点可求得 又可证 （3）， 若为等腰三角形，只有或两种可能. 当时，点在边上，过点作于点（如图）可得：，即点在中点此时与重合 当时，点在的延长线上，过点作于点（如图）可证： 综上所述，为6或7.5（1）证明：ABC是等腰直角三角形，BC45°，ABAC，APAQ，BPCQ，E是BC的中点，BECE，在BPE和CQE中，BPECQE（SAS）；（2）解：连接PQ，ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BCDEF45°，BEQEQC+C，即BEP+DEFEQC+C，BEP+45°EQC+45°，BEPEQC，BPECEQ，BPa，CQa，BECE，BECEa，BC3a，ABACBCsin45°3a，AQCQACa，PAABBP2a，在RtAPQ中，PQa6.解：（1）如图1，设ABx，则PDx4，APABx，由勾股定理得：82+（x4）2x2，解得：x10，AB10；（2）如图2，P是DC的中点，PDDC，四边形ABCD为矩形，ABCD，D90°，由折叠得：ABAP，PAOBAO，PDAP，DAP30°，DAB90°，PAOBAO（90°30°）30°，B90°，AOB90°30°60°；（3）如图3，过M作MQAN，交PB于Q，则ABPMQP，APAB，APBABP，APBMQP，MPMQ，MEPQ，PEEQPQ，BNMP，MPMQ，BNMQ，MQAN，QMFBNF，MFQNFB，MQFNBF，QFBF，QFQB，EFEQ+QFPQ+QBPB，由（1）得：PB4，EF×2，在（1）的条件下，当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度不变，长度为27.（1）在中，设， ， （2）过点作，垂足为 易得设， 即 化简，得解得 （负值舍去） （3）过点作，垂足为 易得设， 当和相似时，有两种情况： 即 解得 即 解得 综合,，当和相似时，的长为或 8解：（1）如图1，作ODAC，ACB90°，BCAC，ODAC，BCAC，ODBC，AODABC，又AO：OB2：5，解得OD，即点O到AC的距离是（2）如图2，QPOP，ODAC，ODPCQPO90°，QPC+OPD90°，OPD+POD90°，QPCPOD，PODQPC如图3，作ODAC，ODAC，BCAC，ODBC，AODABC，又AO：OB2：5，解得AD，PDx，PQOP，OPD+CPQ90°，又PQC+CPQ90°，OPDPQC，在POD和QPC中，PODQPC，yx2+6x（x4）如图4，当OQAC时，OPQCPQ，OQAC，解得CQ，AP2+6AP，解得AP或如图5，作PEOQ于点E，当PQ平分CQO时，OPQCPQ，CQPPQE，PCBC，PEOQ，PCPE，POQCPQ，DOPCPQ，POQDOP，又PDOD，PEOE，PDPE，PCPD，即点P为CD的中点，由APADACAP，可得AP4AP，解得AP，综上，可得当OPQCPQ时，AP、或